發揮數學思想優勢，提升學生解題水平

張舒

【摘要】數學是一門抽象性與邏輯性較強的學科，學生在學習和理解以及運用所學知識分析、解決問題時難免遇到問題，打擊學生解題自信心.在初中數學解題中發揮數學思想優勢，可有效簡化題目難度，提升學生解題效率.

【關鍵詞】初中數學;數學思想;解題策略

1 運用數形結合 提升學生解題水平

數與形是數學學科中研究的基本對象，二者在相應的條件下可相互轉化.一般中學數學研究基本為數與形，正因數與形的緊密聯系稱之為數形結合.部分圖形過度簡單，單純觀察無法看出圖形規律，此時需要為圖形賦予角度與邊長.換言之，數形結合將圖形與數字相結合并在圖形中標注所有運算、數字關系以及研究對象間的邏輯關系，以可視化呈現抽象數字，提升學生解題效率與解題自信心.

例1 某學校組織競賽，共有25人參與競賽，大賽設置A、B、C三道題目，參賽者至少選做一道題，根據題目回答情況得知，未能解答A題的人中可成功解答B題的人數為解答出C題人數2倍，只解答出A題人數比其余人數中解答出A題多1人，在所有只解答一道題參與學生中，有一半學生不能解答出A題，請問只成功解答B題共有多少參賽者？

解析 單從文字分析具有難度較大，尤其對于數學基礎較大的學生而言，難以理清題目邏輯關系，對此，可在解題中引入數形結合方式，即將以圖形關系表示文字邏輯關系.以圖1所示：

根據圖1可得知，運用三個大圓A、B、C表示解出A、B、C三道題目人數，圖中相互重疊部分則表示能同時解答出A、B、C三道大題或其中兩道題目參數人數集合，運用a、b、c、d、e、f、g進行表示，每個學生至少解出一題得出：a+b+c+d+e+f+g=25①

由未解答出A題學生中解答出B題人數是解答出C題人數2倍，得出：b+f=2（c+f）②

只解答出A題學生比余下解答出A題學生多一人，得出：a=d+e+g+1③

只解答出一題學生中有一半學生未解答出A題，列式：a=b+c④

由②可得：b=2c+f，f=b-2c ⑤

由⑤代入數式①：a+2b-c+d+e+g=25⑥

以③、④代入⑥：2b-c+2d+2e+2g=24⑦

同時，3b+d+e+g=25⑧

數式⑧×2-數式⑦得4b+c=26⑨

因為c≥0，所以b≤6.5.

運用數式⑤+⑨將c消去，得f=b-2（26-4b）=9b-52，

因為f≥0，所以b≥952，

因為b表示人數，所以b=6.

只解答出B題學生有6人.

2 運用整體思想 提升學生解題水平

整體思想是初中眾多數學思想之一，其應用相對廣泛，可以說貫穿初中數學解題，在高效解題中發揮著不可小覷作用.近年來，中考命題重心即整體思想，所謂整體思想即基于整體角度處理問題，有整體設元、整體變形、整體代換等多種表現形式.所以，初中數學教師可指導學生運用整體思想解題，拓寬解題思維，實現核心素養目標.

例2 已知12x2-4x+1=36x2-2x，求x值.

解析 上述題目涉及方程問題解答，如果在解答中從常規思路著手，則需將等式右側分母去除，式子兩側需同時乘以6x2-2x并進行整理.該式子未知數最高項為四次，等式略顯復雜，影響后續計算效率.基于式子整體層面觀察方程結構可得知6x2-2x為12x2-4x一半，需令y=6x2-2x，所以2y=12x2-4x，化簡式子為2y+1=3y，等式兩側同時乘以2整理后可得出2y2+y-3=0，由此一來，可迅速求出y值.又因為y=6x2-2x，可求出x的值.

例3 解方程組2x+3y=12①7x-17y=97②

解析 如果從常規換元思路解答該題，則需設2x=6+t，3y=6-t，有x=3+12，y=2-13，隨之出現分式，需要更換換元思路才能提升解題效率.設2x=6+6t，3y=6-6t，則有x=3+3t，y=2-2t，達到化簡為繁.

3 運用化歸思想 提升學生解題水平

化歸即轉化與歸納簡稱，所謂化歸思想即將抽象復雜的問題轉至簡單問題，將未知轉至已知，例如將代數問題轉至幾何問題，將四邊形問題轉至三角形問題，或將分式方程轉至整式方程等.

作為初中數學解題重要思想之一，化歸思想實質即運用變化方式分析和解決與數學有關問題，達到高效解決問題目的.

化歸思想體現在初中數學解題多個方面，所以，教師可指導學生在解題中合理運用化歸思想，善于變換轉化要解決問題，簡化問題，提升解題效率.

在解答不等式問題中運用等式策略能使解題方式更為簡潔，有利于學生樹立清晰解題思路.

例4 如果不等式kx-4≤2解集為x1≤x≤3，實數則為k=？

解析 針對不等式解集問題可代入端點值，此時等號成立，

根據題意，kx-4=2兩根為1，3，

即k-4=2，3k-4=2，解得k=2.

變量間需借助不等式相互制約，反映變量間內在聯系.受函數單調性影響，不等式與界性間有著直接聯系，所以為不等式轉化至函數提供契機.

例5 已知a，b∈R，

證明a+b1+a+b≤a+b1+a+b

解析 先構造函數f（x）=x1+x（x>0），

得知f（x）=x1+x=1-11+x，在（0，+∞）呈單調遞增，

因為a+b≤a+b，

所以a+b1+a+b≤a+b1+a+b.

在解答含字母系數的不等式時，需要討論系數，也稱之為分類討論思想.當數學問題結果非唯一時，根據某種標準劃分數學問題再進行解答.

例6a為實數且x>y，下列不等式中成立的是？

（A）ax>ay. （B）a2x≤a2y.

（C）a2x>a2y.（D）a2x≥a2y.

解析因為a為實數，需要分類討論選項中a、a2兩種情況;對于a：①a為正數，根據不等式性質2得知，A選項正確.②中，a為負數，0時沒有答案，所以沒有選項.對于a2：因為a2≥0，根據不等式性質2得知（A）（B）（C）為錯誤選項，正確答案為（D）.

數學教師在指導學生運用化歸思想轉化不等式時應明確題目類型，最大限度發揮化歸思想優勢作用.并在此過程中使學生掌握解題方式.

學生運用化歸思想后會因因其便利性對探究知識產生興趣，尤其在逐一突破問題難點后能產生學習數學自信心，為后續鞏固知識和運用所學知識分析和解決實際問題奠定基礎，切實提升解題水平.

參考文獻：

[1]陳娟.數學思想在初中數學解題中的應用[J].廣西教育，2021（09）：141-142.

[2]熊海龍.數學思想方法在初中數學解題中的應用[J].理科愛好者（教育教學），2021（01）：136-137.

[3]董明華.數學思想在初中數學解題中的應用研究[J].中學數學，2020（22）：62-63.