淺析如何利用化歸思想提升解題效率

賈大雷

［摘? 要］ 數學思想是學習的靈魂，是學科的精髓，是解題的風向標，是知識向能力轉化的高架橋，其有利于發展學生的數學思維，有利于促進學生實踐能力和創新能力的提升. 因此，其在數學學科中的地位是毋庸置疑的. 文章以函數教學為例，引導學生通過分析探究和合作交流體驗化歸思想在函數中的應用，進而引導學生通過問題的本質特征，找到解決問題的最佳方案，從而提升解題效率.

［關鍵詞］ 數學思想；化歸思想；解題效率

高中數學題目多變，尤其是高考數學題目更新穎別致，面對這些多變、新穎的題目學生難免會感覺陌生，那么如何去找到解決問題的切入點和突破口呢？筆者認為，當遇到復雜的、陌生的題目時，要結合已有經驗將問題向簡單化和熟悉化轉變，從而降低問題難度，打開解題的思路，成功解決問題. 要實現這種轉變就需要重視學生化歸思想的培養. 筆者通過具體案例淺談化歸思想在函數中的應用，借此全面提升學生的能力.

[?]夯實基礎，化歸更自覺

堅實的基礎是解題策略實施以及數學思想培養的動力源，若教學中僅談如何培養學生的數學思想而不重視基礎知識的積累，那么數學思想就猶如空中樓閣，雖然美好卻難以落地. 因此，教學中要重視對“三基”的培養，同時要注意引導，使學生在學習的過程中注意對方法和規律的總結，從而潛移默化地培養學生的數學思想，使學生在解題中可以自覺地、靈活地運用.

例如，若想利用好函數的奇偶性，學生應先掌握函數的定義，理解函數的特點，對函數圖像及其特點也要熟記入心，只有將這些基礎都吃透，應用時才能得心應手.

例1 偶函數f（x），定義域為［-2，2］，當x≥0時，函數為減函數. 如果f（1-m）

本題求解時很多學生都想從函數的定義域出發，雖然能確定1-m和m在區間［-2，2］內，但不能確定1-m和m哪個在［-2，0］內、哪個在［0，2］內，因此，若按照這個思路求解需要進行煩瑣的分類討論. 眾所周知，雖然分類討論可以化大問題為小問題，從而實現化繁為簡的轉化，然若分類步驟過多可能會需要較多的時間，而且若分類不清會使出錯的概率大大提升. 因此，利用分類討論求解該問題并不是最優解決方案，解題時要盡量規避分類討論. 另外，采用分類討論的思路，煩瑣的步驟、復雜的過程容易使學生出現畏難情緒，從而失去繼續探究的動力. 基于此，教師要及時進行引導：

師：學習奇、偶函數時有這樣兩個等價關系還記得嗎？

①對于偶函數，有f（x）=f（

x

）；②對于奇函數，若在x=0處有意義，則f（0）=0. （教師給出這兩個等價關系后，學生很快給出了答案）

生1：因為f（x）為偶函數，故有f（-m）=f（m）=f（

m

），由已知f（1-m）

1-m

）

m

）；又當x≥0時，函數為減函數，所以1-m>m，m≤2，1-m≤2，解得m∈

-1，

.

應用化歸思想使解題過程更加簡潔方便，極大地增加了學生解題的信心，當學生再解決類似的函數問題時會自覺地嘗試化歸轉化.

[?]分析探究，化歸更靈活

探究是數學學習的必經之路，只有經過不斷的探究才能更好地將新知內化至已有認知體系中，從而促進知識體系的完善，為知識的轉化和遷移提供動力源. 同時，通過探究可以提升學生的總結歸納能力，使學生能抓住問題的本質，掌握數學思想的精髓，推動數學思想的發展.

函數是高考的核心考點之一，雖然教學時對函數部分進行了重點講解和重點練習，然因涉及的知識點眾多，學生面對部分函數問題求解時仍然會感覺束手無策，難以找到解題的突破口. 為了改變這一現象，部分教師采取了直接講授法，然因題目多變，直接講授未能達到預期效果. 為了引導學生發現已知與未知間的聯系，從而找到解決問題的突破口，教學中教師不妨引導學生進行分析探究，在分析探究的過程中發現問題的本質特征，找到解題的規律，進而總結歸納出解題思路和解題方法，提升解題能力.

例如，解決二次函數最值問題時，學生常用圖像法或代數法，然對于一些含參的二次函數用該方法求解，其求解過程會較為復雜，故解題時教師可以引導學生進行問題轉化，從而找到解題的最優方案.

例2 二次函數f（x）=ax2+x-a，其中a≤1，求證：x≤1時，f（x）≤.

本題求解時若直接從二次函數的思路入手，顯然計算復雜，不易求解，因此需要轉換思路，換個角度觀察. 若將a看成主元，將x看成參數，則有g（a）=（x2-1）a+x，轉換后即變成了一次函數問題，降次后運算步驟及運算難度都會大大降低. 結合已知，進行分類討論：①x2-1=0；②x2-1≠0. 這樣通過化歸轉化和分類討論，解決問題也就水到渠成了.

例3 求函數y=2x-的值域.

本題是含根號的函數，若直接平方去根號顯然不容易計算，故可將看成一個整體，即設t=，原函數轉化為關于t的函數，再確定函數值域.

令t=，則t≥0，x=t2+1，所以y=2（t2+1）-t=2

t-

+（t≥0），所以值域為

，+∞

.

求解函數的值域問題，雖然有多種方法，然根據解析式特點進行化歸轉化為解題通法，應用此方法往往使解題過程和運算過程更簡便，可以看作解決此類問題的最佳方案.

在求解過程中，讓學生經歷探究過程，使其參與解題教學，不僅可以提升學生參與的積極性，還可以在探究過程中涌現出許多新思路或新想法，使課堂氣氛更加生動. 另外，在教學中滲透化歸思想，相當于為學生架設了一座從已知通往未知的橋梁，使已知與未知的轉化更流暢，解題更高效.

[?]舉一反三，化歸更高效

高中數學各章節雖然有明顯的劃分，然知識點之間往往存在著千絲萬縷的聯系，這種聯系就是轉化的開端. 因此，學習數學要關注知識點之間的聯系，關注知識體系的建構. 函數可謂貫穿了高中數學的始終，到處都有其具體的應用，如不等式問題或方程問題可以轉化為函數問題，借助函數圖像，通過數形結合找到解決問題的突破口；當然，有時解決函數問題也往往需要將其轉化為方程問題或不等式問題. 無論相互之間如何轉化，其目的都是使題目變得更加直觀和簡單. 在解題教學中，學生應注意觀察和分析題目的特點，從具體問題出發，切勿因盲目套用而使問題更加抽象和復雜，得不償失.

例4 已知函數f（x），a≤x≤b，其中a+b>0，試求g（x）=f（x+z）+f（x-z）的定義域.

本題為求函數定義域的問題，若從函數的角度進行思考，結論會過于抽象，感覺無從下手，故需要將其轉化為不等式問題，這樣可使問題變得更加直觀，而且求解過程也會更加熟悉，有助于提升學生的解題信心和解題積極性.

求解時教師不讓學生急于下手，而是通過合作交流一起認真解讀已知和結論，通過交流、觀察和探究建立不等式組a≤x+z≤b，

a≤x-z≤b，推導關于x的不等式組，結合z>0可得a-z

利用化歸思想實現了由函數向不等式的轉化，使問題迎刃而解. 通過化歸使知識點之間的聯系變得更加直觀，有利于學生知識體系的完善.

雖然對化歸思想的理解學生還僅僅停留于表面，然學生對化歸思想的應用卻并不陌生，其在數學學習中無處不在. 作為重要的數學思想，化歸在數學學習中有著廣泛的應用，其有利于訓練學生的數學思維，使學生在解決問題時可以從不同角度、不同渠道去思考，通過知識點之間的聯系將問題向有利于求解的方向轉化.

總之，應用化歸思想可使問題的轉化更具方向性，可使知識點之間的聯系更加直觀，可使解題方法更加簡單. 因此，在數學教學中，教師應重視滲透化歸思想，將其融入“三基”，通過潛移默化的引導和應用使學生形成化歸意識. 這樣，當學生面對新知識、新問題時可以運用已有知識和已有經驗，通過觀察、分析、思考，使問題從陌生向熟悉轉化，從而提升解題效率.