幾何直觀素養表現與表現性任務設計

宋煜陽

［摘 要］幾何直觀的內涵強調了直觀手段的豐富性和運用幾何直觀的意識和習慣。幾何直觀的素養表現為圖形的特征與分類、圖形的描述與性質、建立數與形的聯系、利用圖表探索思路四個部分。培養學生的幾何直觀素養可以圍繞識圖、畫圖兩個維度設計表現性任務。設計識圖表現性任務時，要從各類圖示中識別概念（從關系圖中識別圖形的分類、從復雜圖形中識別圖形的概念、從圖形的操作中想象結果），從圖示表征中理解概念，利用動態想象簡化思路，利用圖形直觀解釋數學事實；設計畫圖表現性任務時，要用圖來表征題意和數量關系，用圖來表達問題過程和結果，用圖表解決開放性問題。

［關鍵詞］幾何直觀；素養表現；識圖；畫圖

［中圖分類號］ G623.5［文獻標識碼］ A［文章編號］ 1007-9068（2022）29-0008-05

一、幾何直觀的內涵變化

幾何直觀，既是《義務教育數學課程標準（2011年版）》（下稱“2011年版課程標準”）的核心詞之一，又是《義務教育數學課程標準（2022年版）》（下稱“2022年版課程標準“）提出的核心素養之一。雖然名稱沒有發生變化，但在概念表述上發生了變化，具體內容對照如表1所示。

什么是幾何直觀？ 2011年版課程標準中定義為“利用圖形描述和分析問題”，2022年版課程標準中定義為“運用圖表描述和分析問題的意識與習慣”。在概念內涵上，原先的“利用圖形”調整為了“運用圖表”，這意味著什么？說明直觀的手段豐富了，除了圖形，還可以是表格。而列表解決問題，就充分發揮了表格在一一列舉、有序思考中的直觀作用。

人教版教材中還有許多幫助學生體會列表的直觀性的素材。如，一年級連加問題“3個同學一起折小星星，每人折了6個。他們一共折了多少個小星星？”（如圖1），本質是解決“幾個6相加”。教學中，教師在組織學生自主畫圖、列式表征的同時，引入表格并給出部分信息，就能讓學生解讀表格信息后繼續填寫，體會表格的直觀性。此外，三年級的“正好問題”“長方形和正方形拼組后的周長最短問題”等，也都突出列表法在一一列舉時不重復、不遺漏的特點，使學生感受到列表法的有序性。

幾何直觀概念內涵發生變化的是，要求更高了，更強調意識與習慣的養成。這一要求凸顯了幾何直觀作為培養學生核心素養的整體性、一致性和階段性。為此，幾何直觀培養的目標，不僅僅是形成描述和分析問題的手段技能，更重要的是形成意識、養成習慣。

二、幾何直觀的素養表現

幾何直觀的素養表現主要包括圖形的特征與分類、圖形的描述與性質、建立數與形的聯系、利用圖表探索思路四個部分。

1.圖形的特征與分類

圖形的特征與分類，要求“能夠感知各種幾何圖形及其組成要素，依據圖形的特征進行分類”，要點是圖形與要素感知、根據圖形特征分類。

史寧中教授指出，幾何直觀表現形式包括實物直觀、簡約符號直觀、圖形直觀、替代物直觀四種形式。這里強調的是圖形直觀這種表現形式，重點感知圖形要素和特征分類。如圖2所示的選擇題就是考查學生對圖形特征的理解，以及梳理圖形概念之間的關系的能力。

2.圖形的描述與性質

圖形的描述與性質，要求“根據語言描述畫出相應的圖形，分析圖形的性質”。2022年版課程標準新增了“尺規作圖”，要求學生運用語言描述圖形，并利用尺規工具畫出相應圖形，促使學生體會或探索圖形的性質。

比如，借助用直尺和圓規作圖的方法，引導學生自主探索三角形的周長，感知線段長度的可加性，以及線段的長度就是三角形的周長。在這個過程中，實踐操作、直觀演示都能幫助學生進一步理解三角形的周長就是三條線段首尾相連的總長度，對圖形周長的本質屬性有更為清晰的認識。

又如，在三角形三邊關系的探索中，關于“兩邊之和等于第三邊”“兩邊之和小于第三邊”時能否圍成三角形的情形歷來是教學的難點。以往教學中，教師一般是借助小棒等實物操作（也就是實物直觀的手段）來驗證，而小棒由粗細造成的誤差，以及小棒固定的長度限制了學生自主探索的空間，會造成學生感悟不深。現在借助尺規工具，在三角形三邊關系探索中能夠體現幾何直觀的優勢，學生可以自主探索，任意調整圓規，畫出不同長短的線段，不拘泥于教師給定的長度；可以通過用圓規畫弧線，體會線段圍不成三角形的原因——兩條短的弧線沒有交點，也就不能圍成三角形。

3.建立數與形的聯系

建立數與形的聯系，要求“建立數與形的聯系，構建數學問題的直觀模型”。這部分主要表現為數的概念和數的運算的表征與理解、數量關系的表征。

比如，十進制是數的認識核心要素。不僅是整數的認識，小數的認識也強調“相鄰計數單位是10”。因此，可以利用直觀圖幫助學生體會相鄰計數單位之間的十進制關系。在“千以內數的認識”教學中，教師可以依次出示如圖3所示的直觀圖，讓學生體會相鄰計數單位之間的十進制關系：10個一是1個十，10個十是1個百，10個百是1個千。當然，在認識小數時，可以借助圖形之間的聯系進一步理解計數單位之間的十進制關系，例如逆向推算：把立方體看成1，那么一個面、一條、一個小方塊分別是它的1/10，1/100，1/1000。

在解決問題的過程中，幾何直觀主要體現在題意的理解與數量關系的分析上。比如，人教版教材中的“例8 媽媽買3個碗用了18元。如果買8個同樣的碗，需要多少錢？”，強調畫圖是解決問題的有效策略，培養學生借助直觀圖理解問題、解釋算法的能力。因此，在組織學生讀題、明確信息和問題后，可以提出以下要求：如果你解決這個問題有困難，可以嘗試畫圖來分析；如果你能夠直接列式，請畫圖解釋算式的含義或道理。通過比較實物圖、示意圖和線段圖，學生不僅分析了兩步計算的數量關系，感知了“單一量不變”的問題特征，還體會到線段圖在幾何直觀層面更為抽象、更為便捷。

4.利用圖表探索思路

利用圖表探索思路，要求“利用圖表分析實際情境與數學問題，探索解決問題的思路”。比如，能在熟悉的情境中描述簡單的路線圖：描述從學校回家的路線示意圖，注明方向和途中的主要參照物。可以讓學生先用日常語言描述回家的路線，然后在圖上標出方位，畫出路線圖，標明主要參照物，從而建立幾何直觀。

三、幾何直觀的表現性任務設計

因為幾何直觀是指運用圖表描述和分析問題的意識和習慣，所以就意識和習慣而言，幾何直觀評價的關鍵在于學生應用幾何直觀的自主性、自覺性和自省性，這種以自我調控為特征的意識形態，很難用操作層面的學習任務來衡量。但是，圍繞識圖、畫圖兩個維度設計表現性任務，就能考查學生對“圖表描述和分析問題”的表現水平。

1.識圖表現性任務設計

例1就是通過集合圖來考查學生對圖形之間的關系是否了解。題中涉及圖形之間一般與特殊的關系，如長方形和平行四邊形、等邊三角形與等腰三角形；還涉及圖形定義與特征之間的關系，如梯形與四邊形、等腰直角三角形與直角三角形的關系都可以從定義、特征等方面進行梳理。

幾何直觀，重在意識與習慣的養成。教師要緊扣幾何直觀素養的內涵與主要表現，將識圖、畫圖的表現性任務一以貫之；要緊扣第一、二學段“初步形成幾何直觀”、第三學段“形成幾何直觀”的學段目標，培養和發展學生的幾何直觀核心素養。

［ 參 考 文 獻 ］

[1] 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準：2022 年版[M]. 北京：北京師范大學出版社，2022.

[2] 楊春燕.在“變”中找“不變”：六年級“找規律”習題一組[J].教育視界，2021（29）：74-76.

【本文系浙江省教研課題“小學數學素養進階習題開發與應用研究”（立項編號：02228）的階段性研究成果。】

（責編 金 鈴）