點子圖：讓計算學習既知“書”又達“理”

馮剛

［摘 要］兩位數乘兩位數的豎式模型較為抽象且不易理解，要正確建構豎式模型的前提是掌握算法（知“書”）和理解算理（達“理”）。在教學“兩位數乘兩位數（不進位）”時，引導學生在生活中抽象出點子圖，借助點子圖這一直觀模型探索口算拆分方法、抽象豎式模型，并在點子圖、口算與豎式的關聯比較中建構豎式模型，讓學生的計算學習既知“書”又達“理”。

［關鍵詞］點子圖；豎式；算理；算法

［中圖分類號］ G623.5［文獻標識碼］ A［文章編號］ 1007-9068（2022）29-0063-03

兩位數乘兩位數的筆算既是兩位數乘一位數筆算內容的后續知識，又是三位數乘兩位數的前置知識，在數的運算教學中起著承上啟下的作用。在三年級上學期，學生已經學習了兩位數乘一位數的口算，在“兩位數乘兩位數（不進位）”的前一課，學生已經學習了兩位數乘整十數的口算。教材這樣編排，意圖非常明晰，即教學時應基于學生的已有認知，將本課內容與先前所學的兩位數乘一位數、兩位數乘整十數的口算相關聯，引導學生在同化與順應中實現知識的自我建構。

然而，由于學生尚未學習乘法分配律和乘法結合律，因此將兩位數乘兩位數的計算轉化為兩位數乘一位數及兩位數乘整十數的計算，對學生來說就顯得抽象且難于理解，將口算與列豎式筆算環節建立聯系更是困難重重。為此，多數學生僅了解豎式的“形”而并未理解豎式的“實”，對兩位數乘兩位數僅僅是知“書”——知道其書寫格式和規范，而并未達“理”——理解運算背后的算理。如何使得這個轉化過程顯得直觀且易于理解，并為后續豎式模型的建構提供支撐，讓學生從機械記憶層面過渡到理解學習層面，實現既知“書”又達“理”，是本課教學亟須解決的問題。

筆者在查閱眾多版本教材后發現，人教版教材和北師大版教材均采用了點子圖這一直觀模型，提倡通過直觀的點子圖引導學生進行思考和探索。為此，在教學中，筆者借助點子圖這一直觀模型引導學生在自主探索與合作交流中理解口算拆分方法及豎式計算方法的合理性，以促使學生發現口算拆分方法與豎式算理上的一致性，進而在理解算理的基礎上建構豎式模型，實現既知“書”又達“理”。

一、抽象點子圖，理解圖示本質

點子圖是學生探究多樣化算法的直觀圖示，有利于學生理解算理，可謂是實現知“書”達“理”的一劑良藥。然而，這樣一劑良藥是否真能做到“藥到病除”，幫助學生實現抽象算理的直觀化，仍有待實踐驗證。為此，筆者對學生進行了前測調查，發現這劑良藥的效果并不理想：陌生且抽象的點子圖并不受學生歡迎，學生也未能在點子圖、算理與算法間建立聯系。究其原因，是點子圖脫離了學生的實際生活，抽象且難以理解。對此，筆者從學生熟悉的隊列方陣中抽象出點子圖，引導學生經歷點子圖的形成過程，以便學生理解與應用點子圖。

【教學片段1】

師：三年級是人生一個重要的階段，而三年級的小朋友正好是十歲，學校要為小朋友們舉行一場成長禮。其中有一個節目，需要小朋友排成一個方陣來進行啦啦操表演。

師（出示方陣圖，圖略）：觀察方陣圖，你們能告訴我該怎么列隊嗎？

生₁：人太多，隊伍很擠，通過現在的方陣圖數不清楚每排有幾個人。

師：數學講究的是簡潔清楚。有沒有什么辦法既能讓大家看清人數，又不改變方陣的形狀？

生₂：可以用一個圓點代替一個人。

師：就聽你的！

師（出示點子圖，如圖1）：從點子圖中你看出了哪些數學信息？

生₃：每排有14人，另一邊每排有12人。

師：也就是說每行有14人，有這樣的幾行？

生₄：12行。

師：誰能完整地說一遍？

生₅：每行有14人，有12行。

師：根據這些信息，誰來提一個數學問題？

10歲成長禮是學生人生中的重要儀式，貼近學生的生活實際，易于激發學生的學習熱情。在真實的方陣圖中，密密麻麻的人群分布不易于學生發現人員的排列規律。由此，學生自然而然產生簡化的想法。基于這樣的真實需求，筆者巧妙地將真實的方陣圖抽象為點子圖，由抽象的點子圖再提出實際問題，直觀與抽象的相互轉換，一方面有助于學生深入理解點子圖的本質，另一方面，使得學生的抽象能力和符號意識得到了發展。

二、圈畫點子圖，探索多樣算法

在教學本課前，學生已經掌握了兩位數乘整十數及兩位數乘一位數的計算方法。根據皮亞杰的發生認知論可知，這些已有認知是學生進行同化和順應的基礎和前提。但是，將兩位數乘兩位數轉化為兩位數乘整十數、兩位數乘一位數的算理依據是乘法分配律與乘法結合律，而學生尚未學習這兩種運算律，這就成了新知轉化過程中的阻力。如何將抽象的算理直觀化，如何巧妙化解這樣的阻力，幫助學生直觀地理解算理，是亟須解決的問題。為此，借助抽象出來的點子圖，以點子圖這一直觀圖示巧妙繞開運算律的障礙，可以讓學生的轉化過程自然順暢且易于理解。

【教學片段2】

師：14×12的結果究竟是多少呢？請拿出研學單，按研學要求開始探索吧！

出示研學單：

（1）用你喜歡的方法計算14×12。

（2）在點子圖中圈一圈、畫一畫，表示出你的計算方法。

（3）你還能想到其他方法嗎？

生₁：14×2=28，14×10=140，140+28=168。（如圖2-1）

生₂：14×6=84，84×2=168。（如圖2-2）

生₃：14×4×3=168。（如圖2-3）[14×2=28

14×10=140

140+28=168][14×6=84

84×2=168]

師：瞧，經過我們的研究，得出了這么多不同的方法。你們有沒有想過，為什么一開始不好算的14×12，現在口算就算出來了呢？是怎么做到的？

生₄：本來是兩位數乘兩位數，現在變成了兩位數乘一位數或兩位數乘整十數。

師：像這樣把不太會做的變成已經學過的東西，我們就把它稱為轉化。轉化這一方法能把復雜的問題變成簡單的問題。

看著點子圖說一說不同的算法，其本質是借助圖示直觀地解釋運算過程，進而深入理解算理。此外，借助點子圖這一直觀圖示來解決問題，學生既感受到了數形結合思想在解決問題時的形象性，也體會到了轉化思想在數學學習中的重要性，數學思想和數學思維均得以發展。

三、借助點子圖，抽象豎式模型

要想深入理解算理，學生必須理解筆算中每一步計算結果的含義，明確每一步計算結果背后的算理。為此，可以借助點子圖這一直觀素材，嘗試將豎式計算過程中的每一步豎式表征與圖形表征同步演繹，促進學生對豎式中各部分結果意義的理解。將點子圖引入筆算教學，就是應用數形結合引導學生親歷兩位數乘兩位數豎式模型的建構過程。在這樣的過程中，學生對算理的感性認識已然上升到對方法的理性認識。“法中見理，理中得法”，實現知“書”的同時也將達“理”落到實處。

【教學片段3】

師：對于14×12，請說說你是怎么想的。

生₁：2×4=8，2×1=2。

師：為什么8寫在個位上，而2寫在十位上呢？

生₁：2×1實際上代表的是2×10，得到的2表示的是2個十，所以2寫在十位上。

生₂：十位的1×4=4，4寫在十位上，1×1=1，1寫在百位上。

師：你怎么知道4要寫在十位上呢？

生₃：這個1是1個十，1個十乘4就是4個十。

師：是的，十位上的4表示40，我們一般不寫0。那1為什么寫在百位上呢？

生₄：這里實際上是10×10=100。

師：說得真好！最后應該怎么算？

生₅：最后算8+0=8，2+4=6，0+1=1。

師：為什么最后用加法而不是乘法呢？

生₆：因為要將兩部分合起來。

師：是的，28表示2行的人數，140表示10行的人數，最后加起來就是12行的人數。

師：由此，我們用豎式也算得結果是168。（出示圖3）圖中我們看到了168，不過，豎式計算時要將數位對齊，圖中對齊了嗎？讓它對齊好不好？（出示圖4）看這個圖，你有什么感覺？

在豎式模型的建構過程中，每一步運算的結果均能在點子圖中找到對應的位置，將抽象的運算與直觀的點相關聯，化抽象為直觀。學生借助直觀圖能很好地理解兩位數乘兩位數的順序，以及每次運算后積的表征及積的書寫位置，初步掌握了兩位數乘兩位數計算算法背后的算理。而讓學生將點子圖進行數位對齊，并觀察其變化，能進一步將抽象的豎式模型以直觀的形式呈現在學生面前。學生能將抽象的豎式模型與直觀的點子圖模型相關聯，自然就能化抽象為直觀，于直觀中思抽象，豎式模型便深深扎根于腦海中。

四、關聯點子圖，建構豎式模型

南京大學的鄭毓信教授曾說：“數學知識不求全，而應求聯。” 豎式本質上是對計算過程的記錄，換言之，豎式本質上是口算算式和過程的另一種表達方式，是針對復雜計算而歸納出的一種計算模型。既然豎式模型的建構與口算拆分方法有著密切的聯系，唯有將兩者相關聯，抽象的豎式模型才能牢牢建構于學生的頭腦中。為此，將點子圖、橫式與豎式計算的每一步相關聯，在三者的聯系與對比中，筆算算法形成的脈絡和算法的合理性得以進一步凸顯，學生就能在知“書”達“理”的基礎上建構豎式模型。

【教學片段4】

師（出示圖5）：請大家繼續觀察，豎式與這里的口算，以及對應的點子圖有沒有什么聯系？

生：豎式里的28就是口算的第一步，表示2行的人數，14就是口算的第二步，表示10行的人數，最后的168就是口算的第三步。

師：是的，豎式其實就是將三道口算題綜合到一個豎式里面，這樣計算就更加簡便。

通過在點子圖、橫式與豎式三者之間建立聯系，抽象的數與直觀的形得到有機結合，學生對算理的理解自然也就有“形”可依。而通過對點子圖、橫式與豎式三者的綜合對比和分析，豎式模型中三步計算的過程在學生的頭腦中變得清晰有序。學生經歷了抽象算理到直觀算法的演繹過程，在數形結合中實現對算理的深刻理解，達成對算法的理解和掌握，真正建構兩位數乘兩位數的豎式模型。

對算理的深入理解與對算法的熟練掌握是學生運算能力得以提高的前提。兩位數乘兩位數的豎式模型是學生后續進一步學習筆算的基礎。教師在教學中應基于學生的已有認知，巧妙依托點子圖進行教學，讓學生的計算學習既知“書”又達“理”。

［ 參 考 文 獻 ］

[1] 于正軍.例談兩位數乘兩位數筆算乘法的困惑解析與算法建構[J].教學與管理，2015（29）：51-53.

[2] 侯正海.運算能力形成的過程：以“兩位數除以一位數的筆算”教學為例[J].小學數學教育，2020（6）：56-58.

（責編 金 鈴）