匯集知識，融會貫通，收獲方法

陳秀清

［摘? 要］ 以一道幾何題為例，通過一題多解的形式，引導學生進行多維思考，體驗知識的生成過程，挖掘其中的數學規律，在融會貫通中加強知識的運用能力培養，進而發展學生的思維品質，培養學生的核心素養.

［關鍵詞］ 一題多解；發散思維；體驗教學；核心素養

學生學習興趣的培養比學習方法重要，學習方法比學習知識重要. 在解題教學中，教師要引導學生積極參與，同一道題不要局限于一種解法，要通過多法探究，培養學生的發散思維，進而實現知識的融合貫通. 筆者通過一題多解的教學，融合初中幾何眾多重要知識，以使學生收獲多種求解線段的方法與思路.

真題再現

問題：如圖1所示，已知四邊形ABCD是邊長為1的正方形，點E是線段AD的中點，連接BE得到△ABE，將△ABE沿直線BE折疊得到△FBE，BF與AC相交于點G，求線段CG的長.

這是一道以正方形為背景的幾何綜合題，綜合考查了軸對稱的性質、正方形的性質、全等三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質、平行線分線段成比例定理、勾股定理以及三角函數等重要知識. 學生需要根據題意作出輔助線，構造全等三角形與相似三角形，然后利用它們的性質解答，其中滲透了數形結合、轉化等數學思想，是一道較好的幾何綜合題.

解法探究

師：通過閱讀試題，可得到的已知條件包括：正方形ABCD的邊長為1，點E是AD的中點，△FBE是△ABE沿直線BE折疊得到，AC是正方形ABCD的對角線，所求問題是求線段CG的長. 當然線段CG的長不能直接去求，必須找到與線段CG相關的結構，從CG相關的結構入手找到已知與未知的連接點，與線段CG相關的結構有哪些呢？

生1：從圖1可以看出，與線段CG相關的結構包括：線段AC，△CGB，△AGB.

如圖2所示，延長BF交CD于H，連接EH.根據正方形的性質，可得AB∥CD，∠D=∠DAB=90°，AD=CD=AB=1；根據勾股定理，得AC===；由翻折的性質可知，AE=EF，∠EAB=∠EFB=90°，∠AEB=∠FEB；因為點E是AD的中點，所以AE=DE=EF=；因為∠D=∠EFH=90°，根據斜邊直角邊定理，得Rt△EHD≌Rt△EHF，所以∠DEH=∠FEH，∠HEB=90°；由同角的余角相等，得∠DEH=∠ABE；根據兩角相等的兩個三角形相似，得△EDH∽△BAE；由相似三角形的性質，得==.所以DH=，CH=. 因為CH∥AB，根據平行線分線段成比例定理，得==，所以，CG=AC=.

生2：既然△EBH是直角三角形，EF是斜邊上的高，則由射影定理可得：EF2=HF·FB，即

=1×HF，解得DH=HF=，所以CH=. 因為CH∥AB，根據平行線分線段成比例定理，得==，所以CG=AC=.

師：上述兩位同學都致力于求線段DH或HF的長，分別采用了相似三角形與射影定理，其他的步驟都相同，那么求線段DH或HF的長，還有沒有其他的方法呢？

生3：求線段DH或HF的長，還可以通過勾股定理求得，設DH=HF=x，在直角三角形CBH中，CH=1-x，BH=1+x，BC=1，根據勾股定理，得（1+x）2=（1-x）2+12，解得x=，所以CH=，因為CH∥AB，根據平行線分線段成比例定理，得==，所以CG=AC=.

生4：如圖3所示，也可以延長BF與AD相交于點N，NB與DC相交于點M，因為四邊形ABCD是正方形，所以AN∥BC，根據平行線分線段成比例定理，得AG∶GC=AN∶BC，因為BC=1，AC是正方形ABCD的對角線，由勾股定理可求得AC=，所以只需求出AN的長即可. 在直角三角形ABN中，有四個直角三角形，根據兩角相等的兩個三角形相似，易得△NEF∽△NBA，所以NE∶NB=EF∶AB，即NE∶NB=1∶2，設NE=x，則NB=2x，在直角三角形NAB中，由勾股定理，得NA2+AB2=NB2，即

+x

+12=（2x）2，解得：x=，所以NA=，根據AG∶GC=AN∶BC，得AG∶GC=4∶3，所以 CG=AC=.

生5：既然可以向上延長相交，也可以向左延長相交，如圖4所示，延長EF，BA相交于點N，根據兩角相等的兩個三角形相似，得△NEA∽△NBF，根據相似三角形的性質，得AE∶FB=NE∶NB，即NE∶NB=1∶2. 設NE=x，則NB=2x，在直角三角形NFB中，由勾股定理，得NF2+FB2=NB2，即：

x+

+12=（2x）2，解得：x=，所以NA=. 在直角三角形NAE中，tanN=3∶4，由同角的余角相等，得∠N=∠MBC，所以tan∠MBC=3∶4，所以MC=，因為CM∥AB，根據平行線分線段成比例定理，得CG∶AG=MC∶AB=3∶4，所以，CG=AC=.

生6：上述同學通過相似三角形得到了tanN=3∶4，所以tan∠FBN=4∶3，在△AGB中，已知∠GAB=45°，tan∠FBN=4∶3，AB=1，可以通過作這個三角形高線的方法求得邊AG的長，如圖5所示，過點G作GP⊥AB于點P，則AP=PG，GP∶PB=4∶3，所以AP=，PB=，所以GP=，根據勾股定理，得AG=，所以CG=.

師：這位同學把問題集在銳角三角形GAB中，通過解直角三角形求得AG的長，從而求得CG的長.在上述的不同解法中，分別展現了求線段長的三種方法，一是利用直角三角形的勾股定理求線段段長；二是利用相似三角形對應邊成比例求線段長；三是利用解直角三角形求線段長，這些都是我們寶貴的解題經驗.

教后反思

（一）重視學生體驗知識的生成過程

學生學習知識是一個探索、發現、感悟的過程［1］，在此過程中，學生不僅收獲了知識，而且體驗到了知識的生成過程，收獲了解題方法與數學思想. 在本課教學中，學生通過求與CG相關的量從而求得CG的值，體會到了轉化的數學思想. 學生還通過添加輔助線構造直角三角形、相似三角形、全等三角形，利用直角三角形的性質、相似三角形的性質、全等三角形的性質解決問題，體會到了構造法在解題過程中的重要性. 同時，在探索的過程中，學生相互啟發，由此及彼，由點及面，不斷生發思維的火花，促進了思維的發展. 由此可見，數學教學應重視探究知識的生成過程，讓學生在獨立思考、小組交流中經歷知識生成的過程，體驗數學思想方法，從而獲得探索的快樂.

（二）在規律探究中培養學生思考力

鮮活的問題是規律探究的有效載體. 實際上，學習數學就是通過解決問題發現其中的內在規律，然后運用規律解決問題. 規律的內涵豐富多樣，可以是通項公式，可以是計算方法技巧，也可以是解決某類問題的思路與步驟，還可以是抽象出來的數學思想方法. 解決完具體問題后，不能局限于這一個問題，應通過追問與探索，看看解決問題的方法是否具有普遍性與規律性，問題的結論是否可以進一步延伸？數學問題千變萬化，但數學規律是恒定不變的. 如在本例中，學生發現在某一個三角形中，已知一個角的度數與另一個角的正切值，還有一條邊長，就可以解這個三角形，求出任意一邊的長，方法是過第三個角的頂點作垂線，構造兩個直角三角形，利用勾股定理建立方程可以求得相應線段的長. 又如，在復雜的圖形中，發現其中的基本圖形，如本例中有一線三等角模型、三垂直模型，還有A型相似、X型相似、反A型相似、反X型相似等.因此，在數學教學中，教師要有意識地培養學生探究規律的意識，不斷提高學生的數學學科素養［2］.

（三）在融會貫通中加強知識的運用

數學知識是具有邏輯關系的一個知識體系［3］. 數學教師要幫助學生不斷加固知識結構，提高學生綜合運用知識的能力，讓學生既見樹木又見森林. 在本題的探究過程中，并沒有單純以解答問題為目的，而是注重了解法的對比聯系，通過一題多解的形式促進學生多維思考，又通過多解歸一實現知識的融會貫通. 學生探究出了五種解法，拓寬了思維路徑，培養了發散思維. 同時，通過基本圖形的發掘與基本方法的發現，學生能實現知識的內在統一.

參考文獻：

［1］ 徐鑫. 通過一題多解培養初中生數學思維能力的實驗研究［D］. 上海師范大學，2020.

［2］ 陳剛. 小題大做 思路盡顯——初中數學一道幾何題的多種解題方法［J］. 中學生數理化（教與學），2020（02）：83+85.

［3］ 范連眾，徐志強. 善用“一題多解” 提升學生的數學素養［J］. 遼寧教育，2020（03）：38-40.