縱橫思維有效提高

[摘? 要] 小學數學中的“植樹問題”是個難而不難的問題。如何從思維發展的角度來進行植樹問題的教學，筆者根據多年教學實踐和課標學習，構思改“橫向發展的一題多解”為“縱橫思維，有效提高”，讓不同程度的學生都有所收獲，從而實現全面提高。

[關鍵詞] 思維發展;植樹問題;一題多解;縱橫思維

小學數學中的“植樹問題”是個難而不難的問題。說不難，是因為其只要求學生理解并掌握在一條直線上“兩端要栽”的情況下株數的問題和相應關系;說難，是因為現實生活中還存在各種各樣的植樹問題和類似的“植樹問題”。傳統教學中，教師往往采取一題多解或比較分析來解決各種植樹問題。數學課程標準明確指出：“數學教育作為促進學生全面發展教育的重要組成部分，一方面要使學生掌握現代生活和學習中所需要的數學知識與技能，另一方面要充分發揮數學在培養人的科學推理和創新思維方面的功能。”怎樣才能更好地從思維發展的角度來進行植樹問題的教學呢？筆者根據多年教學實踐和課標學習，構思為改“橫向發展的一題多解”為“縱橫思維，有效提高”，效果較好。

一、縱橫思維，有效提高的教學過程

1. 巧妙引入，激發興趣

進入植樹問題前，可根據實際情況，將靈活多樣的問題巧妙引入教學。比如以“每年3月12日叫什么節日”的問題來引入，學生都會異口同聲地回答是植樹節，并且能說出節日的意義和自己參加植樹的感受等。此時，教師不必過多展開，可以簡潔的語言引入具體的植樹問題，比如“在一定長度的道路邊按一定株距應栽多少株樹”等。一石激起千層浪，學生可能有不同的思維，教師適時板書教學內容——植樹問題。

2. 層層推進，指導答題

可以事先準備好小黑板或課件，將教材例題展示出來。注意，為了引導學生集中精神解決問題，最好不讓學生翻看教材。

同學們在全長100m的小路一邊植樹，每隔5m栽一棵（兩端要栽）。一共要栽多少棵樹？

相信學生很快就會把題目中的已知條件整理為100m、每隔5m栽一棵，求解問題為“一共要栽多少棵樹”。

也許那些讀題快卻不夠仔細的學生會說：這還不簡單，不就是總長度100m÷每隔5m栽一棵=20棵嗎？

此時，教師不必指責學生，應采取循循善誘的方式，引導全班學生逐步對此解題思路進行驗證，從而突破難點，因為這正是小學生最容易犯的錯誤！注意這里要明確植樹問題的三個名詞：總長度100m為“全長”，每隔5m栽一棵為“株距”，一共栽的棵數為“株數”。

指導學生再讀題目，自然會發現括號里的“兩端要栽”這個條件不可忽略，接著指導學生畫出示意圖（圖1），重點和難點是弄清楚“兩端要栽”的準確含義，最后指導學生規范而準確地解答題目。如果有條件，則可步步推進展示課件，指導答題。

結果：100÷5+1=21（棵）。

3. 總結規律，體驗運用

在指導學生解答此題后，再引導學生打開教材，思考教材中的其他問題，相信學生都能準確回答并進行相應的課堂練習。

有了前面的教學環節，教師一定要及時引導學生總結出植樹問題的一般規律：“全長÷株距+1（補出一端）=株數”，重點強調因為“兩端要栽”而加1。然后布置課外實踐活動，讓學生走出教室觀察體驗植樹問題，引導學生在課外實踐中發現與植樹類似的問題，思考解決辦法，并做好討論的準備。

4. 匯報討論，多問多解

一般來說，只要方法得當，由以上互動教學歸納總結出植樹問題的一般規律并不難，難點在于如何引導學生走出課堂發現各種植樹問題并整理思考，這是匯報、討論的基礎。教師一定要巧妙地引導學生由解決一般植樹問題上升到解決多形式的植樹問題。有條件的可以指導學習小組整理匯報，然后梳理成以下多形式的植樹問題小結。

（1）單線植樹問題：一般形式和變化式。

兩端要栽：全長÷株距+1=株數。兩端不栽：全長÷株距-1=株數。只栽一端：全長÷株距=株數。

特殊情況：全長÷株距不能整除的用“去一法”。

（2）多線的植樹問題：以一條直線×多條直線。

（3）環形植樹問題：不存在兩端問題，其實更簡單。

（4）其他圖形的植樹問題：三角形、四角形……（基礎仍以單線植樹而變化）

……

5. 總結設計，互動提高

通過以上全班性“匯報討論，植樹問題，多問多解”后，學生都會開動腦筋，打開思維大門，將一個看似簡單的植樹問題，通過橫向和縱向的發散性思維，得到不同情況下的植樹問題。但這還不夠，因為這還限定在“植樹問題”中。教師要繼續在學生的匯報討論中捕捉他們發現的生活中的各種植樹問題，結合例2和例3的教學，完成練習24的相關題目。之后再指導學生將以上學習梳理為以下形式多樣的植樹問題，并引導學生對生活中的形形色色的植樹問題進行科學的設計，甚至由現代社會想到未來的發展等。在學生通過動手動腦設計了多姿多彩的“植樹問題”后，再組織學生開展形式多樣的“多姿多彩的植樹問題展示”活動，有條件的，還可以指導學生寫成相應的小論文，或辦成“學習園地”等，不斷提升學習效果。

（1）安裝各種燈具，如架設路燈、安裝各種室內照明燈和藝術燈具……

（2）布置會場，如擺放花盆、插紅旗、安排方隊、安排服務站……

（3）設計車位，安排停車……

（4）設計工藝品和電子產品，如設計項鏈、設計玩具、設計電子鐘……

（5）設計智能產品，如安排掃地機器人、安排跳舞機器人……

……

二、逐步升級教學的主要特點和原則

1. 充分體現課改理念

本單元的教學成功與否、效果如何，關鍵在于充分體現課改理念，按照課標的要求，“課程內容要貼近學生的生活，有利于學生經驗、思考與探索。內容的組織要處理好過程與結果的關系，直觀與抽象的關系，生活化、情境化與知識系統性的關系”。本單元的教學，首先要由真實的植樹問題來引入，運用縱橫發散性思維，由一般規律逐步提升，最后引導學生發現并能解決現實生活和未來生活中的形式多樣的植樹問題，才能達到有效提高的目的。

2. 充分發揮學生的主動性

不論用什么形式，教學的落腳點一定在學生！因此，教學的一切設計和安排一定要從調動學生的主動性和積極性出發，要達到不同程度的學生都有收獲。比如對思維快速卻不周密的學生最初的出錯不必擔心，如果處理得當，會讓全班學生對于植樹問題中的“兩端”栽與不栽的準確理解與把握根深蒂固。又如在學生的走出課堂實踐和課堂匯報互動討論中，教師都要盡量引導學生發現問題、解決問題、總結歸納。通過學生的一系列活動，充分調動他們的多向思維，就會綻放出超越性的思維火花，獲得意想不到的好效果。

3. 充分體現教師的主導性

要實現“以學生為主體，提升學生能力”并不是放羊式的教學，關鍵在于教師的主導作用！按照課標要求，“課程設計要滿足學生未來生活、工作和學習的需要，使學生掌握必需的數學基礎知識和基本技能，發展學生抽象思維和推理能力，培養應用意識和創新意識，在情感、態度與價值觀等方面都要得到發展”。從課前的鉆研教材、設計教學方案到課堂教學的一步一步推進，直到最后的成果展示，教師的任務就是根據學生的發展變化，引導學生從觀察中發現問題，在解決問題中不斷總結提高。比如說，教材并未涉及電子產品問題，但根據社會發展和課標要求“數學與人類的活動息息相關，特別是隨著計算機技術的飛速發展，數學更加廣泛應用于社會生產和日常生活的各個方面”，教師要有意識地引導學生運用聯想和想象進入未來的創新性領域，這也正好符合社會發展的需要。

4. 始終把握好數學思維這條主線

對于數學教學，或者說教學中的思維等具體問題，教師要準確把握，要著重提高學生的思維能力。正如課標指出的：“要符合數學科學本身的特點，體現數學科學的精神實質;要符合學生的認知規律和心理特征，有利于激發學生的學習興趣;要在呈現作為知識與技能的數學結果的同時，重視學生已有的經驗，讓學生體驗從實際背景中抽象出數學問題、構建數學模型、得到結果、解決問題的過程。”其實就是要重視整個教學過程中的把握，讓不同程度的學生有所收獲，從而實現全面提高。

作者簡介：陳水蔥（1977—），本科學歷，一級教師，從事小學數學教學工作。