問題情境是載體　自主應用是關鍵

摘? 要：2020年中考數學江蘇揚州卷二次函數壓軸題要求學生在簡約、和諧、自然的情境下自主發現運動變化過程中的變量依賴關系，自覺構造二次函數解決實際問題，有效考查數學建模素養. 啟示自主應用是數學學科核心素養考查的關鍵，問題情境又是自主應用的平臺和保證.

關鍵詞：自主應用;問題情境;核心素養;二次函數

《普通高中數學課程標準（2017年版）》提出數學學科六大核心素養，包括數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析. 考試評價是教學的指揮棒，當前數學教學落實核心素養的最大瓶頸就是數學學科核心素養的考查難以在考試中有效落實.

下面以2020年中考數學江蘇揚州卷第28題（“另類”二次函數壓軸題）為例分析數學學科核心素養考查的關鍵和載體.

3. 試題評析

常見的二次函數壓軸題多是“拋物線的帽子 + 幾何的內核”，即以拋物線為背景，將拋物線與三角形、四邊形、圓等圖形結合起來考查學生的綜合應用能力，對二次函數的來源和應用關注度不夠，數學學科核心素養特別是數學建模素養的考查缺失. 說這道題是一道“另類”的二次函數壓軸題，是因為這道題試題面貌追求簡約和諧，解題方法關注函數本質、回歸基本概念，從而在自然情境下讓學生自主應用函數模型解決問題，真正考查學生的數學建模素養.

（1）追求簡約和諧，創設有利于核心素養展現的自然情境.

此題綜合考查一次函數、反比例函數、二次函數這三個初中數學的基本函數. 反比例函數[y=kxx>0]的圖象經過點P，此題關于函數的話題開始于反比例函數;點P在線段AB上運動，自然引入一次函數;題目從頭到尾沒有提到“二次函數”，但要研究點P從點A運動至點B的過程中k的值的變化趨勢及最值情況，就必須自主構造函數來研究，自然引入二次函數. 此題作為綜合題，試題條件簡潔、敘述自然，設問明確，是綜合題中非常簡約、自然的一道試題.

此題兩道小題之間遵循從特殊到一般、從正向到逆向的研究脈絡和線索，和諧自然. 第（1）小題研究當n = 1時點P從點A運動至點B的過程中k的值的變化趨勢及最值情況，這是正向研究特殊情況;第（2）小題已知點P從點A運動至點B的過程中k的值的變化趨勢及最值情況，研究參數n的取值范圍，這是逆向研究一般情況.

情境是學生核心素養形成、發展和表現的載體.因此，對學生核心素養的考查也應該在真實自然、富有意義的情境中進行，這里的情境包括生活情境、科學情境和數學情境. 此題情境是一個簡約、和諧、自然的數學情境，二次函數模型的建構不是生硬、突兀的指令和要求學生建構，而是解決情境問題的自然需求，有利于學生數學建模素養的展示和外顯.

（2）關注函數本質，凸顯核心素養考查的自主應用特質.

世界是普遍聯系的，某個元素的運動變化必然帶來其他相關元素的變化. 初中函數的概念是宏觀的變量學說，包含三個要素：一是在一個運動變化過程中;二是有兩個變量;三是一個變量隨著另一個變量的變化而變化. 初中階段函數的考查應關注函數概念的本質，讓學生體會到函數來源于運動變化過程中變量之間的依賴關系，感悟到函數是研究運動變化過程的有效模型. 此題中，在點P從點A運動至點B的過程中，點P位置的變化必然帶來k的值的變化，學生發現k的值與點P位置之間的依賴關系后，就可以構造k的值與點P橫坐標之間的函數，然后利用函數研究k的值的變化趨勢及最值情況，充分體現了二次函數的來源和應用，有利于學生充分感悟函數概念的本質.

開始做此題的時候許多學生會憑感覺、想當然地以為點P在線段AB兩端時k的值分別取得最大值和最小值，而不能嚴謹、理性地質疑“點P在線段AB中間某一個位置時對應的k的值會不會在上述范圍外”. 如果意識到了這個問題，那又如何把點P在線段AB上所有位置時的k的值情況全部考慮到呢？要解決上述問題，唯有利用函數工具來研究. 因此，此題雖然題面簡約，但思想內涵深邃，有利于學生充分體會函數模型是嚴謹、理性、全面、直觀地研究運動變化過程的有效工具和手段，充分感悟函數模型思想.

此題從頭到尾沒有提到“二次函數”，要求學生自主發現k的值與點P位置之間的依賴關系，自覺構造k的值與點P橫坐標之間的二次函數，利用二次函數研究k的值的變化趨勢及最值，由此外顯展示學生的函數建模意識和能力，凸顯了核心素養表現的自主應用特征，從而真正考查學生的數學建模素養.

二、“另類”二次函數壓軸題對數學學科核心素養考查的啟示

學校生活中，在教師的看管、監督下，排隊取餐、節約糧食是不能真實體現學生的文明就餐素養的，只有在獨自就餐、無人監督的情境下依然排隊取餐、節約糧食，才能真正體現學生的文明就餐素養.生活中文明素養的外顯和上述“另類”試題有相通之處，啟示數學學科核心素養的考查其實是讓學生在一定的情境下自主運用相關數學知識、技能和思想方法，解決實際問題的關鍵能力和思維品質得到自然外顯和展示.

1. 自主應用是數學學科核心素養考查的關鍵

效度是考試評價的一個重要指標，意即測量的有效性，指測量工具或手段能夠準確測出所需測量的事物或所測量到的結果反映所要考查內容的程度. 核心素養的考查需要讓學生在答題中真實展示自己的素養水平. 因此，自主應用而非外界指令是數學學科核心素養自然外顯展示的關鍵.

因此，問題的設計不應過多鋪墊、暗示或指令，以利于學生真實展示自主檢索及選擇所學知識、技能和思想方法解決實際問題的能力. 這里一定要強調“自主”，以上述“另類”試題考查的函數建模為例，未來工作、學習、生活中遇到實際問題，不會有人告訴或指令學生“這個問題里面有函數關系”“這個問題要先建立××與××之間的函數”，學生遇到實際問題時要能自主發現其中的變量之間的依賴關系，從而主動構造函數解決問題.

2. 問題情境是自主應用的平臺和保證

核心素養表現的過程是任務完成的過程，核心素養的考查要讓學生從“做題”變為“做事”，在“做事”中自主應用所學知識、技能和思想方法解決問題.“做事”和自主應用需要平臺，問題情境就是學生“做事”所需要的外部環境，是自主應用得以實現的平臺和保證. 因此，為真實測評學生的數學學科核心素養，要重視問題情境的設計. 當然，這里的情境仍然包括生活情境、科學情境和數學情境.

（1）上述“另類”試題啟示問題情境的設計要真實自然.

真實、富有意義的數學實踐活動情境是學生數學學科核心素養形成、發展和表現的載體. 在目前的數學教學中，學生在課堂學習中所獲得的知識、技能和思想方法之所以無法遷移到實踐應用中去，關鍵就在于學生學習活動所依存的情境被人為地簡化和抽象了，缺少與實踐應用的連接.

（2）上述“另類”試題啟示問題情境的設計要隱秘整合.

核心素養是隱性的，必須通過真實的問題情境以一定的數學實踐行為才能體現. 與之相應，指向核心素養的問題情境就需要將諸多條件隱含、整合其中，讓學生主動挖掘和提取，然后主動檢索、選擇相關知識、技能和思想方法解決問題，這個過程即核心素養發揮作用的過程. 若創設的問題情境過于直白，不涉及數學知識的重組和遷移，那么學生的數學學科核心素養就不能得到外顯和表現.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部制定. 普通高中數學課程標準（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2017.

[2]石樹偉. 基于標準，關注本質，考查素養：例析二次函數壓軸題的命制[J]. 中學數學（初中版），2017（3）：41-43.

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