立足基礎·滲透思想·注重實踐·傳遞文化

黃若明

摘? 要：2021年中考對“事件的概率”領域的考查延續了近幾年試題“穩中求變，變中求新”的特點，重視對事件的概率的基礎知識和基本模型的考查，關注能力，注重應用，符合《義務教育數學課程標準（2011年版）》的理念和要求. 現對2021年全國各地中考試卷中關于“事件的概率”領域的試題的考查特點進行分析，總結命題規律，為2022年的中考復習教學提供參考.

關鍵詞：事件的概率;命題分析;復習建議

“事件的概率”是義務教育階段數學課程的重要組成部分，通過學習概率，學生可以加深對隨機現象的認識，形成數據分析觀念，做出合理的決策，并且提高分析問題和解決問題的能力，強化數學應用意識. 本文以2021年全國各地73份中考數學試卷為樣本，對每份試卷中涉及“事件的概率”的試題進行梳理和歸納，嘗試從考查內容、命題思路、復習建議三個方面進行分析，以增強對該領域內容復習教學的針對性和有效性.

一、考查內容分析

根據《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《標準》）的要求，第三學段“事件的概率”的課程內容要求學生能通過列表、畫樹狀圖等方法列出簡單隨機事件所有可能的結果，以及指定事件發生的所有可能結果，了解事件的概率，同時知道通過大量的重復試驗，可以用頻率來估計概率. 2021年全國各地中考試題涉及“事件的概率”的試題考查比較全面，反映了《標準》的基本要求. 主要涉及以下三個部分：一是對隨機現象和概率意義的認識;二是關于簡單隨機事件概率的計算，包括利用公式直接計算和通過列表、畫樹狀圖等方法進行計算;三是能運用概率知識解決實際問題. 既重視了對“事件的概率”的基礎知識的考查，也關注了學生思維水平的發展.

從試題形式上看，關于“事件的概率”的內容，在筆者調查的73份試卷中：有17份試卷只在選擇題中單獨考查，其中湖北武漢卷考查了兩道選擇題;有20份試卷只在填空題中單獨考查;有26份試卷只在解答題中單獨考查;浙江湖州卷、湖北宜昌卷中選擇題、填空題各考查一道題;廣西玉林卷、湖北隨州卷、湖南衡陽卷、湖南懷化卷、江蘇揚州卷、四川廣安卷中選擇題、解答題各考查一道題;江蘇蘇州卷、四川資陽卷中填空題、解答題各考查一道題.

從試題內容上看，關于“事件的概率”的內容，在筆者調查的73份試卷中：考查隨機事件的有7道題;考查用頻率估計概率的約有2道題;考查簡單隨機事件概率計算的有54道題，其中與統計相結合的有22道題. 另外，甘肅定西卷第23題考查了用頻率估計概率與列舉法求概率兩個知識點的結合. 可見，2021年中考“事件的概率”領域對簡單隨機事件概率的計算的考查依然是重點，統計與概率相結合的考查也占比很大.

從試題難度上看，關于“事件的概率”的內容，在筆者調查的73份試卷中，主要以簡單題和中等難度題為主. 只有四川成都卷第25題難度較大，根源在于這道題融合了閱讀理解知識點.

二、命題思路分析

1. 立足基礎，考查核心概念

這類試題結合實際背景，考查“事件的概率”領域的核心概念，要求學生掌握必然事件、隨機事件、不可能事件等有關概念，理解概率的意義，難度不大，通常以選擇題和填空題題型出現.

例1 （廣西·玉林卷）一個不透明的盒子中裝有2個黑球和4個白球，這些球除顏色外其他均相同，從中任意摸出3個球，下列事件為必然事件的是（? ? ）.

（A）至少有1個白球

（B）至少有2個白球

（C）至少有1個黑球

（D）至少有2個黑球

例2 （江蘇·揚州卷）下列生活中的事件，屬于不可能事件的是（ ? ）.

（A）3天內將下雨

（B）打開電視，正在播新聞

（C）買一張電影票，座位號是偶數號

（D）沒有水分，種子發芽

【評析】以上兩道題均考查“事件的概率”的基本概念，以學生熟悉的生活場景、游戲或經驗為背景，考查學生對必然事件、隨機事件、不可能事件等概念的正確理解，類似的試題還有湖南懷化卷第9題、湖北武漢卷第2題、浙江湖州卷第4題等.

2. 重視方法，考查概率的計算

用列舉法求概率是第三學段研究的重點模型，常以摸球、拋硬幣、轉圓盤、抽撲克、摸卡片、翻象棋等學生既熟悉又感興趣的事件為載體，利用概率公式計算. 簡單的情境可用枚舉法、面積法等，通常在選擇題或填空題中考查，稍微復雜的可通過列表或畫樹狀圖的方法列出所有機會均等的結果. 對這類題的考查不僅出現在選擇題、填空題中，更多地以解答題的形式出現.

例3 （浙江·麗水卷）一個布袋里裝有3個紅球和5個黃球，它們除顏色外其余都相同. 從中任意摸出1個球是紅球的概率是（ ? ）.

例4 （四川·瀘州卷）不透明袋子中裝有3個紅球、5個黑球、4個白球，這些球除顏色外無其他差別，從袋子中隨機摸出1個球，則摸出紅球的概率是

.

例5 （湖北·武漢卷）學校招募運動會廣播員，從兩名男生和兩名女生共四名候選人中隨機選取兩人，則兩人恰好是一男一女的概率是（ ? ）.

例6 （江蘇·南京卷）不透明的袋子中裝有2個紅球、1個白球，這些球除顏色外無其他差別.

（1）從袋子中隨機摸出1個球，放回并搖勻，再隨機摸出1個球.求兩次摸出的球都是紅球的概率.

（2）從袋子中隨機摸出1個球，如果是紅球，不放回，再隨機摸出1個球;如果是白球，放回，并搖勻，再隨機摸出1個球.兩次摸出的球都是白球的概率是 ? ? ? ? .

【評析】這四道題考查列舉法求事件的概率，例3、例4較容易，考查學生解決一步試驗的概率問題，可直接建立概率模型[P紅色=紅色數量總數量]，可輕易計算事件的概率，類似的試題還有浙江金華卷第13題、海南卷第6題、湖南岳陽卷第11題等. 在筆者調查的73份試卷中占27道題. 例5和例6難度中等，考查用樹狀圖或列表法解決兩步試驗的概率問題，關鍵是列舉出所有等可能出現的結果數，再用概率公式計算. 兩步（或以上）試驗要注意“放回”與“不放回”的區別. 關于“是否放回”，例5的條件是隱性的，例6的條件是顯性的. 類似的試題還有北京卷第6題、廣東卷第3題、江蘇無錫卷第22題等，背景以摸球游戲居多.

3. 創新背景，考查應用意識

2021年部分省、市的中考試題對“事件的概率”內容的考查越來越靈活，問題背景設計更為新穎，創新意識更強，在綜合應用“事件的概率”的同時感受數學思想方法的魅力.

例7 （廣西·北部灣經濟區卷）如圖1，小明從A入口進入博物館參觀，參觀后可從B，C，D三個出口走出，他恰好從C出口走出的概率是（ ? ）.

例8 （湖南·邵陽卷）一只螞蟻在如圖2所示的樹枝上尋覓食物，假定螞蟻在每個岔路口都會隨機選擇其中一條路徑，則它遇到食物的概率是 ? ? ? ?.

例9 （四川·成都卷）我們對一個三角形的頂點和邊都賦給一個特征值，并定義：從任意頂點出發，沿順時針或逆時針方向依次將頂點和邊的特征值相乘，再把三個乘積相加，所得之和稱為此三角形的順序旋轉和或逆序旋轉和. 如圖3，ar + cq + bp是該三角形的順序旋轉和，ap + bq + cr是該三角形的逆序旋轉和.已知某三角形的特征值如圖4所示，若從1，2，3中任取一個數作為x，從1，2，3，4中任取一個數作為y，則對任意正整數z，此三角形的順序旋轉和與逆序旋轉和的差都小于4的概率是 ? ? ? ? .

【評析】在命制有關求簡單隨機事件概率的試題時，可以依據概率知識的發生、發展過程，采用文字、符號或圖象等多種表征方式，并用學生以前學過的簡單基本的幾何或代數的知識內容為載體，從而豐富問題背景，提高試題的效度和信度，考查學生概率的模型思想與數形結合思想. 例7、例8設計巧妙，難度適中，這兩個生活化的場景體現了概率最基本的知識原理和思想方法，可以激發學生的學習興趣和解決實際問題的熱情，使他們體驗數學來源于生活，又服務于生活. 例9是基于閱讀理解背景的通過列舉法求事件的概率的一道綜合題，從命題的角度來看，創新意識強，內容豐富、超越常規，考查學生的閱讀理解能力、觀察思考能力、分析判斷能力、抽象概括能力、類比能力等，同時考查數學建模思想、數形結合思想及化歸思想等.

4. 綜合統計，考查隨機意識

統計與概率都是研究隨機現象的科學. 統計是收集、整理、分析數據，通過歸納的方法研究隨機現象，而概率則是通過構建模型研究隨機現象. 近年來，通過同一背景把統計和概率兩種問題進行綜合考查有增多的趨勢.

例10 （湖南·衡陽卷）下列說法正確的是（ ? ）.

（A）為了解我國中學生課外閱讀情況，應采取全面調查方式

（B）某彩票的中獎機會是1%，買100張一定會中獎

（C）從裝有3個紅球和4個黑球的袋子里摸出1個球是紅球的概率是[34]

（D）某校有3 200名學生，為了解學生最喜歡的課外體育運動項目，隨機抽取了200名學生，其中有85名學生表示最喜歡的項目是跳繩，估計該校最喜歡的課外體育運動項目為跳繩的有1 360人

例11 （青海卷）為了倡導“節約用水，從我做起”，某市政府決定對該市直屬機關200戶家庭用水情況進行調查.市政府調查小組隨機抽查了其中部分家庭一年的月平均用水量（單位：噸），調查中發現，每戶家庭月平均用水量在3～7噸范圍內，并將調查結果制成了如表1所示的尚不完整的統計表.

試根據統計表中提供的信息解答下列問題：

（1）填空：a的值為 ? ? ? ，b的值為 ? ? ? ，c的值為 ? ? ? .

（2）這些家庭中月平均用水量數據的平均數是

，眾數是 ? ? ?，中位數是 ? ? ?.

（3）根據樣本數據，估計該市直屬機關200戶家庭中月平均用水量不超過5噸的用戶約有多少？

（4）市政府決定從月平均用水量最省的甲、乙、丙、丁四戶家庭中，選取兩戶進行“節水”經驗分享. 試用列表或畫樹狀圖的方法，求出恰好選到甲、丙兩戶的概率，并列出所有等可能的結果.

例12 （甘肅·定西卷）一個不透明的箱子里裝有3個紅色小球和若干個白色小球，每個小球除顏色外其他完全相同，每次把箱子里的小球搖勻后隨機摸出一個小球，記下顏色后再放回箱子里，通過大量重復實驗后，發現摸到紅色小球的頻率穩定于0.75左右.

（1）試估計箱子里白色小球的個數;

（2）現從該箱子里摸出1個小球，記下顏色后放回箱子里，搖勻后，再摸出1個小球，求兩次摸出的小球顏色恰好不同的概率（用畫樹狀圖或列表的方法）.

【評析】概率和統計的綜合題有三種類型，例10屬于獨立型，選項之間沒有關聯，考查了概率的基本概念、古典概率計算公式和統計的有關知識，類似的題目只有四川廣安卷第6題. 例11屬于添加型，考查了平均數、眾數、中位數、頻數分布表，以及列表法與樹狀圖法等知識點，前三道小題組成了一道完整的統計類解答題，為了考查“事件的概率”添加了第（4）小題，只是借用了題目背景，數據方面沒有關聯，這類題目的考查逐年增多，在筆者抽查的73份試卷中有22道題. 例12屬于依存型，考查了統計和概率的橋梁——用頻率估計概率這個知識點，只有計算出白色小球的個數后才能求事件的概率.

5. 德育滲透，考查學科素養

寓德育于各科教學內容和教學過程之中是每一位教師的職責. 作為基礎學科，數學應該在德育中發揮重要作用. 在教學中應多介紹我國古代數學的研究成就，在擴大學生知識面的同時增強學生的民族自豪感，激發學生的學習動力. 同時，隨著中國的快速發展，數學應用的例子在經濟建設中隨處可見. 因此，在教學引入中應摒棄一些過時且枯燥的例子，可以將熱議時事作為素材，讓學生在潛移默化中接受德育，實現德育的無痕滲透.

例13 （云南卷）為慶祝中國共產黨成立100周年，某市組織該市七、八兩個年級學生參加演講比賽，演講比賽的主題為“追憶百年歷程，凝聚青春力量”. 該市一中學經過初選，在七年級選出3名同學，其中2名女生，分別記為x1，x2，1名男生，記為y1;在八年級選出3名同學，其中1名女生，記為x3，2名男生，分別記為y2，y3. 現分別從兩個年級初選出的同學中，每個年級隨機選出1名同學組成代表隊參加比賽.

（1）用列表法或樹狀圖法（樹狀圖也稱樹形圖）中的一種方法，求所有可能出現的代表隊總數;

（2）求選出的代表隊中的2名同學恰好是1名男生和1名女生的概率P.

例14 （湖北·隨州卷）疫苗接種初期，為更好地響應國家對符合條件的人群接種新冠疫苗的號召，某市教育部門隨機抽取了該市部分七、八、九年級教師，了解教師的疫苗接種情況，得到如表2所示的統計表.

（1）表中，a的值為 ? ? ? ，b的值為 ? ? ? ，c的值為 ? ? ? ;

（2）由表中數據可知，統計的教師中接種率最高的是 ? ? 年級教師（填“七”“八”或“九”）;

（3）若該市初中七、八、九年級一共約有8 000名教師，根據抽樣結果估計未接種的教師約有 ? ? ;

（4）為更好地響應號召，立德中學從最初接種的4名教師（其中七年級1名，八年級1名，九年級2名）中隨機選取2名教師談談接種的感受，試用列表或畫樹狀圖的方法，求選中的兩名教師恰好不在同一年級的概率.

【評析】例13以“慶祝中國共產黨成立100周年”為情境命題，教育學生愛國愛黨，立報國之志、學報國之才、踐報國之行，努力學知識、學技能，從小事做起，成為對黨和國家有用的人才！在筆者抽查的73份試卷中，類似的題目還有11道;例14以“接種新冠疫苗”這一熱點問題開展命題，充分體現了中國特色社會主義制度的優越性，為偉大的祖國點贊！類似的題目還有3道. 另外，還有數學史、垃圾分類、禁毒宣傳、節約用水等德育素材，讓學生在潛移默化中接受德育教育，體現了中考的價值與魅力.

三、復習建議

回望2021年中考試題對“事件的概率”的考查，緊扣《標準》的要求，把重點放在了基本概念的理解、計算簡單隨機事件的概率和了解頻率與概率的關系三個方面，題目背景新穎，立意不斷創新，讓我們深切地感受到考試評價改革帶來的新氣象、新景觀. 針對2022年中考“事件的概率”部分的復習備考，提出如下建議.

1. 立足基礎，串聯知識點

回顧近幾年全國各地“事件的概率”試題，從命題依據來看，以《標準》作為命題的基本依據，考查重點集中在三個方面：一是對基本概念的考查，如隨機事件、概率的意義;二是通過列表、畫樹狀圖等方法列出簡單隨機事件所有可能的結果，以及指定事件發生的所有可能結果;三是用頻率估計概率. 從試題形式和難度來看，考查單一知識點的試題較多，試題形式和難度都沒有太大變化，以考查基礎知識、基本技能、基本思想方法，以及分析問題和解決問題的能力為主，題目背景突出時代主題，以學生熟悉的生活場景或經驗為主. 題目類型以選擇題或填空題形式考查概率的基礎知識，如必然事件、不可能事件、隨機事件等概念和概率的意義等;以解答題形式考查用列表或畫樹狀圖求多步試驗下的簡單隨機事件的概率. 因此，中考復習一定要立足基礎，用思維導圖把關于概率的知識點串聯起來，如圖5所示.

通過思維導圖可以有效構建知識網絡，厘清各知識點之間的邏輯關系，能夠充分調動學生學習的積極性，推動他們主動思考，厘清思路，同時能夠有效提高中考復習效率，化零為整地加深了學生對知識要點的理解與掌握.

2. 滲透思想，重視方法引路

數學思想的運用是數學學習過程的橋梁和紐帶，是學生鍛煉自己的綜合性思維能力的最佳平臺和渠道，思維的塑造和訓練對于提升學生的學科素養是大有裨益的. 因此，在復習“事件的概率”內容時，應加深對題目中蘊含的模型思想、隨機思想、統計思想、化歸思想、數形結合思想等思想方法的理解. 值得注意的是，用列舉法求概率不應在計算上做過高要求，掌握方法至關重要. 第一，學會正確使用列舉法求概率. 如果試驗只有一步，可直接使用枚舉法;如果試驗有兩步，既可利用列表法，又可畫樹狀圖，列舉機會均等的結果;如果試驗有三步（一般不超過三步），則必須畫樹狀圖列舉所有機會均等的結果. 第二，在試驗過程中完成第一步之后會判斷是否放回，它將直接影響機會均等的個數. 第三，理解古典概率計算公式：如果在一次試驗中，有n種可能的結果，并且它們發生的可能性相同，事件A出現m種結果，那么事件A發生的概率為P（A） =[mn]. 第四，使用列表法和畫樹狀圖法需正確分析試驗對象，了解試驗對象是誰及它的個數. 例如，某校有A，B兩個餐廳，甲、乙、丙三名學生各自隨機選擇其中的一個餐廳用餐，求甲、乙、丙三名學生在同一個餐廳用餐的概率. 這是一道典型易錯題，這個問題試驗對象是A，B兩個餐廳，所以它是三步完成的試驗，每步試驗的結果有兩個.

3. 注重實踐，提升數學活動經驗

蘇霍姆林斯基說過這樣一句話：“當知識與積極的活動緊密聯系在一起的時候，學習才能成為孩子精神生活的一部分.”概率知識來源于生活實踐和生產過程中，所以在教學中可以讓學生多實踐，為學生提供“做數學”的機會，讓他們經歷“猜想—實踐—分析—驗證”的學習過程，親身經歷，感性認知，在實踐中抽象出數學問題、構建數學模型，體會概率在決策中的作用，知道通過大量重復試驗時頻率可作為事件發生的概率的估計值，并獲得基本的數學活動經驗.

4. 傳遞文化，促進全面發展

義務教育階段的數學課程，其基本出發點是促進學生全面、持續、和諧地發展，要緊扣《標準》要求，關注概率的應用性，尤其是結合生產生活實際、社會熱點背景的題目，多以富有時代氣息的現實問題做例子，如5G網絡、抗擊疫情、禁毒、垃圾分類、節約用水等，激發學生愛黨、愛國的深厚情懷，引導學生修大德、明大理、立大志、行大道，努力培養擔當民族復興大任的時代新人，促使學生在推動新時代實現中華民族偉大復興的中國夢的壯闊進程中展現青春風采.

四、模擬題欣賞

1. 下列說法正確的是（? ? ）.

（A）端午節我們有吃粽子的習俗，為了保證大家吃上放心的粽子，質監部門對市場上的粽子實行全面調查

（B）一組數據2，5，5，3，4的眾數和中位數都是5

（C）某地發行一種福利彩票，中獎概率為1%，買這種彩票100張一定會中獎

（D）甲、乙兩名同學各跳遠10次，若他們跳遠成績的平均數相同，甲同學跳遠成績的方差為1.2，乙同學跳遠成績的方差為1.6，則甲同學發揮比乙同學穩定

答案：D.

2. 如圖6，小球從[A]口往下落，在每個交叉口都有向左或向右兩種可能，且可能性相同，則小球最終從[H]口落出的概率為（? ? ）.

答案：C.

3. 將分別標有“學”“習”“強”“國”漢字的四個小球裝在一個不透明的口袋中，這些球除漢字外無其他差別，每次摸球前先攪拌均勻. 隨機摸出一球，不放回;再隨機摸出一球. 兩次摸出的球上的漢字可以組成“強國”的概率是 ? ? ?.

答案：[16].

4. 一個不透明的盒子里裝有20個紅、黃兩種顏色的小球，這些球除顏色外其他完全相同. 每次摸球前先將盒子里的球搖勻任意摸出1個球記下顏色后再放回盒子. 通過大量重復摸球試驗后發現，摸到黃球的頻率穩定在0.3，那么估計盒子中紅球有 ? ? ?.

答案：14個.

5. 小麗同學代表學校參加“我愛祖國”主題宣傳教育活動，該活動分為兩個階段：第一階段有“歌曲演唱”“書法展示”“器樂獨奏”三個項目（依次用A，B，C表示），第二階段有“故事演講”“詩歌朗誦”兩個項目（依次用D，E表示），參加人員在每個階段各隨機抽取一個項目完成.

（1）小麗同學在第一階段抽中“器樂獨奏”的概率是? ? ? ?;

（2）試用畫樹狀圖或列表的方法求小麗同學恰好抽中C，D兩個項目的概率.

答案：（1） [13];

（2）根據題意畫如圖7所示的樹狀圖.

共有6種等可能的情況，其中小麗同學恰好抽中C，D兩個項目的只有1種情況，所以小麗同學恰好抽中C，D兩個項目的概率為[16].

6. 爭創文明城市，從我做起，某校在九年級開設了文明禮儀校本課程，為了了解學生的學習情況，隨機抽取了20名學生的測試成績，分數如下：

所有等可能的結果有6種，其中恰好是一名男生和一名女生的情況有4種，所以恰好抽到一男一女的概率為[23].

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部制定. 義務教育數學課程標準（2011年版）[M]. 北京：北京師范大學出版社，2012.

[2]丁克. 2018年中考“事件的概率”專題命題分析[J]. 中國數學教育（初中版），2019（3）：22-30.

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