彰顯素養(yǎng)導(dǎo)向　突出工具作用

李建國

摘? 要：通過對2021年全國各省、市中考試卷的分析研究，結(jié)合《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》的具體要求，“圖形與坐標(biāo)”部分的中考命題的考查內(nèi)容、命題思路表現(xiàn)為“強調(diào)基礎(chǔ)，緊扣課程標(biāo)準(zhǔn)要求;突出聯(lián)系，凸顯工具作用;適度創(chuàng)新，彰顯能力素養(yǎng)”三個方面的突出特點. 基于上述分析，提出三個方面的中考復(fù)習(xí)建議，并給出相關(guān)模擬題.

關(guān)鍵詞：中考試題;圖形與坐標(biāo);考查內(nèi)容;命題思路;復(fù)習(xí)建議

在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）中，“圖形與坐標(biāo)”是圖形與幾何領(lǐng)域的三部分內(nèi)容之一，包括“坐標(biāo)與圖形位置”和“坐標(biāo)與圖形運動”兩塊內(nèi)容，其核心是平面直角坐標(biāo)系. 在數(shù)學(xué)中，平面直角坐標(biāo)系是連通代數(shù)與圖形的重要橋梁，是用代數(shù)方法研究幾何問題和用幾何直觀分析代數(shù)問題的重要工具，蘊含著數(shù)形結(jié)合、運動變化、分類討論、坐標(biāo)法等數(shù)學(xué)思想方法，是發(fā)展學(xué)生抽象能力、運算能力、幾何直觀、推理能力、模型觀念、應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識的良好載體，在歷年全國各地的中考試題中占有重要位置. 本文對2021年全國各地中考試卷的“圖形與坐標(biāo)”部分進行研究分析，在此基礎(chǔ)上提出復(fù)習(xí)建議，并給出部分模擬題.

一、考查內(nèi)容分析

在初中階段，《標(biāo)準(zhǔn)》安排的“圖形與坐標(biāo)”內(nèi)容共9條，主要包括“體會用有序數(shù)對可以表示物體的位置”“能畫出直角坐標(biāo)系，能根據(jù)坐標(biāo)描出點的位置、由點的位置寫出它的坐標(biāo)”“能建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，描述物體的位置”“會寫出矩形的頂點坐標(biāo)”“能用方位角和距離刻畫兩個物體的相對位置”“能寫出一個已知頂點坐標(biāo)的多邊形的對稱圖形的頂點坐標(biāo)”“能寫出一個已知頂點坐標(biāo)的多邊形沿坐標(biāo)軸方向平移后圖形的頂點坐標(biāo)”“了解將一個多邊形依次沿兩個坐標(biāo)軸方向平移后所得到的圖形與原來的圖形具有平移關(guān)系”“了解將一個多邊形的頂點坐標(biāo)分別擴大或縮小相同倍數(shù)時所對應(yīng)的圖形與原圖形是位似的”. 雖然內(nèi)容簡單，但《標(biāo)準(zhǔn)》要求“掌握”層次的有6條，這充分體現(xiàn)了“圖形與坐標(biāo)”內(nèi)容在初中數(shù)學(xué)中的重要位置. 筆者通過分析全國各地108份中考數(shù)學(xué)試卷，發(fā)現(xiàn)涉及“圖形與坐標(biāo)”知識點的題目一般有3 ～ 6道，占試卷試題總量的六分之一左右;由于“圖形與坐標(biāo)”涉及的試題大多融合在其他內(nèi)容的試題中，在大多數(shù)試卷中，按照它在試題中的價值估算分值，約占總分值的5% ～ 8%;作為解題的基本工具，“圖形與坐標(biāo)”知識在題目中基本以題目條件的形式出現(xiàn).

二、命題思路分析

通過對2021年全國各地中考試卷的分析研究，“圖形與坐標(biāo)”的試題大致可以分為三類：第一類題目強調(diào)基礎(chǔ)，緊扣《標(biāo)準(zhǔn)》的要求，屬于較容易題或者中等難度題，一般以選擇題或填空題的形式出現(xiàn);第二類題目突出聯(lián)系，體現(xiàn)了“圖形與坐標(biāo)”的工具作用，有基礎(chǔ)題也有綜合題，這類題目的難度不在于坐標(biāo)運用，而在于與其他數(shù)學(xué)知識的綜合運用，多以解答題為主;第三類題目是創(chuàng)新題，突出對學(xué)生能力和素養(yǎng)的考查，多為各類題型中的壓軸題，部分題目難度較大.

1. 強調(diào)基礎(chǔ)，緊扣課程標(biāo)準(zhǔn)要求

《標(biāo)準(zhǔn)》對“圖形與坐標(biāo)”的要求明確具體，容易設(shè)計一些考查基礎(chǔ)知識和基本能力的試題，在筆者抽取的108份試卷中，有41份試卷設(shè)計了直接考查該專題“雙基”的題目，占比較高. 具體命題思路如下.

（1）求圖形上的點的坐標(biāo).

例1 （天津卷）如圖1，[?]ABCD的頂點A，B，C的坐標(biāo)分別是A（0，1），B（-2，-2），C（2，-2），則頂點D的坐標(biāo)是（? ）.

（A）（-4，1） （B）（4，-2）

（C）（4，1）? （D）（2，1）

此題以平行四邊形為載體，給出四個頂點中的三個，求第四個頂點的坐標(biāo). 考查《標(biāo)準(zhǔn)》明確提出的“由點的位置寫坐標(biāo)”和“用坐標(biāo)刻畫一個簡單圖形”的基本要求，屬于簡單題.

這類試題在各地中考試卷中多次出現(xiàn)，如海南卷的第7題、黑龍江哈爾濱卷的第11題、山西卷的第12題等. 一般以選擇題或填空題為主，常在坐標(biāo)系或方格圖的背景中呈現(xiàn)，給出的多邊形大多數(shù)是平行四邊形或特殊的平行四邊形（如正方形、矩形、菱形等），也可能是直角三角形，主要利用上述圖形的基本性質(zhì)進行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換.

（2）求圖形運動后的點的坐標(biāo).

例2 （四川·涼山州卷）在平面直角坐標(biāo)系中，將線段AB平移后得到線段A'B'，點A（2，1）的對應(yīng)點A'的坐標(biāo)為A'（-2，-3），則點B（-2，3）的對應(yīng)點B'的坐標(biāo)為（? ）.

（A）（6，1） （B）（3，7）

（C）（-6，-1） （D）（2，-1）

平移是圖形變換的重要方式，是進一步研究圖形（或函數(shù)圖象）變換的基礎(chǔ)，是坐標(biāo)與圖形運動的命題熱點. 在筆者抽取的108份試卷中，多達(dá)46份試卷涉及平移問題. 此題給出線段兩個端點平移前的坐標(biāo)和平移后一個端點的坐標(biāo)，求另一個端點的坐標(biāo). 考查學(xué)生靈活運用所學(xué)知識和數(shù)學(xué)思想分析、解決問題的能力.

除了平移，還有三類問題也是中考考查的熱點：一是關(guān)于坐標(biāo)軸或原點對稱的點的坐標(biāo)問題;二是圖形旋轉(zhuǎn)后的點的坐標(biāo)問題;三是位似圖形的相似比或點的坐標(biāo)問題.

關(guān)于坐標(biāo)軸或原點對稱是學(xué)生進一步學(xué)習(xí)函數(shù)、曲線與方程、向量、復(fù)數(shù)等知識的基礎(chǔ)，也是從代數(shù)角度研究中心對稱和軸對稱關(guān)系的必備基礎(chǔ). 在各地的中考試題中，這類題目有很多，如四川成都卷第4題、湖北宜昌卷第13題、江西卷第22題第（1）小題、廣西桂林卷第17題、廣西北部灣卷第7題、廣西賀州卷第4題、廣西來賓卷第7題、浙江杭州卷第21題第（1）小題、山東威海卷第16題、四川瀘州卷第6題等.

對于“圖形與坐標(biāo)”，《標(biāo)準(zhǔn)》沒有給出圖形旋轉(zhuǎn)的具體要求，但結(jié)合圖形的變化部分，也可以設(shè)計旋轉(zhuǎn)后圖形的坐標(biāo)問題. 基本設(shè)計思路有：① 旋轉(zhuǎn)角為90°或180°等特殊角;② 旋轉(zhuǎn)到某個特殊位置;③ 在方格圖內(nèi)旋轉(zhuǎn). 解決這類問題要抓住旋轉(zhuǎn)的兩大特性：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，兩組對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的角相等. 由于《標(biāo)準(zhǔn)》對圖形的旋轉(zhuǎn)要求不高，后續(xù)學(xué)習(xí)中尤其是高中涉及的內(nèi)容也不多，題目設(shè)計的難度一般不大，如安徽卷第16題第（2）小題、吉林卷第12題.

位似在《標(biāo)準(zhǔn)》中的要求僅僅是“了解”“知道”，但一些地方的中考也有涉及，多為簡單題，如河北卷第19題、山東東營卷第9題、浙江嘉興卷第12題.

2. 突出聯(lián)系，凸顯工具作用

“圖形與坐標(biāo)”對學(xué)生發(fā)展的作用：一是體現(xiàn)數(shù)與形的密切聯(lián)系，發(fā)展學(xué)生抽象能力、幾何直觀和推理能力等;二是體現(xiàn)平面直角坐標(biāo)系在解決問題中的工具作用，特別是在研究函數(shù)中的作用，為進一步學(xué)習(xí)函數(shù)、解析幾何、向量等知識奠定基礎(chǔ). 在2021年全國各地的中考試題中，與其他知識聯(lián)系在一起，工具作用非常明顯.

（1）作為分析圖形性質(zhì)的工具.

例3 （海南卷）如圖2，△ABC的頂點B，C的坐標(biāo)分別是B（1，0），C（0，[3]），且∠ABC = 90°，∠A = 30°，則頂點A的坐標(biāo)是? ? ? .

此題給出點B，C的坐標(biāo)，就可以分析△OBC的性質(zhì)，明確∠OBC = 60°的結(jié)論，結(jié)合題目其他條件確定點A的坐標(biāo). 在設(shè)計思路上，坐標(biāo)是固定圖形位置的工具，依據(jù)坐標(biāo)就能分析出圖形的形狀、性質(zhì)，把題目條件轉(zhuǎn)化為可以直接運用的條件或結(jié)論.

（2）作為分析圖形變化的工具.

例4 （山東·棗莊卷）如圖3，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△A?B?C?由△ABC繞點P旋轉(zhuǎn)得到，則點P的坐標(biāo)為? ? ? ? .

對于圖形旋轉(zhuǎn)，很多時候命題者只關(guān)注到旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)點的坐標(biāo)或?qū)?yīng)點之間的關(guān)系. 此題獨辟蹊徑，讓學(xué)生尋找旋轉(zhuǎn)中心. 根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等. 因此，旋轉(zhuǎn)中心P在對應(yīng)點連線的中垂線上. 觀察題目給出的圖形，點A與點A?的連線與坐標(biāo)軸平行，中垂線為x = 1，再觀察另外兩對對應(yīng)點，點C與點C?距離較近，容易發(fā)現(xiàn)線段CC?的中垂線經(jīng)過點（1，-1），從而得到答案. 從解答過程可以看出，此題需要深刻理解旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，并結(jié)合圖形合理選擇可用的信息，考查學(xué)生對知識本質(zhì)的認(rèn)識，充分體現(xiàn)命題者對知識學(xué)習(xí)過程的關(guān)注.

（3）作為觀察函數(shù)性質(zhì)的工具.

例5 （天津卷）若點A（-5，y1），B（1，y2），C（5，y3）都在反比例函數(shù)[y=-5x]的圖象上，則y1，y2，y3的大小關(guān)系是（? ）.

（A）y1 < y2 < y3 （B）y2 < y3 < y1

（C）y1 < y3 < y2 （D）y3 < y1 < y2

研究函數(shù)的性質(zhì)離不開圖形與坐標(biāo). 根據(jù)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的函數(shù)圖象，按照自變量由小到大的順序，可以直觀感受函數(shù)值的變化規(guī)律. 考查函數(shù)性質(zhì)的試題一般都是結(jié)合函數(shù)圖象分析函數(shù)的增減性、對稱性、最值等. 此題抽取了反比例函數(shù)在兩段圖象上的三個點的坐標(biāo)，考查學(xué)生對反比例函數(shù)增、減性的理解水平. 在抽取的108份試卷中，通過觀察函數(shù)增、減性來比較大小的題目有21道題，這些題目大多數(shù)為反比例函數(shù)問題，有23道題涉及二次函數(shù)的最值、17道題涉及二次函數(shù)的對稱性.

3. 適度創(chuàng)新，彰顯能力素養(yǎng)

（1）提供新穎背景，考查數(shù)學(xué)遷移能力.

例6 （貴州·遵義卷）數(shù)經(jīng)歷了從自然數(shù)到有理數(shù)、到實數(shù)、再到復(fù)數(shù)的發(fā)展過程，數(shù)學(xué)中把形如a + bi（a，b為實數(shù)）的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，用z = a + bi表示，任何一個復(fù)數(shù)z = a + bi在平面直角坐標(biāo)系中都可以用有序數(shù)對Z（a，b）表示，如z = 1 + 2i表示為Z（1，2），則z = 2 - i可表示為（? ）.

（A）Z（2，0） （B）Z（2，-1）

（C）Z（2，1） （D）Z（-1，2）

此題借用復(fù)數(shù)這個初中生比較陌生的背景知識，考查學(xué)生的閱讀理解能力和知識遷移能力，體現(xiàn)了《標(biāo)準(zhǔn)》對于培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識的要求，反映了命題者考查學(xué)生創(chuàng)新意識的基本思路. 2021年廣西貴港卷第18題引用了向量的知識，這些內(nèi)容都是高中數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容，在中考中引入高中內(nèi)容是否會使平時的教學(xué)導(dǎo)向出現(xiàn)偏差，值得商榷. 命題時，創(chuàng)新問題的呈現(xiàn)背景可以從科技、生活、生產(chǎn)入手，也可以從物理、化學(xué)等其他學(xué)科領(lǐng)域入手，目的是讓學(xué)生在不同于日常數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的情境中自覺運用數(shù)學(xué)知識分析、解決問題，發(fā)展他們的創(chuàng)新意識和知識遷移能力.

（2）設(shè)計趣味問題，考查分析和推理能力.

例7 （浙江·金華卷）如圖4，在平面直角坐標(biāo)系中，有一只用七巧板拼成的“貓”，三角形①的邊BC及平行四邊形②的邊CD都在x軸上，“貓”耳尖E在y軸上. 若“貓”尾巴尖A的橫坐標(biāo)是1，則“貓”爪尖F的坐標(biāo)是? ? ? .

此題用一個七巧板圖案巧妙構(gòu)筑了一個數(shù)學(xué)問題，豐富了數(shù)學(xué)的生活味道，有利于激發(fā)學(xué)生的探究熱情. 解答此題需要仔細(xì)觀察各圖案在原正方形中的位置和大小，再結(jié)合它們在坐標(biāo)系中的位置，設(shè)出未知數(shù)，建立方程，逐步推出點F的橫、縱坐標(biāo)，既有難度又充滿了挑戰(zhàn). 在探究過程中，能充分體現(xiàn)學(xué)生對等腰直角三角形、平行四邊形、正方形中邊、高、對角線等內(nèi)容的掌握情況，對方程思想的靈活運用水平，對問題的分析、解決能力，幾何直觀和推理能力，都有很好的考查效果.

（3）設(shè)計開放性問題，考查幾何直觀和推理能力.

例8 （浙江·紹興卷）如圖5，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD的頂點A在x軸的正半軸上，頂點B，C在第一象限，頂點D的坐標(biāo)為[D52，2].

反比例函數(shù)[y=kx]（常數(shù)k > 0，x > 0）的圖象恰好經(jīng)過正方形ABCD的兩個頂點，則k的值是? ? ?.

開放性問題是發(fā)展學(xué)生批判性思維的良好載體，常表現(xiàn)為條件開放型、結(jié)論開放型、解題思路開放型. 此題是條件開放型問題，看上去感覺條件不夠充分，解答難以入手，根本原因在于點A的位置沒有確定. 基于此，不妨設(shè)點A的坐標(biāo)為A（m，0），將點B，C的坐標(biāo)用m表示出來，再利用兩點都在反比例函數(shù)的圖象上建立方程，求得m的值或判斷無解. 由于反比例函數(shù)過哪兩個點沒有確定，解題時要進行分類討論.

（4）設(shè)計探究性問題，考查研究發(fā)現(xiàn)能力.

例9 （四川·達(dá)州卷）在平面直角坐標(biāo)系中，等

邊三角形AOB如圖6所示放置，點A的坐標(biāo)為A（1，0），每一次將△AOB繞著點O逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°，同時每邊擴大為原來的2倍，第一次旋轉(zhuǎn)后得到△A1OB1，第二次旋轉(zhuǎn)后得到△A2OB2，…，依此類推，則點A2 021的坐標(biāo)為（? ）.

（A）（-22 020，[-3]× 22 020）

（B）（22 021，[-3]× 22 021）

（C）（22 020，[-3]× 22 020）

（D）（-22 021，[-3]× 22 021）

歸納概括得到猜想和規(guī)律，并加以驗證，是創(chuàng)新的重要方法. 此題通過對點A1，A2，A3的坐標(biāo)的求解過程，發(fā)現(xiàn)符合條件的任意點An的坐標(biāo)存在的規(guī)律，從而獲得猜想，然后通過驗證最終得出正確結(jié)論. 在探究過程中，能充分體現(xiàn)學(xué)生科學(xué)發(fā)現(xiàn)的能力水平. 在抽取試卷中，這類題目較多，如山東泰安卷第18題、山東東營卷第18題、廣東深圳卷第21題、黑龍江齊齊哈爾卷第17題、貴州黔東南州卷第19題、黑龍江綏化卷第26題、山東菏澤卷第14題、湖北荊州卷第16題等.

三、復(fù)習(xí)建議

1. 夯實基礎(chǔ)，強化“四基”

“圖形與坐標(biāo)”是平面幾何走向解析幾何、常量數(shù)學(xué)走向變量數(shù)學(xué)的橋梁，堅實的基礎(chǔ)是學(xué)生未來發(fā)展必須具備的條件. 在基礎(chǔ)知識和基本技能層面，要明確《標(biāo)準(zhǔn)》對坐標(biāo)與位置、坐標(biāo)與運動的9條要求，系統(tǒng)掌握知識結(jié)構(gòu)體系，準(zhǔn)確把握學(xué)習(xí)難度，科學(xué)訓(xùn)練，不做繁、難、偏、怪的題目. 在基本思想方法和基本活動經(jīng)驗層面，要讓學(xué)生充分體驗和熟練掌握建立坐標(biāo)系、描點畫圖這些基本操作過程，并借助圖形直觀研究問題. 要讓學(xué)生經(jīng)歷把“研究對象”抽象成“圖形”，再把“對象之間的關(guān)系”轉(zhuǎn)化為“圖形之間的關(guān)系”的過程，深刻理解數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化、分類、抽象等數(shù)學(xué)思想方法，并把這些思想方法自然運用于學(xué)習(xí)和解題中.

2. 認(rèn)清特點，用好“工具”

對于“圖形與坐標(biāo)”的學(xué)習(xí)，不能止步于“四基”層面. 基于它的工具作用，在后續(xù)學(xué)習(xí)中要加強與函數(shù)、不等式、解三角形等知識的密切聯(lián)系，邊學(xué)習(xí)邊回顧，把坐標(biāo)與位置、坐標(biāo)與運動的《標(biāo)準(zhǔn)》要求與新內(nèi)容充分融合，達(dá)成知識螺旋發(fā)展的良好態(tài)勢. 例如，在函數(shù)教學(xué)中，通過函數(shù)史特別是笛卡兒解析法的回顧，充分認(rèn)識坐標(biāo)系在函數(shù)發(fā)展歷史上的重要價值，在解決文中例5這類問題的時候，先從解析式的角度進行分析，再從圖形的角度觀察，加深學(xué)生對坐標(biāo)系在解決函數(shù)問題中的優(yōu)越性的認(rèn)識，進而自然而然地熟練運用坐標(biāo)系這一工具.

3. 著眼發(fā)展，提升素養(yǎng)

數(shù)學(xué)教育要落實立德樹人的根本任務(wù)，促進學(xué)生在情感、態(tài)度、價值觀方面的健康發(fā)展，讓學(xué)生在學(xué)好“四基”、掌握“四能”的基礎(chǔ)上，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng). 素養(yǎng)的發(fā)展不是一蹴而就的，而是滲透于日常的學(xué)習(xí)生活中的. 例如，例3的教學(xué)，這道題難度不大，站在著眼于學(xué)生發(fā)展的角度，就不能只是解題了事，而應(yīng)當(dāng)以問題為引導(dǎo)做深度探究. 問題1：閱讀試題，此時我們首先要做的事情是什么？其次呢？再次呢？該問題意在讓學(xué)生在審題中建立文本條件和圖形條件對應(yīng)的意識，培養(yǎng)他們細(xì)致觀察圖形的習(xí)慣，發(fā)展幾何直觀素養(yǎng). 問題2：在思考問題1時，你聯(lián)想到什么？產(chǎn)生了哪些解題思路？該問題意在讓學(xué)生建立思路梳理的解題習(xí)慣，而不是不管不顧地直接解題，發(fā)展他們有條理思考問題的能力，也就是邏輯推理素養(yǎng). 問題3：完成此題的解答過程，思考還有其他的解題思路嗎？與同學(xué)交流你的想法，嘗試用另一種方法再次解答. 該問題意在拓展學(xué)生思維，提高學(xué)生的思維品質(zhì). 在問題引導(dǎo)下，學(xué)生完成解題后，可以讓學(xué)生再思考，上述問題對學(xué)會解題有什么作用，進一步引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)解題策略. 在國家“雙減”要求的背景之下，課堂教學(xué)要減負(fù)增效，“效”從哪里來？從學(xué)生的學(xué)習(xí)習(xí)慣培養(yǎng)中來，從發(fā)展學(xué)生能力和素養(yǎng)中來，從引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)的教學(xué)中來.

四、模擬題欣賞

1. 如圖7，點A，B，C都在方格紙的格點上，若點A的坐標(biāo)為A（4，0），點B的坐標(biāo)為B（0，-1），則點C的坐標(biāo)是（? ）.

（A）（2，2） （B）（3，2）

（C）（3，3） （D）（2，3）

答案：B.

2. 如圖8，已知點A的坐標(biāo)為A（1，0），點B在直線[y=-x]上運動，當(dāng)線段AB最短時，點B的坐標(biāo)為（? ）.

（A）（0，0） （B）[12，-12]

（C）[22，-22] （D）[-12， 12]

答案：B.

3. 菱形OABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖9所示，若OA = 2，∠AOC = 45°，則點B的坐標(biāo)是（? ）.

（A）（2 +[2]，[2]）

（B）（2 -[2]，[2]）

（C）（-2 +[2]，[2]）

（D）（-2 -[2]，[2]）

答案：D.

4. 在平面直角坐標(biāo)系中，將點A（-1，2）向下平移3個單位長度得到點B，則點B關(guān)于y軸的對稱點C的坐標(biāo)是? ? ? ?.

答案：（1，-1）.

5. 在平面直角坐標(biāo)系中，直線y = -x + 1關(guān)于y軸對稱的直線的函數(shù)表達(dá)式是? ? ? ?.

答案：y = x + 1.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部制定. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M]. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[2]教育部基礎(chǔ)教育課程教材專家工作委員會. 《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》解讀[M]. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.