邊際密度函數(shù)的教學(xué)方法探討及應(yīng)用

◎范梓淼 張 瑜 (新疆農(nóng)業(yè)大學(xué),新疆 烏魯木齊 830052)

引 言

邊際密度函數(shù)是概率論中的重要內(nèi)容，包含連續(xù)型多維隨機變量中每個分量的分布信息.邊際密度函數(shù)因涉及定積分、二重積分的計算，一直是概率論教學(xué)與解題實踐過程的難點所在.又因其是求解隨機變量特征數(shù)字的基本內(nèi)容，故而又是教學(xué)實踐中的重點所在.目前關(guān)于邊際密度函數(shù)教學(xué)方法的主要是變量代換法、密度函數(shù)轉(zhuǎn)化、不等式組法[1-3]，袁媛利用圖示法求邊際密度函數(shù)[4].

本文圍繞邊際密度教學(xué)方法的探索，提出以計算為核心，詳細地演示與歸納如何確定積分上下限，并用類比思想，引導(dǎo)學(xué)生舉一反三，應(yīng)用于卷積公式和商的公式.

1 邊際密度函數(shù)的教學(xué)方法

如果二維連續(xù)隨機變量(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為p(x,y)，則

分別為X和Y的邊際密度函數(shù).

教學(xué)中要特別注意講解積分區(qū)域的確定.下面圍繞如何確定積分區(qū)域分析邊際密度函數(shù)的教學(xué)方法.

例1設(shè)二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為

求邊際密度函數(shù)pX(x)和pY(y).

解首先畫出積分區(qū)域，即p(x,y)的非零區(qū)域，0

(1)求pX(x).

計算pX(x)，在確定積分上下限時，必須將積分區(qū)域看作“X型”,如圖1.即將直線方程用x表示y，寫成y=f(x)，同時過x軸作垂線，與積分區(qū)域上下的交點所在直線為積分上下限，區(qū)域左右端點的x值為x的范圍.當(dāng)0

圖1 X型區(qū)域

所以X的邊際密度函數(shù)為

(2)求pY(y).

計算pY(y)，在確定積分上下限時，必須將積分區(qū)域看作“Y型”.如圖2，用y表示x，此時直線方程寫成x=g(y)的形式，過y軸作垂線，與積分區(qū)域左右的交點所在直線為積分上下限，區(qū)域上下端點的y值為y的范圍.

圖2 Y型區(qū)域

當(dāng)-1

當(dāng)0

所以Y的邊際密度函數(shù)為

求解邊際密度函數(shù)關(guān)鍵在于確定積分區(qū)域類型，不妨將此方法稱為“畫線法”.過x軸作垂線稱為X型，過z軸作垂線稱為Z型，過u軸作垂線稱為U型.總之，求X的密度函數(shù)時，將積分區(qū)域看作X型，直線方程寫成y=f(x)，過x軸作垂線.

下文將上述方法應(yīng)用于卷積公式和兩個隨機變量的商的公式.

2 卷積公式

引理1[1]設(shè)X與Y是兩個相互獨立的連續(xù)隨機變量，其密度函數(shù)分別為pX(x)和pY(y)，則其和Z=X+Y的密度函數(shù)為

例2設(shè)隨機變量X與Y相互獨立，且X～U(0,1),Y～Exp(1)，求Z=X+Y的密度函數(shù).

解 由引理1的卷積公式，Z的密度函數(shù)為

求pz(z)，所以用“Z型”.首先畫出積分區(qū)域，又因為pX(x)=1,0 0，如圖3所示.

圖3 “Z”形積分區(qū)域(1)

圖4 “Z”形積分區(qū)域(2)

當(dāng)0

當(dāng)z>1時，過z軸作垂線，與區(qū)域左交點所在直線為y=z-1，右交點所在直線為y=z，所以

綜上，

所以確定積分上下限，重點是如何畫線，為更好解釋，將例2的積分區(qū)域畫在以z軸為橫坐標(biāo)的坐標(biāo)系中.

同樣，必須過z軸作垂線，直線方程用z表示y，可得到一模一樣的結(jié)果，即當(dāng)01時，與區(qū)域下交點所在直線為y=z-1，上交點所在直線為y=z.

3 兩個隨機變量的商的公式

引理2[5]設(shè)隨機變量X與Y相互獨立，其密度函數(shù)分別為PX(x)和PY(y)，則U=X/Y的密度函數(shù)為

例3設(shè)隨機變量X與Y相互獨立，且X～U(0,1),Y～Exp(1)，求U=X/Y的密度函數(shù).

解由引理2，積分區(qū)域確定為 00.

圖5 “U”形積分區(qū)域

所以，U的密度函數(shù)為

4 結(jié) 論

通過數(shù)形結(jié)合闡述了確定連續(xù)型隨機變量邊際密度函數(shù)上下限的方法，在邊際密度函數(shù)教學(xué)時，重點講清過哪條軸畫線即可.另外，注重計算也是幫助學(xué)生理解的一種教學(xué)方法，要注意引導(dǎo)，增強學(xué)生舉一反三的能力，培養(yǎng)學(xué)習(xí)興趣.