高中新教材背景下的三角函數性質教學實踐與思考

摘 要：人教版高中數學新教材在編寫理念、教材結構、知識內容編排、例題設置和習題設置五個方面具有特色。在教學實施過程中，教師應當充分研究新教材調整內容，有效用好教材當中的“思考”和“探究與發現”，挖掘其數學思維培養內涵，合理整合教材，設置有思維價值的延伸探究題，充分調動學生的積極性，引導學生獨立自主地開展思維活動，并通過交流討論，提升數學核心素養。

關鍵詞：新教材;教學內容整合;探究學習;核心素養

一、三角函數性質的內容改變

筆者在人民教育出版社2019A版數學必修第一冊第五章《三角函數》中的《5.4.2正弦函數、余弦函數的性質》發現，與舊教材相比，在學習完周期性概念后，新教材直接到了奇偶性的學習，在完成例題和課后習題之后，出現了和舊教材一模一樣的“探究與發現”，這個“探究與發現”是針對周期性的拓展內容。而舊教材把這個“探究與發現”放在周期性之后，也就是完整學習完周期性的概念以及拓展之后，再學習奇偶性。這個變化到底用意如何呢？在教學用書上解釋了這個原因：在例題和習題結束后，是“不要求學生必須探究出一般形式的函數的周期與ω之間的確切關系。”而后的探究與發現則是對例2的推廣，“分級遞進地進行抽象，先從具體函數抽象為一般函數，研究其周期性，再從這些特殊類型的函數抽象為一般的周期函數進行研究”[1]。看來為了三角函數性質內容的連貫，以及削枝強干的主導思想，教材作出了這個變化。

二、利用探究與發現進行教學內容整合

筆者認為既然這樣的處理能使“干”的教學內容更連貫，那么探究與發現也可以使“枝”的內容更豐滿。于是，我大膽進行教學內容的整合。在完成周期性與奇偶性的概念教學后，我以問題“中的三個變量A、ω、φ對三角函數的周期性和奇偶性有影響嗎？如果有，有怎樣的影響？”來進行探究教學，深化拓展對一般形式的函數的周期以及奇偶性的認識。

（一）教材分析

本節書是第五章《三角函數》第四節《三角函數的圖像與性質》第二課時《5.4.2正弦函數、余弦函數的性質》。所謂性質，就是研究對象在變化過程中保持不變的特征。教科書通過“探究”引導學生明確函數性質的研究內容，選擇適當的研究方法。教材從觀察圖像以及公式驗證兩種方法得出周期性與奇偶性，這種多角度的觀察、描述與思考中，提升學生的直觀想象和邏輯推理等數學素養。我把這部分內容稱之為第一部分，即原理教學。第二部分內容為原理應用教學，即“探究與發現”的拓展，我把這部分又分為兩個小部分，其一就是課本本例，研究一般形式三角函數的周期問題;其二就是引申探究，研究一般形式三角函數的奇偶性問題。

（二）學生分析

學生在學習完正弦函數和余弦函數圖像之后進行性質的學習，應該說具備了自主探究的知識儲備與探究能力。但是類比已有的函數性質，周期性卻是三角函數獨有的，因此無法只從類比中得到，我認為這個需要引導學生回憶正弦曲線作圖過程，以及單位圓變化的規律性而得出。周期性與奇偶性的探究可以通過教師啟發，任務引領，自主閱讀，完成探究的思路展開。這節課的亮點是課后的“探究與發現”，讓學生通過任務引領，發現A、ω、φ三個變量對周期性以及奇偶性的影響，這個過程對學生來說有一定的難度，也最容易產生思維的火花。

（三）教學過程

1.任務、自學、探究

（1）請同學們閱讀課本201頁，完成以下思考：

正弦函數與余弦函數的周期是什么？你從何而知？

周期與最小正周期的關系是什么？

（2）探究下列函數的周期：

（3）請同學們閱讀課本202頁，完成以下思考：

正弦函數與余弦函數的奇偶性是什么？你從何而知？

2.分享自學成果，教師從中指出重點、突破難點

3.延伸探究

（1）探究任務1：對于，中的三個變量A、ω、φ對三角函數的周期性有影響嗎？如果有，有怎樣的影響？請求出的最小正周期。

（2）探究任務2：對于，中的三個變量A、ω、φ對三角函數的奇偶性有影響嗎？如果有，有怎樣的影響？請分別判斷的奇偶性。

4.歸納提升，形成結論

（1）歸納探究任務1：

函數及的周期T=。因此周期只與ω有關。

（2）歸納探究任務2：

對于函數，

因為，所以是奇函數;

對于函數，因為所以是奇函數。也就是說A與ω都沒有影響函數的奇偶性，那么φ呢？

5.聚焦爭議點，蹦出思維的火花

對于函數的奇偶性，這時候學生們就發生爭議了。大部分學生認為這是個非奇非偶函數，然而只有個別學生覺得這與的取值有關，因此不能判斷。于是我就讓兩派學生分別詳細闡述自己的觀點和證據，下面是課堂實錄：

學生1：因為

且，所以它是非奇非偶函數。

學生2：如果，

那么，它就是個奇函數。

其他學生恍然大悟，這時又有同學提出：能是個偶函數嗎？

于是其他同學馬上投入探索中，不一會兒，就有學生發現答案是肯定的。

學生3：如果，

那么，它就是個偶函數。

教師表揚同學們善于發現問題，解決問題，總結大家從誘導公式角度來解釋問題的可行性，同時提出新問題，如果從誘導公式來分析，那么的取值還可以更簡潔。

所以如果，那么函數就是奇函數;如果，就是偶函數。

6.課后思考問題

課后思考對于的奇偶性如何判斷？命題“如果函數y=f（x）的周期是T，那么函數y=f（ωx），的周期是”是否成立？

三、教材重組的反思

章建躍對新課改實施過程中，教學涉及各環節及相關問題進行了反思和討論，概括出一些基本共識：教學設計——不僅從內容的教學需要預設提問、講授、訓練等，而且特別強調課堂“生成”，設計能引發學生獨立思考、自主探究的“開放性問題”;教學方法——教師主導取向的講授式和學生自主取向的活動式融合，強調“啟發式教學”的核心地位[3]。下面是我的幾點反思：

（一）學生自主閱讀教材，發揮教材引領作用

本節課開始，我啟發學生探究三角函數的性質，但是并沒有越俎代庖，而是引導學生重視教科書的閱讀，在直觀感知的基礎上，系統、規范的認識函數的性質，并獲得精準規范的表達，培養思維的嚴謹性。

（二）教師設計探究發現，發揮學生主體地位

本節課我利用教材的探究與發現，結合新課學習，設計了延伸探究，并把教材當中沒出現的奇偶性探究放在一起讓學生探究。這個問題引發了學生的認知沖突，由此展開了思維碰撞，激發了學生的求知欲。這部分屬于啟發式教學，在啟發式教學中，教學是教與學交互作用的雙邊活動，學生是教學的主體，教師是教學的主導;教師根據認知目標與情感目標并重的要求安排教學過程，充分調動學生的知、情、意、行等諸方面的積極性，引導學生獨立自主地開展思維活動，融會貫通地掌握知識，發展智力，培養能力，實現教育目標，達到全面發展[4]。因此這部分延伸探究，正是發揮學生主體地位的體現。

（三）師生共同修正結論，提升學生核心素養

學生在開放性的問題中的數學思維是自由的，也是最具創造性的。本節課在討論函數的奇偶性時，學生就出現各種爭議，既有認為是非奇非偶函數的，也有認為是奇函數的，更有認為是不能判斷的。每個人都各執一詞，各說各有理。因此我采取師生共同修正結論。課堂上我引導學生侃侃而談，各抒己見，并提供誘導公式作為工具，修正結論，使結論呈現數學的簡潔美。這個過程其實就是學生提升邏輯推理，數學表達能力。

王尚志，史寧中認為，數學核心素養是在數學學習過程中逐步形成的。數學核心素養包括數學抽象，邏輯推理，數學建模，直觀想象，數學運算數據分析共六個方面，更一般的還包括學會學習、數學應用、創新意識等。從學習評價的角度看，數學核心素養主要體現在情境與問題、知識與技能、思維與表達、交流與反思的綜合運用能力上[5]。可見數學交流能力是核心素養的一個重要體現。

結束語

新教材對《正弦函數和余弦函數的性質》的教學內容呈現以及順序作出了調整。這既體現了新教材以生為本，注重知識的生成過程，也體現了新教材注重核心素養的培養。那么教師在設計教案時，應該充分利用教材，并根據實際情況開發教材，設計適當的教學環節，使學生從不解、質疑、交流、釋疑的過程中，逐漸培養起對數學學習的興趣，以及提升了邏輯推理、直觀想象的數學核心素養。

參考文獻

[1]數學必修第一冊教師教學用書[M].北京：人民教育出版社2019，7

[2]何小亞，姚靜.中學數學教學設計[M].北京：科學出版社2020：67

[3]章建躍.數學教育隨想錄[M].杭州：浙江教育出版社，2017，6：475

[4]曹才翰，章建躍.數學教育心理學[M].北京：北京師范大學出版社，2018，10：48

[5]華志遠.數學核心素養的內涵與構成[J].教育研究與評論·中學教育教學，2016（5）：11-13

作者簡介：郭靖.（1980年8月），女，漢族，廣東省廣州市人，教育碩士，研究方向：高中數學教育。