數學抽象素養的培育實踐

周先華

摘? 要：數學抽象是數學學科核心素養的六大內容之一. 在均值不等式教學中，通過對均值不等式的幾何意義、證明和拓展問題的探究，發現不等式與平面幾何、三角、函數與導數等知識之間的內在聯系，進行了一次有效的數學抽象素養培育嘗試.

關鍵詞：數學抽象;高考評價體系;均值不等式;核心素養;實踐探索

2019年11月出版的《中國高考評價體系》（以下簡稱《體系》）明確構建了“一核”“四層”“四翼”用于指導高考改革與高考命題的測評體系. 其中，“四層”是高考的考查內容，而學科素養在這“四層”中起著承上啟下的作用，既承接核心價值的方向引領，又統攝關鍵能力與必備知識等內容. 學科素養既是基礎教育的培養目標，也是高等學校選拔人才的要求. 它把《普通高中數學課程標準（2017年版）》（以下簡稱《標準》）中的學科核心素養與高校選拔人才時的素養要求進行了完美融合，構建出了適合高考的測評體系，并分為學習掌握、實踐探索和思維方法這三個一級指標. 其中，思維方法又分為科學思維、人文思維和創新思維這三個二級指標. 而數學抽象是數學學科中最重要的一種思維方法，也是高考數學命題中最受關注的數學學科核心素養.

一、數學學科核心素養培育視角下的數學抽象

數學抽象，是通過觀察與分析，拋開數學對象外部的、偶然的東西而抽象出其本原，從空間形式與數量關系上揭示數學對象本質的一種數學思維方法. 作為《標準》中規定的高中數學學科核心素養之首，數學抽象是高中數學中最重要的思維方法. 作為一種創造性思維方法，數學抽象主要包括同向思維、逆向思維、悖向思維和審美直覺思維這四種基本方法. 從學科素養培育的角度觀察，數學抽象主要表現在以下四個方面：獲得數學概念和規則，提出數學命題與模型，形成數學思想與方法，認識數學結構與體系.

培育數學抽象素養，就是積累從具體到抽象的活動經驗，從而達到下列目標：使學生能更好地理解數學概念、命題、方法和體系;能通過抽象、概括去認識、理解、把握事物的數學本質;能逐漸養成一般性思考問題的習慣;能在其他學科的學習中主動運用數學抽象的思維方式解決問題.

《標準》對數學抽象的上述目標進行了細化，分為從弱到強的水平一、水平二、水平三，其量化標準對高中數學教學具有極強的指導意義. 下面通過均值不等式的教學，對數學抽象素養的培育進行實踐探索.

二、均值不等式的探究

故結論得證.

【評析】問題2是問題1的拓展與延伸，使用分析法容易得證. 在證明結論的同時，我們要認真體會拓展均值不等式中的四個代數式的本質的一致性，即[a-b2≥0]. 在理解前面的命題及其推證的基礎上，仍然通過類比解決新的問題，體現了《標準》中數學抽象素養的水平二：能夠在關聯的情境中抽象出一般的數學概念和規則;能夠將已知數學命題推廣到更一般的情形;能夠在新的情境中選擇和運用數學方法解決問題;能夠理解用數學語言表達的概念、規則、推理和論證;能夠提煉出解決一類問題的數學方法，理解其中的數學思想. 根據已經證明的數學命題推導出新的命題，意味著數學概念與規則的獲得;延伸命題的推證，意味著數學命題與模型的提出，并在此推導過程中初步形成數學思想與方法.

【評析】本探究將不等式、平面幾何、三角函數、導函數等知識與方法進行整合，尋求在知識的交會處探究問題的內在聯系. 探究均值不等式的代數本質和幾何本質，既體現了《體系》中構建的“四翼”中的綜合性和創新性要求，也體現了《標準》中數學抽象素養的水平三的要求：能夠在得到的數學結論的基礎上形成新命題;能夠針對具體問題運用或創造數學方法解決問題……能夠感悟通性、通法的數學原理和其中蘊涵的數學思想.

在比較[P，Q，R]的大小時，以角度為自變量來構造函數，再利用研究函數最值的一般性方法——導數法求得函數的最值，從而比較大小. 這是對學生的創新性思維的要求. 不等式判斷（或證明）本質上是函數的最值問題. 數學抽象就是要剝去所研究的數學對象的“外衣”，尋求其數量與空間的本質，并在此過程中形成數學思想與方法，從整體上認識數學知識的結構. 因此，上述探究過程的核心就是數學抽象能力的形成過程.

在上述四個問題的探究過程中，我們可以感受到，在高中數學教學過程中，數學抽象素養的生長點非常多. 從數學概念的生成、數學命題與數學規律的獲得、數學模型的提出與建構，到數學思想方法的形成，再到對數學結構與體系的感悟與認識，數學抽象無處不在. 在教學中，教師要善于發現并充分利用這樣的契機，以核心價值為引領、以數學知識為載體，培育學生的數學學科核心素養.

參考文獻：

[1]教育部考試中心制定. 中國高考評價體系[M]. 北京：人民教育出版社，2019.

[2]教育部考試中心. 中國高考評價體系說明[M]. 北京：人民教育出版社，2019.

[3]羅增儒. 從數學知識的傳授到數學素養的生成[J]. 中學數學教學參考（上旬），2016（7）：2-7.

[4]丁小剛. 均值不等式幾何解釋的探究[J]. 中學教研（數學），2011（3）：23-25.

[5]林崇德. 對未來基礎教育的幾點思考[J]. 課程·教材·教法，2016，36（3）：3-10.

[6]徐利治，鄭毓信. 數學抽象方法與抽象度分析法[M]. 南京：江蘇教育出版社，1990.