小學數學思想方法指導功能與適用情境的差異性分析

王成營

摘 要 針對小學數學思想方法理解和教學中存在的內涵模糊、外延不清的問題，基于方法論的視角，根據小學數學教師的實際需要，考慮小學生能夠理解的表征方式，將小學數學思想方法劃分為基礎性數學思想方法、問題性數學思想方法、策略性數學思想方法、整體性數學思想方法四個層次，并從指導功能和適用情境兩個方面分析了不同層次數學思想方法的差異性。

關鍵詞 小學數學 數學思想方法 指導功能 適用情境 差異性分析

數學思想方法是基礎教育階段數學教學中最具“神秘”色彩的概念之一，意義抽象、內容復雜，是數學教學中的一個難點。學界通常基于哲學“本質”[1]的視角探討“數學思想方法是什么”的問題，使數學思想方法成為脫離認知情境和問題情境的孤立知識，弱化了數學思想方法的思維指導作用，不利于數學思想方法的教與學的組織。本文嘗試基于方法論的視角，根據小學數學教師的實際需要，以小學生能夠理解的表征方式，對小學數學思想方法的指導功能和適用情境進行差異性分析，以期幫助小學數學教師厘清數學思想方法相關概念之間的關系，加深對思想方法內涵的理解，更有效地組織小學數學思想方法教學活動。

一、基礎性數學思想方法：數學知識與數學工具

數學知識與數學工具是最基礎的數學思想方法，是知識與工具本身自有的方法規定性或操作規范，是數學思維的起點和出發點。數學知識和數學工具既是人類長期數學實踐（數學認識和數學創造）的成果，也是進一步開展數學實踐的基礎。當然，不是所有數學知識和數學工具都可稱為數學思想方法，只有那些能夠為數學活動提供方法性或操作性指導的數學知識和數學工具才能稱為數學思想方法。

小學數學概念性（陳述性）知識是包含若干要素的最簡單的數學結構模型，小學生至少要掌握數學概念的模型、結構、讀法與寫法中蘊含的思想方法。例如，“自然數”概念中，除了10以內的10個數字外，多位自然數本身就是包括“數字、數位、進制”三個要素的結構模型。圖1中用小棒直觀形象的表征方式呈現了自然數讀寫的一些基本方法和規范要求：每個位置上只能有0～9中的1個數字;相鄰的兩個位置之間是10倍的關系——個位代表“根”，十位代表“捆”，而1捆中有10根;同樣的數字在不同位置上表示不同的含義——在十位上時代表幾“十”（捆），在個位上時代表幾“個”（根）;寫兩位數時，兩個數字間的距離要相對靠近一點，不要看上去像兩個獨立的數字;讀寫時都按照從高位到低位，即從左到右的次序;高位上先讀數字再讀數位，個位上只讀數字，不讀數位;中間數位上是0時，只讀零，不讀數位;中間連續多個數位為0時，只讀一個零。顯然，小學生不理解或不掌握以上方法和要求時，就必然會出現理解和讀寫錯誤。

圖1

小學數學命題性（程序性）知識是包含多個概念或概念要素的最簡單的數學關系模型，其中小學生至少要掌握它的變式（形）方法和化歸方法（從問題情境中建構或識別出該數學關系模型）兩類思想方法，從而形成應用數學命題（規則）解決相關問題的能力。例如，數學命題s=v×t表征了路程、速度、時間三個要素間最簡單的關系模型，通過s=v×t，v=，t=三種變式對應解決求路程、求速度、求時間三類簡單問題。若小學生能夠依據對相關問題情境的分析，聯想并識別出其中一種變式來規范地解答問題，則表明具備了教學目標所要求的知識應用能力。

小學數學工具性知識是關于某個量的測量活動或制作活動的操作性規范要求，是提高數據測量精度和符合相關活動標準的根本保證。例如，量角器的使用方法、直尺的使用方法、時鐘的識別方法等。這類思想方法依附于數學知識或數學工具，可以稱為知識性思想方法，或方法性數學知識。在小學數學知識和數學工具教學中，教師不僅要從本質的視角，指導小學生從實物觀察與情境感知中獲得感性經驗，從制作與操作活動中獲得活動經驗，進而從這些經驗中抽象概括出共同本質——數學概念與數學命題，還要從方法的視角，將數學知識與觀察活動、思維活動、操作活動等具體活動任務和相關的問題情境結合起來，指導小學生遇到類似任務或情境時怎么進行模型識別、信息感知、并聯想相關的數學知識來提供思維指導。

二、問題性數學思想方法：數學方法與數學技巧

數學方法與數學技巧屬于問題性數學思想方法，是針對具體問題整體而言的，是對某類相對簡單數學問題解答過程中，某些共同的數學思維活動形式和規律的抽象概括，反映了數學知識獲得過程與問題解決過程的本質。不考慮策略選擇的情況下，復雜問題的具體解答過程也稱為解題方法。

數學方法通常包含三個要素：明確的目的、適用的條件或范圍、操作的步驟或次序。世上沒有萬能的方法，任何方法都是有條件、有目的的。數學方法的目的代表了思維的方向、指向或意圖，解釋“為什么要這樣做”。數學方法的“適用條件”解釋“什么時候可以這樣做”，決定了“什么情境下應用這種方法”，或者說，“感知到情境中的哪些信號時應聯想到這種方法”。數學方法的“操作步驟或次序”解釋“如何做”、“怎樣做”，代表了數學思維的嚴謹性和程序性，決定了“應該怎么做”，或者說，“必須怎樣做”。如果不能嚴格按照要求操作，方法應用過程中就會導致錯誤。學習數學方法必須深刻理解上述三個要素，才能真正掌握這個方法。否則，就會在個人經驗和問題情境等多個因素的干擾下出現這樣或那樣的錯誤。

例如，在計算23+15-28+7-11=（20+3）+（10+5）-（30-2）+（10-3）-（10+1）=6的過程中運用了“湊十法”。“湊十法”的適用條件是：100以內自然數的加減運算。目的是將兩位數的加減運算轉化為一位數的加減運算，從而通過口算提升運算速度，提高運算準確性。操作步驟主要包括兩步：先將每個兩位數轉化為整十加或減一個小于5的自然數，再分別對所有整十的數與所有小于5的數進行加減運算。當然，在實際運用“湊十法”的過程中，可以不必寫出上述轉化過程，而是直接在原數下方進行轉化，然后通過口算直接寫出運算結果。“湊整法”是將“湊十法”推廣到多位數加減運算的情形，方法的目的與操作步驟基本相同，但適用范圍需要相應做出調整。

數學技巧是對數學基本方法的靈活運用。數學技巧的“巧”在于針對特殊問題情境采取特殊處理方法或思維方式，它給人一種“巧妙”之感，具體表現為計算方法之恰當、計算程序之簡潔。數學技巧是在數學解題過程中，根據問題的一些特殊性質或條件所選擇的具有發現性質的特殊方法，它往往不被一般人所發現。在解題過程中，當感覺到問題的圖形、條件有某些特殊性時，可考慮超越一般的方法，嘗試發現更巧妙的解法，從而達到事半功倍的效果。

三、策略性數學思想方法：數學策略與解題思路

數學策略與解題思路屬于策略性數學思想方法，是對某類包含多個步驟、多個問題組合或嵌套結構的復雜問題的解答過程中所運用的方法系統，是對結構的調整、重組與優化的思維活動的抽象概括。

任何數學問題情境或數學活動任務都是一個由已知條件與求證結論（活動目標）組成的數學模型或信息系統。在相對復雜的問題情境的已知條件系統中，條件數量越多，條件之間形成的數學關系或數學模型也就越復雜。數學問題解決或活動設計的過程本質上是建構已知條件與求證結論的邏輯鏈的過程。邏輯鏈的末端是確定的，即求證的結論或活動目標，但邏輯鏈的始端卻是不定的。從不同的已知條件出發會建構出不同“長度”的邏輯鏈，會耗費不同的思維活動量，也就形成了不同的解題策略。在這些不同的解題方法或活動方案中，邏輯鏈相對最短、耗費思維活動量最少的方法，就稱為該問題的最優解法。通過將相對復雜問題轉化為相對簡單的若干個“原型問題”，再將每個“原型問題”的通用方法進行簡單的組合、聯結，從而解決整個問題的方法，稱為常規方法。

例如，人教版小學數學教材一年級上冊第110頁的第16題，如圖2所示。

圖2

此題的任務是明確的，就是從入口走到出口，但走的過程需要多個步驟，且面臨多種可能路徑的選擇，使得這個看似簡單的問題成為一個蘊含策略性思想方法的復雜方法系統。首先，“入口”與“出口”這兩個已知條件中蘊含著“正走”與“倒走”兩種完全不同的解題策略。還可以采用“兩頭同時走，中間碰頭”的策略，畢竟兩頭確定路線的難度要遠小于到中間的“迷宮”里尋找路線。其次，“入口”與“出口”處的“情境”是相同的，都是兩個2與一個奇數。 最后，按照題目的要求，走的路線選擇必須按照2-4-6-8-2-4-6-8……的數字順序，其中隱含著三條重要信息：奇數不能走，即不必選擇;從“入口”的2出發“正走”時，后面的4有兩種選擇;從“出口”的2出發“倒走”時，前面的8只有一種選擇。這些信息說明兩種解題策略之間存在差異，從數學思想方法視角看，是有探究價值的。

顯然，大部分小學生通常是依據經驗，在明確題意后便自然而然地采用“正走”策略。但可能很快會遇到“斷路”，不得不返回來重新選擇。善于運用分類思想的同學可以運用上述已知條件，嘗試探索出所有的可能路徑。沒有分類意識的小學生可能會陷入“迷宮”而不知所措。對于一年級小學生，教師應該在學生解決問題后進行思想方法的啟發、引導、講解和分析，初步滲透“最優解法”的觀念和意識。對于高年級小學生則應從分析題目信息入手，重點進行策略方法的探究，最后再運用“最優解法”完成問題解答。

總之，從數學思想方法教學的視角看，通過對這類典型問題進行全面深入的思想方法探索，不僅有利于小學生對所學數學知識的整合與認知重構，更使數學知識適應了多變的問題情境，培養和提高了學生的問題解決能力，取得了“舉一反三”的學習效果和教學效果。

四、整體性數學思想方法：數學思想與數學觀念

數學思想與數學觀念屬于整體性數學思想方法，是指在數學認識、數學操作、數學問題解決等活動中起到方向指導和整體統攝作用的共同的思維活動規律、思維結果或形成的觀點與觀念體系。

那么，數學思想與數學觀念到底是什么？數學思想與數學觀念有什么區別與聯系呢？“思想”由“思”與“想”構成，既可以作為動詞，指思維活動或思考，也可以作為名詞，指思維過程。通俗地講，“數學思想”就是指“數學思考”的過程。這里的“數學思考”不同于“數學認識”，通常是指對普遍的、重大的、根本性問題的思考。因此，數學思想不同于數學知識。數學思想側重人的思維活動，強調問題解決的思維過程、思維模式與思維方法。數學知識側重客觀事物的認識活動，強調客觀事物在人腦中心理反映結果。例如，分類思想是指當思維對象數量較大、雜亂無章、或者處于不確定狀態時，為了使思維能夠有效進行而將思維對象依據一定的標準分成不同種類，使研究對象數量減少、條理清晰、狀態確定，從而降低思維載荷和難度的一種數學思想。當數學思想應用于具體問題或具體情境時，應稱為數學方法。例如，對于各種各樣的三角形，人們通常有兩種分類方法（不能稱為分類思想）：按照三角形內角的大小分為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形;按照三角形邊長之間的關系分為等邊三角形、等腰三角形、不等腰三角形。因而數學思想又被看作是對數學方法的進一步抽象概括，反應了某類數學方法的共同本質。

“觀念”由“觀”與“念”構成。“觀”是人們認識事物的一種方法，“念”是事物反映到人腦中形成的一種意識形態或心理表象。通俗地講，觀念是指人們在長期的生活和生產實踐當中形成的對某個領域或某類事物的總體的綜合認識或系統認識。觀念是客觀事物見之于主觀的結果，它一方面反應了客觀事物的不同屬性，同時體現出個體的主觀色彩，使不同個體間呈現出顯著的差異性。觀念來自于思想，思想源于問題情境。因此，觀念的形成是思想的系統化結果，思想的形成來自對于普遍的、重大的、根本性問題的思考和解答。主體的行為由意識驅動，行為的性質由觀念決定，觀念的形成來自于思想，思想來自于主體對本身思維活動規律的反思和系統化。沒有主體有意識的反思就沒有思想，也就不會形成綜合觀念。

綜上所述，數學思想方法實事上是一個總稱，根據其思維功能不同可以分為四個層次：一是數學思想與數學觀念，通常適用于依據特定認知對象或問題情境中蘊含的數學信息做出整體判斷和選擇，為數學思維提供戰略性、方向性指導;二是數學策略與數學思路，通常適用于解決復雜性較高問題過程中的方法路徑選擇，為數學思維提供策略性、思路性指導;三是數學方法與數學技巧，通常為解決具體問題提供方法或為實施具體數學活動提供操作程序，為數學思維提供方法性、操作性指導;四是數學知識與數學工具，適用于各類數學活動，是作為基礎性、標準化的數學模型，為數學思維提供知識性、工具性、方式性指導。

參考文獻

[1] 鐘志華.數學思想方法的理解探索[J].教學與管理，2009（10）：43-46.

[責任編輯：陳國慶]