數(shù)學拓展課的設(shè)計原則及路徑舉隅

王衛(wèi)東

摘 要 數(shù)學拓展課是對教材中“綜合與實踐”領(lǐng)域的有效補充，其意在豐富拓展課程資源、滲透數(shù)學思想方法、提升數(shù)學核心素養(yǎng)。在設(shè)計數(shù)學拓展課時，可遵循以下六個原則：科學性原則、實踐性原則、趣味性原則、整體性原則、開放性原則及發(fā)展性原則。基于以上設(shè)計原則，例舉了三種常用的設(shè)計路徑：延伸教材內(nèi)容，完善認知體系;引入實際問題，激發(fā)多向思維;聚焦數(shù)學發(fā)展，培養(yǎng)創(chuàng)造能力。

關(guān)鍵詞 數(shù)學拓展課 綜合與實踐? 設(shè)計原則? 設(shè)計路徑

數(shù)學拓展課屬于“綜合與實踐”領(lǐng)域的教學內(nèi)容，它是課程校本化實施的重要載體，是對現(xiàn)行數(shù)學教材的有效補充，其意在豐富拓展課程資源、滲透數(shù)學思想方法、提升數(shù)學核心素養(yǎng)。作為校本課程資源，數(shù)學拓展課沒有系統(tǒng)的、配套的教學素材，因此，“教什么”便成為數(shù)學拓展課教學首先要面臨的難題。為了解決這個問題，一方面，教師要充分運用好教材中的資源，在深刻解讀不同版本教材的基礎(chǔ)上，根據(jù)教學需要，對教材中的素材或進行深度挖掘，或進行合理補充，或進行重新整合;另一方面，教師要充分挖掘教材以外的資源，可以是數(shù)學發(fā)展中的歷史故事，可以是事關(guān)當下的熱門科技，還可以是生活中遇到的現(xiàn)實問題，等等。

一、數(shù)學拓展課的設(shè)計原則

雖然數(shù)學拓展課的教學資源來源寬泛、內(nèi)容豐富，但很多資源往往不能直接加以引用，這就需要教師從教育教學的角度將它們分門別類、取舍整合。為了更好地達成教學目標，在開發(fā)數(shù)學拓展課時，我們應(yīng)遵循以下幾個設(shè)計原則。

1.科學性原則

數(shù)學教材中內(nèi)容的選擇與編排是經(jīng)過眾多專家、知名教師審核確定的，其科學性與合理性能得到最大程度的保證。但處于教材范圍之外的數(shù)學拓展課，它的設(shè)計則帶有一定的“草根性”，為此，教師要選取渠道正規(guī)、論證權(quán)威的教學資源，確保教學內(nèi)容的科學性。

2.實踐性原則

作為教材的有效補充，拓展課不受教學進度的限制，學生將會有更多的時間與機會參與實踐活動中來。教師要發(fā)揮引領(lǐng)者的作用，對學生的實踐行為給予適時的指導，從“想做”到“能做”，從“會做”到“樂做”，體驗到實踐活動帶來的快樂。

3.趣味性原則

兒童是學習的主體，拓展課同其他類型的課一樣，都應(yīng)尊重兒童的特點，激發(fā)學習的興趣。為此，在設(shè)計數(shù)學拓展課時，要引入生動活潑、貼近兒童的素材;在加工素材時，要力求用兒童的語言來表達數(shù)學，將教學活動潤物無聲地、有趣地加以推進。

4.整體性原則

當下社會是信息爆炸的社會，如何將眾多的信息甄選取舍、有機整合呢？這離不開整體性的設(shè)計考量。在組織素材時，我們可以圍繞教學目標設(shè)定一條教學主線，或呈現(xiàn)知識發(fā)生發(fā)展的過程，或展現(xiàn)事物間遞進的邏輯關(guān)系，或引領(lǐng)知識、思想、智慧的逐步提升。借力教學主線能篩選、貫串、統(tǒng)領(lǐng)、協(xié)調(diào)各部分教學資源。

5.開放性原則

數(shù)學拓展課的教學內(nèi)容是開放的，是對現(xiàn)行教材的補充與豐富，以此來對接學生已有的知識經(jīng)驗;也可以關(guān)注實際生活中的數(shù)學問題，以此來體驗數(shù)學學科的應(yīng)用價值;還可以從數(shù)學發(fā)展史里汲取素材，以此來感悟文化的魅力與精神的力量。

6.發(fā)展性原則

數(shù)學拓展課理應(yīng)突顯數(shù)學中的智慧，聚焦理性精神與創(chuàng)造能力的培養(yǎng)，引領(lǐng)學生在動手實踐、思辨反省、概括總結(jié)的過程中實現(xiàn)智慧的萌發(fā)與生長，從而為培育數(shù)學核心素養(yǎng)添磚加瓦，為學生的終生發(fā)展定基石。

二、數(shù)學拓展課的設(shè)計路徑

不同的數(shù)學拓展課承載著不同的學習任務(wù)，根據(jù)教學目標的不同、資源類型的不同，可以擬定富有個性化的設(shè)計路徑。下面，筆者基于數(shù)學拓展課的設(shè)計原則，例談三種常用的設(shè)計路徑，以求起到拋磚引玉的作用。

1.延伸教材內(nèi)容，完善認知體系

受到認知能力以及教學時間的局限，數(shù)學教材在編排一些知識點時，難免會存在體系不夠完整，內(nèi)容不夠豐富的現(xiàn)象，而這正好為數(shù)學拓展課的教學留下了很好的“接口”。通過數(shù)學拓展課的延伸，可引領(lǐng)學生從新的視角重新審視以往的學習內(nèi)容，從而更深刻地去理解知識之間的聯(lián)系，進一步豐富、完善學生的認知體系。

【案例】“長方體與正方體中的點、線、面、體”

1.正方體中的點、線、面、體

（1）出示棱長為1厘米、2厘米、3厘米的正方體，完成下表。

（2）觀察這些正方體點、線、面、體的變化，你有什么發(fā)現(xiàn)？

2.長方體中的點、線、面、體

（1）正方體與正方體之間的規(guī)律，對長方體來說，還適用嗎？請舉例說明。

（2）現(xiàn)在你有什么發(fā)現(xiàn)？

指出：只要兩個長方體的形狀一樣，它們也存在著上述規(guī)律。

3.運用關(guān)系解決問題

粉刷一個小長方體需要用油漆0.4千克，照這樣計算，粉刷長、寬、高都是它的2倍的大長方體，需要油漆多少千克？

……

“長方體與正方體”是蘇教版六年級上冊的教學內(nèi)容，在教學過程中我們發(fā)現(xiàn)，學生對正方體（長方體）棱長變化引起的表面積、體積變化，認識比較模糊。為什么會這樣呢？研讀教材時不難發(fā)現(xiàn)：本單元缺少對點、線、面、體的橫向與縱向的綜合比較，沒能揭示其中蘊藏的聯(lián)系。為了彌補這樣的缺憾，筆者帶領(lǐng)學生先研究正方體，從不同的空間維度理解點、線、面、體之間的變化關(guān)系，即當“線”擴大（或縮小）n倍時（n不為0），“面”會擴大（或縮小）n2倍，“體”會擴大（或縮小）n3倍。在此基礎(chǔ)上研究長方體，當學生發(fā)現(xiàn)不是所有長方體之間都存在上述規(guī)律時，引發(fā)思辨，學生感悟到相似體的特殊性及規(guī)律的局限性，從而貫通了知識間的聯(lián)系，在豐富策略的同時完善了認知結(jié)構(gòu)、培養(yǎng)了整體思維。

2.引入實際問題，激發(fā)多向思維

在數(shù)學拓展課中引入生活中的現(xiàn)實問題，可讓學習活動更鮮活、更生動。用數(shù)學的眼光來觀察生活，用數(shù)學的思維來解決問題，用數(shù)學的語言來描述世界，通過現(xiàn)實情景中問題的解決，學生感受到了數(shù)學是有用的，與此同時，他們也認識到解決問題的策略是多樣的，解決問題的途徑是多元的，以此來激發(fā)他們的多向思維。

【案例】“一片銀杏葉有多大”

一片銀杏葉的面積大約有多大？怎樣測量呢？

1.數(shù)出面積

用透明的方格紙（每個小方格邊長為1厘米），把它覆蓋在一片銀杏葉上，根據(jù)“整格的按整格算，不滿整格按半格算”的計算方法，數(shù)出葉子的面積。

2.算出面積

依據(jù)皮克定理“多邊形面積=多邊形內(nèi)部格點數(shù)+多邊形邊上格點數(shù)÷2-1”，算出面積。

3.量出面積

選出10片差不多大小的銀杏葉，測量出厚度。把它們放入量杯中測量出總體積，用總體積除以厚度，得出了底面積，即葉子的面積。

4.稱出面積

取厚的紙片，在上面描出一片銀杏葉的輪廓后剪下來。在同樣厚的紙片上剪出若干個邊長為1厘米的小方格。在天平的一邊放上樹葉狀的厚紙片，在天平的另一邊不斷添加小方格狀的厚紙片，直至天平的兩邊平衡。此時，根據(jù)小方格的個數(shù)就可知曉銀杏葉的面積大小。

5.推出面積

銀杏葉大小可能不一樣，但形狀大致差不多，即它們之間存在著相似形的關(guān)系。利用兩片葉子中“線”的關(guān)系（3：2）可推理出“面”的關(guān)系（32：22），接下來就可以根據(jù)一片已知面積的葉子來推算另一片葉子的面積了。

在學習完平行四邊形、三角形等平面圖形的面積計算公式之后，教材引入了不規(guī)則圖形面積的測量方法，即“數(shù)格子”的方法。我們由此受到啟發(fā)，求不規(guī)則平面圖形的面積，還有其他方法嗎？為此，筆者從“一片銀杏葉的面積大約是多少？怎樣測量呢？”引發(fā)學生思考與討論，帶領(lǐng)他們經(jīng)歷不同的探索過程。豐富的解決策略沖破了固有思維的局限，知識從單一到綜合、方法從一元到多元、思路從禁錮到開放，學生深刻地體驗到了策略運用的靈活性，真切地感受到了從不同角度思考問題帶來的成功與喜悅。

3.聚焦數(shù)學發(fā)展，培養(yǎng)創(chuàng)造能力

數(shù)學發(fā)展史是數(shù)學拓展課的資源寶庫，根據(jù)學生的知識儲備與認知水平，可引入適合的數(shù)學歷史素材，介紹數(shù)學知識的由來與發(fā)展，“見證”數(shù)學創(chuàng)造的巔峰時刻，讓學生在浸潤數(shù)學文化的同時樹立創(chuàng)新意識，發(fā)展創(chuàng)造能力。

【案例】“莫比烏斯環(huán)”的教學

1.什么是莫比烏斯環(huán)

介紹莫比烏斯環(huán)的由來及制作方法。

2.一剪莫比烏斯環(huán)

學生操作實驗：把莫比烏斯環(huán)的環(huán)寬平均分成兩份，即在的地方剪開，可以得到一個大紙環(huán);把莫比烏斯環(huán)的環(huán)寬平均分成三份，在莫比烏斯環(huán)的地方剪開，可以得到兩個相連的小紙環(huán)。

3.再剪莫比烏斯環(huán)

順著剛才的實驗及結(jié)論，接下來，你又會有怎樣的猜想呢？

學生猜想：如果在莫比烏斯環(huán)的、、處剪開，結(jié)果又會怎樣呢？如果把一張長方形紙條的一端旋轉(zhuǎn)540°，再把兩端粘接起來，情況又會怎樣呢？

對莫比烏斯環(huán)的教學，筆者沒有止步于數(shù)學文化的簡單介紹，而是關(guān)注了文化背后的創(chuàng)造意義。一個個大膽的猜想點燃了探索的熱情、激發(fā)了創(chuàng)造的潛能。

對數(shù)學拓展課的設(shè)計而言，凸顯拓展性固然重要，但我們也不要忽視了拓展課中的“數(shù)學味”，要重視拓展資源背后的數(shù)學思想與方法，重視拓展課中蘊藏的反思能力與創(chuàng)造能力、批判精神與理性精神，這樣才能更好地發(fā)揮數(shù)學拓展課的育人價值。

[責任編輯：陳國慶]