高中數學中立體幾何試題的有效解題方法探究

葛宏偉

摘 要：立體幾何是高中數學試題中非常重要的一個考查方面.它對學生的數學基礎知識、空間想象能力以及運算能力提出了很高的要求.學生在解題過程中需要發揮想象能力和探究能力，通過分析的方式把握知識規律，理清知識間的關系，明確考查本質，快速答題.

關鍵詞：高中數學;立體幾何;解題方法

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2021）10-0038-02

立體幾何知識需要學生從多角度考慮，對學生各方面的能力提出了很高的要求.教師在教學中要對學生進行“授之以漁”的教育，從方法上引導學生，促進學生積極思考.教師要引導學生在夯實基本功的基礎上探究解題方法，總結解題規律，深化認識.只有學生具有了較好的基礎知識和敏銳的洞察力，通過認真揣摩和分析的方式才能夠明確各個數量之間的關系，構建出空間圖形.通過想象和探究的方式來確定立體空間觀念，構建出空間模型，探究解題思路.一、射影法

在立體幾何中線面角和二面角都是非常重要的概念，對于學生解決立體幾何問題非常關鍵.例如如圖，P-ABCD是四棱錐，△PAD是等腰直角三角形，AD是它的斜邊，其中BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E為PD的中點.

（1）證明：CE∥平面PAB;

（2）求直線CE與平面PBC所成角的正弦值.

在分析問題是，學生首先要明確題目中的已知信息，通過認真閱讀的方式明確題目中給出的條件，分析它們彼此之間的關系，形成對試題的簡單理解.思考中，學生可以設F為PA中點，連接EF，FB，證明CE∥平面PAB.在求解第二問時，教師可以指導學生采用射影的方式來思考和探究，通過射影來探究各種數量關系，通過邏輯思考的方式來尋找解題思路.解題中，學生可以分別取BC，AD的中點M，N.為了方便解題，學生在思考中可以連接PN交EF于點Q，連接MQ.推理中學生會發現Q為EF的中點.在接下來的思考和探究中，學生會看到平行四邊形BCEF中中MQ∥CE，又因為△PAD是等腰直角三角形，可以得到PN⊥AD.由DC⊥AD，BC∥AD，BC=12AD，在認識到AD⊥平面PBN后，學生可以得到平面PBC⊥平面PBN.再一次做輔助線，過點Q作PB的垂線，H為垂足，連接MH.根據射影知識可以看到MH是MQ在平面PBC上的射影，所以∠QMH是直線CE與平面PBC所成的角.

設CD=1.在△PCD中可以計算出CE=2，在Rt△PBC中，由BC=1，PC=2得PB=3.根據直角三角形的相關知識可以計算出MQ=2，所以sin∠QMH=28.

二、最值法

最值法是解決立體幾何的一種常見方法，通常用于解決最大值與最小值方面的問題.例如如圖所示的三視圖，正視圖中的三角形邊長為2，側視圖的半圓半徑為1，求內接三棱錐的體積的最大值是（）.

A.36B.33

C.433

D.3π3

通過對題目中的信息的閱讀，學生會看到這是求最值的問題.當看到求最值問題時，學生會從三視圖中的已知信息看到，這是半個圓錐，在進一步的思考和探究中，學生會從已知信息中了解圓錐的母線長，底面半徑，并且可以結合這些信息計算出圓錐的高為3.在探究三棱錐的最大體積時，學生會考慮到三棱錐的底面是斜邊為半圓直徑，高為半圓半徑的等腰直角三角形，高為半圓錐的高時，這個時候三棱錐的體積最大.通過體積公式可以計算出V=16×2×1×3=33，所以最大體積為33.

三、輔助線法

通過恰當應用輔助線可以把看似毫無關系的空間數量聯系起來，在輔助線的幫助下快速推理，準確遷移，實現對試題的解答.例如如圖，點N為正方形ABCD的中心，△ECD為正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是線段ED的中點，則（）.

A.BM=EN，且直線BM，EN是相交直線

B.BM≠EN，且直線BM，EN是相交直線

C.BM=EN，且直線BM，EN是異面直線

D.BM≠EN，且直線BM，EN是異面直線

思考中，學生會做出輔助線，呈現如圖2所示的圖形.通過推理和邏輯分析，可以證明∴EF⊥平面ABCD.

∴EF⊥FN.不妨設AB=2，則FN=1，EF=3，

∴EN=FN2+EF2=2.

∵EM=MD，DG=GF，∴MG∥EF且MG=12EF，

∴MG⊥平面ABCD，∴MG⊥BG.∵MG=12EF=32，BG=

CG2+BC2=（32）2+22=52.

之后可以計算出BM的值為7，進而證明BM，EN是△DBE的中線.有了這些科學認識和推理過程，學生會認識到在幾何體中BM，EN必相交，所以B正確.

四、空間向量法

空間向量法是解決立體幾何的一種常見方法.例如如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長相等，E，F，G分別為AB，AA1，A1C1的中點，則B1F與平面GEF所成角的正弦值是多少？探究問題過程中，學生可以通過向量法來思考.這是高中立體幾何試題常用的一種解題策略，通過對試題的分析，學生會建立直角坐標系，在坐標系中進行數據的聯系，把握各個變量的關系，形成科學性認識.在解題時，如圖所示建立坐標系.通過對各個變量的值進行分析可以得出B1（0，3，2），F（1，0，1），E（12，32，0），G（0，0，2），B1F=（1，-3，-1），EF=（12，-32，1），GF=（1，0，-1）.

為了解答問題，可以設平面的法向量為n=（x，y，z），則EF·n=0，GF·n=0，

即12x-32y+z=0，x-z=0，

取x=1，則z=1，y=3，

運用所學過的數學知識進行計算和解答，學生會計算出n=（1，3，1），結合三角函數知識，學生進行推理和計算會得到B1F與平面GEF所成角的正弦值為

35.學生把題目中已知的數據放到坐標系中，通過坐標來建立聯系，大大提高了解題效率，有利于學生形成解題思路.

總之，“授之以魚”不如“授之以漁”，學生掌握了不同的解題方法和解題策略，會形成對知識的清楚認識.學生主動探究會習得解題方法和策略，帶著對知識的理性理解來思考和分析.教師科學地指導學生，鼓勵學生在大腦中建構圖形的立體框架和結構，把握各個數量關系，會促進學生更好地理解知識，提高解題能力.

參考文獻：

[1]李季.探討高中數學立體幾何解題技巧[J].數學學習與研究，2018（21）：131.

[2]馬吉良.淺談高中數學中的立體幾何解題技巧[J].考試周刊，2018（43）：81.

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