抓住偏差緊糾錯 引辨悟道突困惑

摘 要：學生的錯誤往往是學生思維的真實寫照，作為教師要抓住學生思維的偏差，分析學生致錯的原因而優化教學，引導學生使其突破困惑.

關鍵詞：抓住偏差;反思教學;突破困惑

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2021）10-0046-02

在教學中學生經常會出錯，錯誤也體現著學生最真實的思維，最自然的想法，在排除一個個錯誤與障礙之后，正確結論才呼之欲出.

一、特殊值引來偏差，想當然任性而為

例1 若關于x的一元二次方程（x-2）（x-3）=m有實數根x1，x2，且x1≠x2，有下列結論：①x1=2，x2=3;②m>-14;③二次函數y=（x-x1）（x-x2）+m的圖象與x軸交點的坐標為（2，0）和（3，0）.其中，正確結論的個數是（）.

A.0B.1C.2D.3

課堂上出示這道題目后，通過小組討論與交流后，平時比較機靈的幾個同學很快就說出了答案D.生1：取特殊值m=0，關于x的一元二次方程（x-2）（x-3）=m有實數根x1=2，x2=3，于是結論①正確.由于m=0>-14，故結論②正確.當m=0時，二次函數y=（x-x1）（x-x2）+m的圖象與x軸交點的坐標為（2，0）和（3，0）.于是結論①②③都正確.

聽了這個小組的代表生1的想法后，筆者首先給予孩子們活躍的思維表現給予語言上的鼓勵，但是這里呈現出的思維偏差也是十分明顯的，即特殊代表不了一般.

選擇題利用特殊值在排除“錯誤”答案時有其獨特的優勢，可以“一招制敵”.學生正是受此影響，思維定勢，誤認為在選正確答案時也是如此，取一個特殊值驗證就可以，于是就產生了以偏概全的錯誤解法.

二、“想當然”而為之

生2：“結論①x1=2，x2=3與結論③二次函數y=（x-x1）（x-x2）+m的圖象與x軸交點的坐標為（2，0）和（3，0）是等價的，結論①錯了，結論③自然不正確，正確的只有②，”.

而事實上這是想當然而為之，出現這種偏差是同學們在對結論③的認知上忽略了二次函數y=（x-x1）（x-x2）+m中的“m”了，誤認為結論①與結論③等價，馬虎大意而出錯.

生3：“結論③中，二次函數y=（x-x1）（x-x2）+m的圖象與x軸交點的坐標為（2，0）和（3，0），由于二次函數解析式之“交點式”中有“m”這一項，所以函數與x軸的交點不可能是為（2，0）和（3，0），結論③錯誤.”

三、方程切線有玄機，數形結合突困惑

1.切線生疑，變式遞進

求解圓的切線方程的一個教學片斷：

例2 過圓x2+y2=25上一點（3，-4）的切線方程為（）.

A.3x+4y-25=0B.3x-4y-25=0

C.3x+4y-5=0D.3x-4y-5=0

生1：這是一道簡單題目，將點（3，-4）代入選項中4個直線方程，通過驗證只有B選項是符合的，很快得出選項B正確.

本題是直線與圓的位置關系中求解圓的切線問題，作為選擇題學生首先聯想到了特殊值法.如果是以解答題形式出現，我們又該如何求解呢？

生2：可以利用公式過圓x2+y2=r2上一點p（x0，y0）的切線方程為xx0+yy0=r2來求解，把點（3，-4）代入xx0+yy0=r2，得3x+4y=25，再化為一般式方程為3x+4y-25=0得解.

師：這個公式課本中并沒有明確介紹，只有平時喜歡探究的學生可以利用其直接計算，部分學生還是不甚熟悉，需要我們進行推導.

生3：可以利用圓的切線性質，圓的切線垂直于過切點的半徑.

生4：對，我們可以先以特殊值（3，-4）進行推導，再過渡到一般值.

生5：關鍵是求出切線的斜率，由直線的點斜式寫出其直線方程.

師：同學們說的很對，點斜式是我們求解直線方程的常用方法，請一位來同學陳述一下.

生6：過圓心（0，0）與點（3，-4）的直線（半徑所在直線）的斜率是k1=0+40-3=-43，故圓的切線所在直線的斜率k2與其互為負倒數，為34，由點斜式方程（y-y0）=k（x-x0）將點與斜率代入求得其切線方程.

生7：根據生6的方法我們將點（3，-4）換為（x0，y0），便可求得過圓x2+y2=r2上一點p（x0，y0）的切線方程為xx0+yy0=r2.

由此可以看出，學生的思維還是比較活躍，適當增加難度，繼續深度探究.

2.數形結合，探究新知

例3 求過圓x2+y2-4x-4y+94=0外一點（3，-4）的切線方程？

生8：設所求切線方程的斜率為k，則其直線方程為y+4=k（x-3），化為一般式方程為kx-y-4-3k=0，又圓x2+y2-4x-4y+94=0的圓心坐標為（32，32），半徑為32.則圓心到切線的距離為d=32k-32-4-3kk2+1=-112-32kk2+1=32，解得k=-5633，所以切線方程為y+4=-5633（x-3），即56x+33y-25=0.

學生們看著生8在黑板上的板書都附和著，認為得來全不費工夫嘛.可孰知，一條切線已經丟掉了.

師：不對，應該還有一條切線方程的，學生們陷入了困惑.

師：請同學們看圖，顯然這樣的切線會有兩條.以幾何圖形驗證代數運算，生8的結果顯然是不全面的，無疑漏掉了一條切線方程.

有的學生根據圖形很快得出了另一條切線方程為x-3=0.

于是，過圓x2+y2-4x-4y+94=0外一點（3，-4）的切線方程為56x+33y-25=0或x-3=0.

3.糾正偏差，突破困惑

數形結合思想是我們在數學教學中必須要關注的，有些代數問題輔助以幾何圖形，解決起來就省事許多.在本題中，正是數學結合才糾正了學生思維上的偏差，讓學生認識到還有一條切線方程的存在.那么這條切線方程為何代數方法沒有求出來呢？

通過觀察圖形，我們發現切線x-3=0是垂直于y軸的，直線的傾斜角為90°，所以斜率不存在.因而在生8的求解中，設切線的斜率為k時，其前提必須是直線的斜率必須存在.這樣思考，也就不難理解為何代數法求出的切線方程只有一條了.

以上兩則教學案例表明，“想當然”現象在學生的學習中普遍存在，學生的思維活躍而具有自身的封閉性，但學生是可塑的，他的思維依賴于教師的引導.論語云：“學而不思則罔，思而不學則殆”，由此道明了學習與思考的邏輯關系.不思考的學習就是機械性的操作，會因迷茫而誤入陷阱;一味的空想不踏實鉆研一樣會誤入歧途而難有成就.只有將學與思融為一體，且學且思考，才能讓學習有效.其實，對學生的好多錯誤，多少老師僅一笑而過，沒有深思作為施教者應該如何對待學生錯誤，如何反思優化教學，引導學生走出迷茫的困境呢！誠如以上兩則教學案例，尤其對于中等偏下學生，教師要關注課堂上他們點點滴滴的表現，在師生合作的辨析中去偽存真;切忌“一筆帶過”與“一笑而過”，要引領學生“頓悟”，開導學生“點悟”.也希望在我們平時“熱鬧”的數學課堂背后，教師能夠關注更多的教學“門道”，從發展學生思維的深度與廣度上多花力氣，在育人與樹人的理念上多下功夫，讓培育學生數學核心素養不僅是一句口號，更要扎扎實實落實在課堂教學中.

參考文獻：

[1]惠紅民.一題一課：中考數學壓軸題的分析與解[M].杭州：浙江大學出版社，2016（5）.

[2]楊虎.數學教學應從理解起步[J].數學通訊，2020（11）：4-5.

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