由一道課本練習題引發的多角度探究

賀鳳梅

摘 要：課本上的習題在一定程度上具有典型性和示范性.作為一線教師，一定要認真解讀教材，認真鉆研教材，用好教材中的例題及練習題，對其內涵進行挖掘和提煉.通過多角度探究，讓學生弄通悟透，培養學生的分析問題和解決問題的能力.

關鍵詞：課本;練習題;多角度;探究

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2021）10-0033-03

一、問題展示

人教A版數學選修2-1第72頁練習第題：過點M（2，0）作斜率為1的直線l，交拋物線y2=4x于A、B兩點，求|AB|.

二、總體分析

已知拋物線y2=4x開口向右，對稱軸為x軸，2p=4，p=2，即p2=1，其焦點坐標為F（1，0），所給直線l的方程為y=x-2.

本題所求問題比較明確，就是求直線與已知拋物線相交所得弦的弦長問題.可以聯立方程，通過兩點間的距離公式求解;也可以通過弦長公式求解等.通過研究發現，本題是一道簡單題，很基礎，但是解題方法靈活多樣，可以一題多解.教學中我嘗試過引導學生多角度思考和探究，發現了多種解法，以此激發學生的學習興趣和研究試題的積極性，達到了拓展學生的思維的目的.

三、試題解答

1.利用兩點間的距離公式求解

分析 這種解法的的關鍵是聯立直線與拋物線的方程組成的方程組，求出方程組的公共解，即得兩交點的坐標，再代入兩點間的距離公式求解，便可以得出弦長.

解法1 由已知條件可知直線方程為y=x-2.

設A（x1，y1）、B（x2，y2），

聯立y=x-2，y2=4x，消去，得（x-2）2=4x，

整理得x2-8x+4=0，

由求根公式可得該方程的兩實根為x1=4+23，x2=4-23，

從而解得x1=4+23y1=4+23，x1=4-23y1=4-23，

所以A（4+23，

2+23）、B（4-23，2-23），

由兩點間的距離公式得

|AB|=[（4+23）-（4-23）]2+[

（2+23）-（2-23）]

=（43）2+（43）2=46.

所以|AB|=46.

解法2 鑒于本題中直線的方程為y=x-2，系數比較簡單，也可以消去x，

由x=y+2y2=4x，消去x，得y2=4（y+2），

整理得y2-4y-8=0，

由求根公式可得該方程的兩實根為y1=4+23，y2=4-23，

從而得x1=4+23y1=4+23，x1=4-23y1=4-23，

下同解法1求弦長|AB|=46.

評注 解法1和解法2的解題啟示是：運用兩點間的距離公式求弦長時，根據直線的特點，可以靈活選擇消去或消去，當然是以方便求解為原則.這種方法學生比較容易想到，通過此種求解過程，可以鍛煉和提高學生的計算能力.

2.利用弦長公式求解

分析 這種解法的的關鍵是聯立直線與拋物線的方程組成的方程組，消去x或者消去y，由根與系數的關系得出兩根之和以及兩根之積，代入相應的弦長公式，便可以求出弦長.

解法3 由解法1，有x2-8x+4=0，由根與系數的關系得x1+x2=8，x1x2=4，直線斜率k=1，再代入弦長公式

|AB|=1+k2|x1-x2|

=1+k2·（x1+x2）2-4x1x2

即得|AB|=2·82-4×4

=2·48=46

解法4 同樣聯立y=x-2y2=4x，

由直線y=x-2方程變形得x=y+2，

代入拋物線y2=4x方程，消去x，得

y2=4（y+2），

整理得y2-4y-8=0，

可知y1、y2是以上關于y的方程的產根，由根與系數的關系得y1+y2=4，y1y2=-8，

代入對應的弦長公式

|AB|=1+1k2|y1-y2|

=（1+1k2）（y1+y2）2-4y1y2

得|AB|=2·42-4×（-8）=46.

評注 解法3和解法4比較而言，學生比較容易想到的是解法3，如果選擇使用弦長公式求解，需要給學生講清楚的是聯立方程得到的方程組消元時，同樣需要根據直線方程的特點，以方便求解為前提條件.

3.構造直角三角形，由邊角關系求解

分析 這種解法的關鍵是根據題目條件，數形結合，找到直線與拋物線兩交點的縱坐標（或橫坐標）、弦長以及直線傾斜角之間的聯系，在所構造的直角三角形中求解完成.

解法5 由已知條件，直線斜率k=1，所以直線的傾斜角為α=π4，

結合圖象可得弦長|AB|=|y1-y2|sinα，

由解法4得

|y1-y2|=（y1+y2）2-4y1y2

=42-4×（-8）=43

故可求得|AB|=43sinπ4=46.

.

解法6 結合圖象及解法5，可得弦長也可表示為|AB|=|x1-x2|cosα，

由解法3得

|AB|=（x1+x2）2-4x1x2=82-4×4=43

因此，|AB|=43cosπ4=4322=46.

評注 以上兩種方法在平時的解題中并不常見，當直線的傾斜角比較特殊時用此法方便快捷.傾斜角如果不特殊，借助于k=tanα（α≠π2，以及平方關系和商數關系求解可得sinα或cosα）.

4.利用直線的參數方程求解

分析 這種求解方法的關鍵是利用直線參數方程的幾何意義，當直線參數方程為標準型時，將直線的參數方程中的x和y代入拋物線方程，得到關于t的一元二次方程，借助根與系數的關系（韋達定理），以及|AB|=|t1-t2|，可順利求解完成解答.

解法7 由條件直線過點m（2，0），傾斜角為α=π4，則直線的參數方程為

x=2+22t，y=22t，（t為參數），

代入拋物線y2=4x方程得（22t）2=4（2+22t），

整理得t2-42t-16=0，

設A、B兩點的參數分別為t1、t2，由參數的幾何意義得

t1+t2=42，t1t2=-16.

|AB|=|t1-t2|=（t1+t2）2-4t1t2

=（42）2-4×（-16）=46

評注 用此法求弦長時，一定要明確直線參數方程中是否具有幾何意義. 若具有幾何意義，可直接求解;若不具有幾何意義，一定要進行變形，求出具有幾何意義的直線參數方程，方可求解.

評析 以上七種解法適合所有直線與拋物線相交求弦長的問題（斜率存在，即傾斜角α≠π2）.當然如果直線經過拋物線的焦點，除以上通法外，還可以有以下兩種解答方法.

變式 將直線l所經過的點改為（1，0），即經過拋物線的焦點F，這道題就是人教A版選修2-1課本第69頁的例4.

現作為解法8和解法9簡述如下：

5.利用拋物線的定義求解

分析 此解法的關鍵是直線經過拋物線的焦點，根據拋物線的定義，拋物線上的點到焦點的距離等于到準線的距離，轉化求解即可完成.

解法8 依題意，p=2，p2=1，焦點F（1，0），準線為x=-1，設A（x1，y1）、B（x2，y2），點A、B到準線的距離分別為dA=|AA′|，db=|BB′|由拋物線的定義可知

|AF|=dA=x1+p2=x1+1，|BF|=dB=x2+p2=x2+1，因此，

|AB|=|AF|+|BF|=dA+dB

=（x1+p2）+（x2+p2）

=x1+x2+p=x1+x2+2

直線方程為y=x-1，

聯立y=x-1y2=4x，消去y，整理得

x2-6x+1=0，由根與系數的關系x1+x2=6，

于是|AB|=x1+x2+2=6+2=8.

評注 此法只要求出兩點A、B的橫坐標之和x1+x2，就可以求出弦長|AB|.

6.利用拋物線的焦點弦求解

分析 此解法的關鍵是直線需經過拋物線的焦點，能求出直線傾斜角α（α≠π2）或其正弦值sinα.

解法9 由于直線經過拋物線y2=4x的焦點F，所以可以由拋物線的焦點弦公式求解.

使用之前，先證明如下：

（1）若直線的傾斜角α=π2，則直線的斜率不存在，此時AB為拋物線的通徑，即|AB|=2p，結論正確.

（2）若α≠π2，則直線的斜率存在，且k=tanα，顯然k≠0.

直線l方程為y=k（x-p2），變形得x=yk+p2，

代入拋物線方程中y2=4x，

化簡并整理得

y2-2pky-p2=0，

所以y1+y2=2pk，y1y2=-p2，

由弦長公式

|AB|=1+1k2|y1-y2|

=1+1k2·（y1+y2）2-4y1y2

=1+1k2·（2pk）2+4P2

=2P（1+1k2）=2p（1+1tan2α）=2psin2α，原命題得證.

因此，利用焦點弦公式求得

|AB|=2psin2α=2×2sin2π4=412=8.

評注 此解法在高三總復習的一些參考資料上出現過，原則上這種方法做解答題時需要證明結論的正確性才可以使用.不過做選擇題或填空題還是比較方便和快捷的.

四、解后反思

這道練習題和相關聯的例題是一道容易題，但卻是一道好題.它蘊含著豐富的數學思想方法，考查了學生的運算求解能力，數形結合思想，以及化歸轉化等方法.在平常的解題中，要引導學生運用所學知識，多角度多方位進行思考，從而獲取不同的解法.在平時的解題教學中，一定要跳出定勢思維的束縛，提倡一題多解，可以從代數方面進行思考和突破，也可以從幾何方面入手，運用數形結合來解決.當然，一定要引導學生重視教材，培養學生研究教材的興趣，讓學生清楚地認識到教材的重要性，同時培養學生的探索精神，還能達到觸類旁通、舉一反三的效果.

參考文獻：

[1]廖炳江.求拋物線弦長的一個公式[J].數學教學研究，1999（4）：40-43.

[2]顧志剛.拋物線焦點弦的若干性質

[J].蘇州教育學院學報，1998（1）：19-20.

[責任編輯：李 璟]