例談核心素養下的數學運算

李金亮

【摘要】在新一輪課程改革中，特別提到了要重視學生數學核心素養的培養，而數學運算素養是核心之一.對一道習題的解答，是簡單呈現最后的結果，還是讓學生思考碰壁后再講解？筆者選擇了后者.在核心素養下的數學教學中如何提高學生的運算素養值得我們深思.

【關鍵詞】核心素養;運算;反思

題目1 在平面直角坐標系中，以坐標原點O和A（5，2）為頂點作等腰直角三角形ABO，使∠B=90°，求點B和AB的坐標.

解 設B點坐標為（x，y），則OB=（x，y），AB=（x-5，y-2）.

∵OB⊥AB，

∴x（x-5）+y（y-2）=0，即x2+y2-5x-2y=0. ①

又∵|OB|=|AB|，

∴x2+y2=（x-5）2+（y-2）2，即10x+4y-29=0. ②

由①②解得……

此時下課鈴聲響起來了，我說答案明天上課時公布.

第二天上課，居然沒有一個同學能解出來，這可是尖子班，很出乎我的意料.后來想想也在情理之中，他們在初中可沒解過這么復雜的方程組.為什么算不出來呢？后來有學生說，他消元之后，數字較大，不好計算.

我在黑板上邊寫邊講解如下過程，用時不過3分鐘.

x2+y2-5x-2y=0， ①10x+4y=29. ②

①×2，得2x2+2y2=10x+4y=29， ③

由②，得4y=29-10x，

兩邊平方，得16y2=292-2×29×10x+100x2， ④

③×8，得16x2+16y2=29×8， ⑤

把④代入⑤，得116x2-2×29×10x+292=29×8. ⑥

由⑥約去29并整理，得4x2-20x+21=0.

當我寫到這，全班響起了雷鳴般的掌聲，接下來用十字相乘法就迎刃而解了.整個過程沒有分數計算，幾乎每一步都可以口算.所以，在計算過程中我們要充分觀察、對照和分析，留意數、式之間隱含的特殊關系，盡量不要帶分母運算，并預計可能重復的運算對象，不糾纏復雜的數值運算.

教后反思 很多學生一遇計算就不經思考，不細心觀察，直接計算，如上題就想著代入消元，而由②式解出y要用除法，就出現了分數計算，接下來就復雜得讓人崩潰.

有數學就有計算，不管你學了什么高明的方法，如果你計算能力很差，那些方法就像是沒裝子彈的高級手槍，毫無“殺傷力”.武行里流行一句話：“練武不練功，到老一場空.” 這里解題方法就是“武”，計算能力就是“功”，合起來才叫“武功”，才有威力.所以教師要重視對學生計算能力的培養.

計算不僅僅是四則運算，還包括代數變形能力.什么是代數變形能力？它其實就是你的基礎計算達到熟練程度以后，所產生的一種敏銳判斷力和實用技巧.計算是要動腦的，有時硬算、蠻算是很難算出來的.

再如，在橢圓標準方程的推導過程中，由（x+c）2+y2+（x-c）2+y2=2a往下推導可有如下三種思路.

思路一：對等式兩邊直接平方，但計算量過大，不可取.

思路二：移項，得到（x+c）2+y2=2a-（x-c）2+y2，再兩邊同時平方，以使得數據更加優化，整理后再兩邊同時平方，這是教材提供的推導方法.

思路三：令（x-c）2+y2=a-d，（x+c）2+y2=a+d，因等式是等差中項結構，故具體推導如下：

兩邊平方，得（x-c）2+y2=（a-d）2 ①，（x+c）2+y2=（a+d）2 ②，

①+②整理，得x2+y2=a2-c2+d2 ③，

②-①整理，得ad=cx ④.

到此時不要直接解出d=cxa，因為代入③又出現分數式的計算，而應把④式兩邊平方，得a2d2=c2x2 ⑤，觀察對比③式，可由③式兩邊同時乘以a2，得a2x2+a2y2=a4-a2c2+a2d2 ⑥，此時再把⑤式代入⑥式整理，得到（a2-c2）x2+a2y2=a2（a2-c2），令b2=a2-c2，再兩邊同時除以a2b2，得x2a2+y2b2=1，即為所求的標準方程.

利用等差數列處理這一問題恰好符合了必修5在前選修在后的安排，其承前啟后的作用得以體現.而這種想法在解決高考的一道壓軸題和填空題中也發揮了很大的作用.

題目2 若AB=2，AC=2BC，則△ABC面積的最大值為.

【解法一】因為AB=2（定長），可以以AB所在的直線為x軸、其中垂線為y軸建立直角坐標系，則A（-1，0），B（1，0），設C（x，y），由AC=2BC，可得（x+1）2+y2=2×（x-1）2+y2，化簡，得（x-3）2+y2=8，即C在以（3，0）為圓心、22為半徑的圓上運動.所以S△ABC=12·AB·yc=yc≤22.

【解法二】（恒等關系）由題目條件，知c=2，b=2a，

由余弦定理，得cos A=b2+c2-a22bc=a2+442a，

而面積S=12bcsin A=2asin A，所以sin A=S2a，

所以sin2A+cos2A=S2a2+a2+442a2=1，

整理，得16S2=-a4+24a2-16=-（a2-12）2+128≤128，

所以當a2=12，即a=23時，（S2）max=8，故△ABC面積的最大值為22.

題目3 已知橢圓C過點A1，32，兩個焦點為（-1，0）和（1，0）.

（1）求橢圓C的方程.

（2）設E，F是橢圓C上的兩個動點.

① 如果直線AE的斜率與直線AF的斜率之和為2，證明直線EF恒過定點;