大學視角下的高中概率統計

魏清泉 辛玉鑫

【摘要】針對高考命題與大學知識銜接越來越密切這一趨勢，本文從大學視角詳細分析了高中概率統計知識在高等數學知識背景下的定義，借助于高等數學的知識對高中所涉及的概率統計知識的背景、本質加以分析，詳細探討了概率論與集合論，概率的定義，隨機變量的定義，二項分布與超幾何分部的關系，正態分布.

【關鍵詞】概率統計;高中數學;大學視角;背景意義

【基金項目】本文是青島市教育科學“十三五規劃”2020年度重點課題《基于問題系統構建的高中數學課堂教學研究》（課題批準號：QJK135B1104）研究成果

2019年全國卷中概率統計出人意料地作為壓軸大題出現，如果認真分析近幾年高考題所體現出的趨勢，對這一結果又會覺得是意料之中：2017年全國Ⅰ卷理科概率統計為第19題，以正態分布為背景，著重考查數據分析能力;2018全國Ⅰ卷理科概率統計為第20題，考查二項分布應用，并與導數相結合;到2019年全國Ⅰ卷理科概率統計為第21題，與數列相結合，并蘊含了大學概率中的馬爾科夫模型.縱觀近幾年高考中對概率統計的考查，會發現題目位置越來越靠后，考查的內容越來越綜合，概率統計題目與大學高等數學隨機過程的聯系愈加密切.這就要求師生以更高的視角來看待高中的概率統計知識，需要對高中概率統計知識的背景有更進一步的認知，要從根本上介紹清楚概率的定義;需要用到大學中微積分、實變函數、測度論等知識，這些知識對于高中學生來說很難理解.因此，本文從大學的視角分析高中概率統計可能涉及的知識背景，以期能使學生拓展加深對高中概率統計的理解.

一、概率論與集合論

首先介紹樣本空間的概念，樣本空間是指在隨機試驗中基本事件的全體所構成的集合，這個概念從集合的角度可以寫成Ω={ω}，其中ω是基本事件.而對于一般的事件，從集合的角度可以表示為Ω的子集，而這些事件（即集合）的全體所組成的集合稱為事件域F，F即為Ω的全體子集所組成的集合.有了這些基本的概念，我們可以進行事件之間的運算，即集合之間的運算，例如，交并運算.高中階段并沒有給出事件域的概念，只是簡單說明了樣本空間Ω的子集為隨機事件，這就導致學生對于交并事件的運算只能通過與集合的類比進行理解，對于概率定義的理解也必須以實驗背景為依托，對概率本質的理解不夠深入，無法將概率與函數相聯系.

三、研究結論

通過上述分析我們會發現，高中階段對于概率統計知識的引入和講解著重從試驗和實踐的角度加以分析，淡化公理化的定義.這樣做的好處是便于學生接受和理解;與集合論的知識聯系密切，可以運用類比的方法進行運算律和性質的推導，但從對概率本質的理解上來說有所欠缺，導致學生對概率統計的基本性質把握不清，不利于隨機思維的培養.因此，對于學有余力的同學滲透概率背景知識的講解有利于加強學生隨機思維的培養，增強對新高考題型變化的適應能力.

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