導(dǎo)數(shù)中的恒成立問(wèn)題探索

賀香惠

【摘要】導(dǎo)數(shù)是數(shù)學(xué)當(dāng)中非常重要的內(nèi)容，它為研究函數(shù)的性質(zhì)提供了強(qiáng)有力的工具，在高中階段是一項(xiàng)重點(diǎn)教學(xué)內(nèi)容.導(dǎo)數(shù)題目在歷年高考中頻繁出現(xiàn)并且占據(jù)較大分值，在大學(xué)高等數(shù)學(xué)中，導(dǎo)數(shù)雖然不再作為教學(xué)內(nèi)容，但是在解答其他題目中會(huì)經(jīng)常用到.本次研究中對(duì)導(dǎo)數(shù)恒成立問(wèn)題進(jìn)行分析.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué);導(dǎo)數(shù);隱零點(diǎn);恒成立

一、引 言

高考數(shù)學(xué)中經(jīng)常出現(xiàn)導(dǎo)數(shù)恒成立題目，并且占據(jù)較大分值.導(dǎo)數(shù)恒成立題目可以系統(tǒng)地檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)知識(shí)的掌握情況，同時(shí)考查了學(xué)生的邏輯推理能力、運(yùn)算能力、歸納整合能力，包括一系列數(shù)學(xué)思想，也滲透數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng).導(dǎo)數(shù)恒成立在數(shù)學(xué)中屬于難度系數(shù)較大的題目，教師在日常教學(xué)中通常會(huì)使用通性通法解答導(dǎo)數(shù)恒成立題目，通性通法的實(shí)質(zhì)性原則就是將導(dǎo)數(shù)恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合對(duì)函數(shù)的單調(diào)性與極值進(jìn)行研究分析，值得注意的是，在解答導(dǎo)數(shù)恒成立題目時(shí)需要區(qū)分好能成立、恰成立之間的區(qū)別.

二、函數(shù)性質(zhì)

通過(guò)將導(dǎo)數(shù)恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，分析函數(shù)性質(zhì)進(jìn)而解決問(wèn)題可以進(jìn)一步促進(jìn)學(xué)生對(duì)題目的理解與掌握[1].運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)解答題目需要重點(diǎn)分析函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值，以求解導(dǎo)數(shù)恒成立問(wèn)題.

題目1：求證：ln x+1x≤1恒成立.

證明不等式恒成立問(wèn)題，可以轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)函數(shù)的最大值問(wèn)題，可以令f（x）=ln x+1x，求導(dǎo)函數(shù)f ′（x），得到f ′（x）=-ln xx2，由導(dǎo)數(shù)性質(zhì)得知，在（0，1）區(qū)間內(nèi)導(dǎo)數(shù)為正，（1，+∞）區(qū)間內(nèi)導(dǎo)數(shù)為負(fù).故當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)求得極大值[2].在定義域內(nèi)，如果有唯一的極大值，那么函數(shù)的極大值與最大值是相等的，因此，進(jìn)一步得知函數(shù)最大值f（1）=1，得證.

三、構(gòu)造函數(shù)

構(gòu)造函數(shù)在解答許多函數(shù)題目的過(guò)程中都會(huì)被運(yùn)用，實(shí)質(zhì)上就是對(duì)不等式兩端進(jìn)行整合處理，經(jīng)整合后一個(gè)新的函數(shù)由此誕生，整合得出的函數(shù)可以用于解決題目問(wèn)題[3].

可以使用構(gòu)造函數(shù)的方法解答兩個(gè)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)恒成立問(wèn)題.常見的函數(shù)恒成立問(wèn)題主要有以下類型：f（x）≥g（x）與f（x）-g（x）≥0性質(zhì)一致，f（x）≤g（x）與f（x）-g（x）≤0性質(zhì)一致.

題目2：在定義域內(nèi)恒成立問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為ln x≤x-1恒成立，即ln x-x+1≤0恒成立，在此基礎(chǔ)上使用構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行解答.在構(gòu)造函數(shù)思想下，不等式恒成立問(wèn)題被轉(zhuǎn)化為函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題，分析函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，使導(dǎo)數(shù)恒成立題目難度適當(dāng)下降，答題失誤率也有所下降.

恒成立問(wèn)題除了證明以外，還有很多在恒成立的條件下，求參數(shù)范圍的問(wèn)題，也可以采用構(gòu)造函數(shù)的思路進(jìn)行討論，討論新構(gòu)造的函數(shù)的性質(zhì)問(wèn)題.

題目3：設(shè)函數(shù)f（x）=ex-e-x.若對(duì)所有x≥0都有f（x）≥ax，求a的取值范圍.

解：令g（x）=f（x）-ax，則g′（x）=f ′（x）-a=ex+e-x-a.

（1）若a≤2，當(dāng)x>0時(shí)，g′（x）=ex+e-x-a>2-a≥0，故g（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，

∴x≥0時(shí)，g（x）≥g（0），即f（x）≥ax.

（2）若a>2，方程g′（x）=0的正根為x1=lna+a2-42.

此時(shí)，若x∈（0，x1），則g′（x）<0，故g（x）在該區(qū)間為減函數(shù).

∴x∈（0，x1）時(shí)，g（x）

綜上，滿足條件的a的取值范圍是（-∞，2].

構(gòu)造新函數(shù)解決問(wèn)題也是數(shù)學(xué)中轉(zhuǎn)化思想的重要應(yīng)用，在這個(gè)過(guò)程中提高了學(xué)生的邏輯思維能力，提升了數(shù)學(xué)素養(yǎng).

四、參變分離

有些恒等式中含有參數(shù)，通常會(huì)使用離散變量的方法，其本質(zhì)是通過(guò)同解變形的方式分離題目參數(shù)中的主元、方程、不等式，目的是使函數(shù)關(guān)系更加明顯，進(jìn)一步使用函數(shù)關(guān)系解答題目可降低答題難度[4].

對(duì)于解答函數(shù)恒等式的題目來(lái)說(shuō)，分離變量是一種常用的重要方法.使用分離變量解答題目的好處在于，可以有效地將函數(shù)中的參數(shù)消除，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為具體參數(shù)，以簡(jiǎn)化題目.

題目4：若不等式1+1nn+a≤e對(duì)任意的n∈N都成立（其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），求a的最大值.我們可以嘗試將題目轉(zhuǎn)化為（n+a）ln1+1n≤1，由1+1n>1，知a≤1ln1+1n-n，求確定函數(shù)G（x）=1ln（1+x）-1x的最大值問(wèn)題.

但是，有的時(shí)候參變分離后函數(shù)的最值問(wèn)題不容易求出，這個(gè)時(shí)候需要用到求二階導(dǎo)數(shù)，隱零點(diǎn)求最值.比如，參變分析之后得到a≤ex-ln xx-1x.

令h（x）=ex-ln xx-1x，h′（x）=x2ex+ln xx2，但是一階導(dǎo)數(shù)的根不容易找到，再令g（x）=x2ex+ln x，容易判斷g（x）為增函數(shù)，且有一個(gè)零點(diǎn)，不妨設(shè)為x0，則使得x20ex0+ln x0=0，即x0=ln1x0，h（x）min=h（x0）=ex0-ln x0x0-1x0=1.為了加強(qiáng)對(duì)隱零點(diǎn)的熟練應(yīng)用，還可以做一些變式練習(xí).

五、洛必達(dá)法則

還有很多是題目參變分離之后無(wú)法用常規(guī)的方法求解的最值問(wèn)題，尤其是端點(diǎn)值無(wú)意義的時(shí)候，我們需要用到洛必達(dá)法則.由洛必達(dá)法則可知，函數(shù)f（x），g（x）滿足：

（1）lim f（x）x→a=lim g（x）=0x→a.

（2）a點(diǎn)的某去心鄰域中，均有f ′（x），g′（x），同時(shí)g′（x）≠0.

（3）limx→af ′（x）g′（x）=A，即limx→af（x）g（x）=limx→af ′（x）g′（x）=A.

可以對(duì)分子、分母分別求導(dǎo)、極限，從而對(duì)未定式的值進(jìn)行確定，這就是洛必達(dá)法則.

值得注意的是，在解題過(guò)程中運(yùn)用洛必達(dá)法則是對(duì)分子、分母分別求導(dǎo)，不是對(duì)商求導(dǎo)，求導(dǎo)結(jié)束后進(jìn)一步求極限得到最值[5].高中階段的同學(xué)已經(jīng)具備接受洛必達(dá)法則的能力，如果在實(shí)際解題過(guò)程中運(yùn)用洛必達(dá)法則，那么將大大提高解題效率.

使用洛必達(dá)法則解題時(shí)大致思路如下：

lim g（a）=lima→1ln12+a21-a2

=lim121+a-1-2a=lima→111+a-2a-1=-12-2=14.

通過(guò)洛必達(dá)法則可以快速得出a在趨近于1的情況下函數(shù)的極限值.

在解題過(guò)程中使用洛必達(dá)法則可以在一定程度上降低計(jì)算量，增強(qiáng)學(xué)生解題信心[6].一些同學(xué)并不擅長(zhǎng)使用函數(shù)性質(zhì)、構(gòu)造函數(shù)、參變分離的方法對(duì)導(dǎo)數(shù)恒成立問(wèn)題進(jìn)行解答，因此，教師在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中可以向?qū)W生拓展洛必達(dá)法則解答題目，有效彌補(bǔ)了部分學(xué)生的解題障礙.

六、高中階段導(dǎo)數(shù)教學(xué)策略

1.先學(xué)后教

在新課程教育背景下，“分?jǐn)?shù)至上”的應(yīng)試教育理論正在逐漸被淘汰，應(yīng)試教育下老師講學(xué)生聽這種模式也在漸漸被替代.先學(xué)后教，就是給學(xué)生更多的自我思考與學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)，先學(xué)實(shí)質(zhì)上就是學(xué)生在課前進(jìn)行深度的預(yù)習(xí)，將自我學(xué)習(xí)過(guò)程中不明白的問(wèn)題記錄下來(lái)，帶著問(wèn)題去上課.這種教學(xué)方法是可以實(shí)現(xiàn)老師與學(xué)生雙贏的一種途徑，既提升了學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，也提升了教師的教學(xué)效率.對(duì)于學(xué)生已經(jīng)自我領(lǐng)會(huì)的知識(shí)點(diǎn)，教師在課堂上不再需要重點(diǎn)解析，而對(duì)于學(xué)生有異議的知識(shí)點(diǎn)，教師需要在課堂上予以重點(diǎn)解答.

2.與實(shí)際生活相結(jié)合

數(shù)學(xué)作為一門自然科學(xué)與實(shí)際生活中的種種現(xiàn)象是密不可分的.實(shí)質(zhì)上，高中數(shù)學(xué)中的導(dǎo)數(shù)就是物體的變化率，而物體變化率又涉及高中物理學(xué)中的平均速度，借助物理學(xué)講解數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)可以構(gòu)建出更多生動(dòng)的教學(xué)應(yīng)用場(chǎng)景.除物理學(xué)外，在經(jīng)濟(jì)學(xué)中也涉及許多關(guān)于導(dǎo)數(shù)的知識(shí)[7].所以說(shuō)，教師在講解導(dǎo)數(shù)時(shí)不要把導(dǎo)數(shù)僅僅看作考試題目、數(shù)學(xué)知識(shí)，而要盡可能與物理現(xiàn)象、經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象等貼近生活實(shí)際的問(wèn)題構(gòu)建聯(lián)系，讓學(xué)生學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)不再機(jī)械化，而是學(xué)以致用.

3.注重培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維

在新課程教育背景下，教師需要賦予學(xué)生更多探索問(wèn)題的機(jī)會(huì)與時(shí)間.學(xué)生經(jīng)過(guò)自主學(xué)習(xí)掌握了導(dǎo)數(shù)的定義，明確了導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì)性問(wèn)題是對(duì)物體瞬時(shí)變化率的描述，理解了導(dǎo)數(shù)的思想與意義.教師需要培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)知識(shí)解答生活中的問(wèn)題，培養(yǎng)其抽象思維，這樣不僅使學(xué)生進(jìn)一步鞏固了數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)，也實(shí)現(xiàn)了對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用.

4.強(qiáng)化學(xué)生推理論證能力

導(dǎo)數(shù)恒成立是高中數(shù)學(xué)階段重點(diǎn)教學(xué)內(nèi)容，也是高考數(shù)學(xué)重點(diǎn)題目.函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)恒成立之間有著密切的聯(lián)系.在學(xué)習(xí)函數(shù)單調(diào)性的過(guò)程中，教師就可以借助函數(shù)單調(diào)性引導(dǎo)學(xué)生了解導(dǎo)數(shù)恒成立問(wèn)題，幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)深入學(xué)習(xí)，使學(xué)生的推理能力得到提升.學(xué)生憑借強(qiáng)大的推理能力可以提升并掌握知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)性能力.

5.日常重視總結(jié)解題規(guī)律

導(dǎo)數(shù)恒成立是高考重點(diǎn)題目，因此，歷年的高考數(shù)學(xué)中導(dǎo)數(shù)相關(guān)題目占據(jù)較大的分值，并且導(dǎo)數(shù)恒成立一般會(huì)作為解答題，占據(jù)的分值在15—20范圍內(nèi).高考題型變幻莫測(cè)，很難保證在考試中遇到前所未見的題目，但是千變?nèi)f化的題型終究離不開導(dǎo)數(shù)的本質(zhì).因此，學(xué)生需要注重對(duì)導(dǎo)數(shù)本質(zhì)的理解，同時(shí)，在日常學(xué)習(xí)中注重對(duì)導(dǎo)數(shù)題目解題規(guī)律、技巧的總結(jié).當(dāng)總結(jié)一定的規(guī)律、技巧后，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)，面對(duì)任何類型的導(dǎo)數(shù)題目時(shí)都會(huì)應(yīng)付自如.

七、建 議

對(duì)于高中數(shù)學(xué)階段解答導(dǎo)數(shù)恒成立相關(guān)問(wèn)題時(shí)，本次研究提出以下建議：

1.學(xué)生的課堂地位

在數(shù)學(xué)課堂上，教師需要培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維.而要培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維，教師在課堂上就不能限制學(xué)生的思維，需要賦予學(xué)生充分的課堂主體地位，調(diào)動(dòng)學(xué)生積極思考，并以探索的方式嘗試用多種方法解答題目.

2.課后的反省與總結(jié)

在每一次數(shù)學(xué)課結(jié)束后，學(xué)生需要對(duì)課堂內(nèi)容積極地進(jìn)行反思和總結(jié)，不要僅僅拘泥于教師的解題方法與思路，而要在課后總結(jié)中發(fā)現(xiàn)一定的創(chuàng)新之處，最終發(fā)掘真正適合自己的方法.

3.教師引導(dǎo)

在大學(xué)階段，學(xué)生需要面臨高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí).高中數(shù)學(xué)還屬于初等數(shù)學(xué)階段，因此，在高中階段學(xué)好數(shù)學(xué)對(duì)于學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)具有鮮明的指導(dǎo)作用.

八、結(jié)束語(yǔ)

導(dǎo)數(shù)恒成立問(wèn)題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中一個(gè)重要的知識(shí)點(diǎn)，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中是重點(diǎn)教學(xué)內(nèi)容，在高考數(shù)學(xué)中占據(jù)較大分值.歷年高考中關(guān)于導(dǎo)數(shù)恒成立題目的變化層出不窮，讓許多考生防不勝防，但是，只要學(xué)生在學(xué)習(xí)中抓住了導(dǎo)數(shù)恒成立問(wèn)題的本質(zhì)，就可以輕松解答問(wèn)題.本次研究中對(duì)導(dǎo)數(shù)中的恒成立問(wèn)題進(jìn)行探索，首先舉例使用函數(shù)性質(zhì)對(duì)導(dǎo)數(shù)恒成立進(jìn)行解答;使用構(gòu)造函數(shù)的方式解答導(dǎo)數(shù)恒成立題目;有些導(dǎo)數(shù)當(dāng)中含有參數(shù)討論，對(duì)于這些問(wèn)題本次研究提出使用離散變量的方式對(duì)題目進(jìn)行解答.除上述方法外，本次研究還提出了洛必達(dá)法則，相比其他的解題方法，使用洛必達(dá)法則解答導(dǎo)數(shù)恒成立題目可以更加簡(jiǎn)便、精確.

【參考文獻(xiàn)】

[1]潘榮杰.揭示原有函數(shù)本質(zhì)特征 助力導(dǎo)數(shù)綜合問(wèn)題解決[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2019，58（11）：42-45，66.

[2]舒華瑛.“導(dǎo)數(shù)與函數(shù)”高考題解題策略探析[J].延邊教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2019，33（01）：128-130，134.

[3]鄧慧麗.高中導(dǎo)數(shù)應(yīng)用試題題型的分析與研究[D].西安：西北大學(xué)，2018.

[4]馬曉紅.導(dǎo)數(shù)：求參數(shù)的取值范圍的利器[J].科技經(jīng)濟(jì)導(dǎo)刊，2016（31）：136-137.

[5]陳小明.恒成立與存在性成立問(wèn)題在函數(shù)最值中的應(yīng)用[J].科學(xué)咨詢（科技·管理），2015（29）：122，124.

[6]楊潔.新課標(biāo)中函數(shù)恒成立問(wèn)題的解法[J].凱里學(xué)院學(xué)報(bào)，2014，32（06）：171-173.

[7]劉移山，夏慎謙.導(dǎo)數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)不等式中的應(yīng)用[J].科技信息，2013（20）：351.