例析應用信息論提升初中學生幾何論證能力的實踐

馮碧瑩

【摘要】圖形與幾何作為初中數學四個學習領域之一，是以發展學生的空間觀念、幾何直觀、推理能力為核心，培養學生邏輯思維、推理的嚴密性和程序性、提高學生數學證明能力的主要載體。數學問題的解決從信息論的角度來看，就是信息的提取、存儲、處理、輸出，實現解決問題的運動過程。在初中幾何教學過程中，教師應幫助學生建構用信息論的方法探索幾何論證問題的解決的思維模式。

【關鍵詞】核心素養;圖形與幾何;信息論;思維模式

《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出，初中數學學科核心素養包括十個方面：數感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數據分析觀念、運算能力、推理能力、模型思想、應用意識、創新意識。

圖形與幾何注重引導學生探索圖形性質，注重探索與證明相結合，提高學生思維推理能力。圖形與幾何是培養學生邏輯思維、推理的嚴密性和程序性、提高學生數學證明能力的主要載體，在培養學生數學素養中有著極為重要的作用，是初中數學教學的難點。

初中學生的學習正經歷從小學的直觀思維向論證思維的轉變，從形象思維向演繹思維過渡，思維方式的跳躍性不可避免地對初中學生帶來一定的認知不適應。因此，幫助學生克服困難，學習幾何是十分必要的。

數學問題的解決從信息論角度來看，就是信息的提取、存儲、處理、輸出，實現解決問題的運動過程;是將問題的有用信息與已存儲信息的相關信息相結合，然后進行加工、重組與再生的過程。因此，在初中幾何教學過程中，教師要幫助學生建構用信息論的方法探索幾何論證問題的解決的思維模式。

筆者以八年級下冊第十七章第29 頁第13題為例，談談自己在應用信息論提升初中學生幾何推理論證能力的做法和體會，敬請同行指正。

例：如圖，分別以等腰Rt△ACD的邊AD，AC，CD為直徑畫半圓，求證：所得兩個“月”形圖案AGCE和DHCF的面積之和（圖中陰影部分）等于Rt△ACD的面積。

分析與思考：

（1）從圖形認知層面分析：本題是一個圖形復合型問題，學生的圖形認知方面存在一定的困難，特別是“月”形的認知和理解。

（2）從知識層面分析：本題的核心在于解決“三個面積”問題中，從知識層面上，直角三角形的面積和半圓面積屬于學生已知范疇，但“月”形面積的求解是本題的難點和關鍵。

（3）從問題解決方法層面分析：由于沒有直接求解“月”形面積的計算公式，所以教師要引導學生探求題目下的直角三角形、半圓和“月”形之間的面積關系是解決問題的關鍵。

（4）在教學中，從信息論的角度，通過問題引導，師生互動、克服圖形的認知和識別的難度，把握兩個關鍵信息（等腰直角三角形和半圓面積），通過對題目的已知信息、結論信息和存儲信息的提取、加工、重組和加工，啟發學生間接法求解“月”形面積，逐步探求問題解決的途徑和思路。

教學過程在應用信息論指導下，形成信息組織構圖（問題鏈形式展開）：

1.已知和結論信息的提取

（1）已知信息

文字符號：等腰Rt△ACD，半圓

圖形信息：△ACD，小半圓1，小半圓2，大半圓

從而有圖形分解組合：三角形=大半圓-①-②;小半圓1=月形1+①;小半圓2=月形2+②

（2）結論信息

從已知信息中，學生很容易由S△ACD=

或S△ACD=解決直角三角形面積，但對“月”形的認知和面積解決仍存在困難。

2.儲存信息的提取

從學生現有存儲知識中，學生易提到圓（半圓）面積公式、三角形面積公式和直角三角形勾股定理等相關知識。

3.信息加工整合

要求S月形AGCE+S月形DHCF=S△ACD，就必須求出“月”形面積和三角形面積。三角形面積可以直接運用公式求出，但“月形”面積求解沒有公式，說明用直接法行不通。

引導學生利用從圖形分解組合信息中探尋面積求解的途徑：

由三角形=大半圓-①-②，結合小半圓1=月形1+①，小半圓2=月形2+②。一步一步引導學生推導出：

S月形AGCE+S月形DHCF=S△ACD+S半圓ACE+

S半圓CFD-S半圓ACD

對比題目所求證的S月形AGCE+S月形DHCF=

S△ACD，鼓勵學生再找出實證S半圓ACE+S半圓CFD-

S半圓ACD=0，即。此時，未知結論轉化為已知知識。接下來，只要利用圓的面積公式，分別求出半圓的面積：

由于出現直角三角形三邊邊長的平方，引導學生利用勾股定理，即可解決問題。

引導學生規范寫出解答過程：

根據圓的面積公式，有

因為等腰直角三角形，所以根據勾股定理，得AC 2+CD 2=AD 2

于是有，

即S半圓ACE+S半圓CFD=S半圓ACD

又因為S月形AGCE+S月形DHCF=S△ACD+

S半圓ACE+S半圓CFD-S半圓ACD

所以S月形AGCE+S月形DHCF=S△ACD

4.回顧拓展

（1）此題的解決主要是通過對已知、結論和存儲信息的提取，然后分析、加工、類比等手段探尋方案和信息系統。

同時，我們可能得到：

結論1：S月形AGCE+S月形DHCF=S△ACD

結論2：S半圓AEC+S半圓CFD=S半圓ACD

（2）問題的拓展探究

通過幾何畫板動態演示，引導學生觀察思考：把等腰直角三角形換成直角三角形，結論是否仍成立，引導學生進行由特殊到一般的猜想。

教師總結：

此題拓展結論稱為月牙定理（希臘數學家希波克拉底），體現了古代數學家的一種化圓為方的探究過程（此題結論在2018年全國理科高考第10題中直接考查應用）

“信息論”的教學目的是讓學生從信息提取、分析、加工、重組以實現知識遷移，達到問題解決的目的。

筆者在教學實踐中指導學生運用信息論，學生較好地解決了以下問題：

問題1：（八年級下冊第十七章 ?第29頁第14題）

如圖，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB，頂點A在△ECD的斜邊DE上，求證AE 2+AD 2=2AC 2.（提示：連接BD）

問題2：如圖，正三角形ABC，E是關于BC的對稱點，以E為圓心畫弧，點D在弧上，求證：AD 2+BD 2=CD 2 .

筆者認為，運用信息論提高學生的論證能力，要注意以下幾方面：

1.通過對已知和結論信息的提取，培養學生的信息意識。

2.通過對信息的整合過程，幫助學生體會信息加工的方法。

3.在信息的輸出過程中，注重培養學生思維的深刻性。

4.在信息的拓展階段，加強培養學生思維的廣闊性。

參考文獻：

[1]教育部.義務教育數學課程標準[S].北京師范大學出版社，2011.

[2]章建躍.核心素養統領下的數學教學變革[OL].https：//wenku.baidu.com/view/490fd19231d4b14e852458fb770bf78a65293a96？bfetype=new.

[3]羅增儒.中學數學解題的理論與實踐[M].廣西教育出版社，2008.

責任編輯 ?吳華娣