關(guān)聯(lián)：數(shù)學(xué)課堂的應(yīng)然追求
——以蘇科版“線段、射線、直線(1)”的教學(xué)為例

何麗華 (江蘇省金壇段玉裁初級中學(xué) 213200)

金楊建 (江蘇省無錫市天一實驗學(xué)校 214100)

數(shù)學(xué)知識在教材中是以“點”的形態(tài)呈現(xiàn)的．但各知識之間始終處于一種相互聯(lián)系、相互依存、相互作用的狀態(tài)[1]，在系統(tǒng)論中稱之為“關(guān)聯(lián)”，亦叫“相關(guān)”．它主要表現(xiàn)在系統(tǒng)內(nèi)部要素之間、要素與整體之間以及系統(tǒng)整體與外部環(huán)境之間的有機關(guān)聯(lián)．構(gòu)建數(shù)學(xué)知識的關(guān)聯(lián)，實現(xiàn)“連點成線”“連線成面”“勾面成體”[2]是數(shù)學(xué)課堂的應(yīng)然追求．

義務(wù)教育蘇科版教材七年級上“6.1線段、射線、直線(1)”一課，知識繁多、概念零散，教學(xué)要求高、設(shè)計難度大．因此，教師在備課時往往缺乏整體設(shè)計，忽視邏輯連貫，授課時又疲于完成教學(xué)任務(wù)，缺少教學(xué)主線．本文以該課的課堂教學(xué)為例，從落實數(shù)學(xué)課堂“關(guān)聯(lián)”的視角切入，闡釋筆者的實踐與思考．

1 情境入化 生活數(shù)學(xué)見關(guān)聯(lián)

“數(shù)學(xué)”作為一個系統(tǒng)，“生活”則是這個系統(tǒng)的外部環(huán)境，而情境是連接兩者的橋梁，也是問題沖突的開始．教師需要設(shè)計較為巧妙的情境，使學(xué)生在原有生活經(jīng)驗的基礎(chǔ)上展開學(xué)習(xí)，實現(xiàn)學(xué)生生活常識與數(shù)學(xué)知識的無縫對接．

例如，課堂伊始創(chuàng)設(shè)了如下情境：

問題(1)請你觀察從甲地到乙地的3條路，哪條最近？

圖1

(2)從甲地到乙地能否修一條最短的路？如果能，請在圖中畫出這條路．

“數(shù)學(xué)來源于生活”，從生活出發(fā)，學(xué)生經(jīng)歷了從物到形的抽象過程，并且感知線段有兩個端點；同時借助生活經(jīng)驗得到了基本事實——“兩點之間，線段最短”．

再如，講完線段、射線、直線概念后，教師出示如下問題：

生活中哪些事物可被“看成”線段、射線？哪些事物給你一種直線的感覺？

“讓數(shù)學(xué)回歸生活”，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，感受生活中處處有數(shù)學(xué)．

又如，我們可以利用“人名”在生活中的作用，讓學(xué)生感受到三線表示方法的必要性．這種生活經(jīng)驗的正遷移，使知識的產(chǎn)生更加自然、知識的內(nèi)涵更易于為學(xué)生接受．

從生活中來，到生活中去．將數(shù)學(xué)教材中枯燥、脫離學(xué)生實際的知識還原，使之生活化，從而溝通數(shù)學(xué)與生活．這種“關(guān)聯(lián)”體現(xiàn)了數(shù)學(xué)和生活的整體統(tǒng)一，消除了學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的陌生感和排斥心理，更能引起學(xué)生的共鳴，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣．

2 本質(zhì)深化 知識內(nèi)部凸關(guān)聯(lián)

“數(shù)學(xué)是由簡單明了的事項與邏輯推理的結(jié)合而一步一步地構(gòu)成的，所以，只有學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的人注意老老實實地一步一步去理解，并同時記住其要點，以備以后之需用，就一定能理解其全部內(nèi)容．”[3]關(guān)聯(lián)宜從“知識點鏈”入手，揭示前后知識之間的本質(zhì)聯(lián)系．

例如，中學(xué)階段的“距離”概念，既是平面幾何中的重要內(nèi)容(初中階段有“兩點之間的距離”“點到直線的距離”“平行線之間的距離”等)，又是立體幾何中的核心知識(高中階段有“點面距離”“線面距離”“面面距離”“異面直線間的距離”等)．這些距離概念的共性就是兩個點集的元素之間的最小值；其概念蘊含了四個數(shù)學(xué)性質(zhì)——非負性、同一性、對稱性和最小值[4]．

這四個性質(zhì)中，最小值是距離概念的本質(zhì)屬性．在教學(xué)中可以通過圖2所示結(jié)構(gòu)，使基本事實1(兩點之間，線段最短)和重要概念(兩點之間的距離)之間的關(guān)聯(lián)得以凸顯．

圖2

再如，在基本事實2(兩點確定一條直線)教學(xué)之后，設(shè)計如下問題串：

(1)將一根細木條固定在墻上，至少需要幾個釘子？

(3)畫圖題：如圖3，已知點A，B，C．

圖3 圖4

①畫線段BC(連結(jié)BC)，畫直線AB，AC；

②在線段BC上取一點D，畫射線AD．

(4)說圖題：請用語言敘述圖4的畫圖過程．

問題(1)主要是基本事實2的工具性理解[5]，而問題(2)(3)分別達到了基本事實2“表示方法”與“畫圖”之間的關(guān)系性理解[5]，問題(4)使結(jié)論變得更加開放，從而達到了知識之間的創(chuàng)造性理解[5]．

挖掘知識本質(zhì)，揭示知識之間內(nèi)在聯(lián)系，讓學(xué)生感受到“數(shù)學(xué)是連貫的，它是一張編織緊密的掛毯，其中所有概念和技巧邏輯嚴密地編織在一起，形成一個統(tǒng)一的整體”[6]，從而容易實現(xiàn)對數(shù)學(xué)基本結(jié)構(gòu)的掌握.這種活動經(jīng)驗的積累是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的關(guān)鍵之處，而這恰是平時教學(xué)時易于忽略的．

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的是為了應(yīng)用數(shù)學(xué)．在完成教材中簡單的例題教學(xué)之后,教師可進行變式和拓展,提出更為深刻的問題．如：函數(shù)y=lnx+2x-6存在幾個零點？

3 圖形活化 變式教學(xué)顯關(guān)聯(lián)

幾何，簡言之，就是研究圖形的形狀、大小與位置的學(xué)科．因此學(xué)好幾何必須有“圖感”，即不僅要學(xué)會讀、識、畫、作簡單圖形，還要善于將復(fù)雜圖形分解為簡單圖形．課堂教學(xué)中可通過靈活變化圖形達成這一目標．

比如，在例題教學(xué)中安排如下例題及其變式：

例1如圖5，(1)以A為一個端點的線段有條，它們是.以B為一個端點的線段有條，它們是.

圖5 圖6

(2)圖5中共有多少條線段，請分別表示出來．

(3)判斷：點A、點C之間的距離是線段AC( )．

圖7

圖形變式2：多媒體演示運動變化過程得到圖7，

(1)圖中共有多少條線段?

(2)判斷：射線AC與射線AD是同一條射線( )．

(3)判斷：射線AC與射線BC是同一條射線( )．

(4)共有幾條射線？能表示的射線有．

解后反思：通過例題及其變式，你有哪些感悟和收獲？

創(chuàng)新變式3：如圖8，你能提出哪些問題？

圖8

兩個“圖形變式”，讓“死板”的圖形“活化”起來，有利于學(xué)生理解圖形及圖形間的關(guān)系，感悟其本質(zhì)，形成“圖感”．而“創(chuàng)新變式”培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的能力．這樣的變式教學(xué)，打破藩籬，開拓思維，在變化之中找規(guī)律，在規(guī)律之中見關(guān)聯(lián)，去除遮蔽，讓學(xué)生思維能夠充分地從一個點到另一點進行連續(xù)的活動．

4 板書優(yōu)化 結(jié)構(gòu)圖表建關(guān)聯(lián)

“關(guān)聯(lián)”如何顯性化、可視化，讓學(xué)生易于學(xué)習(xí)、接受？——板書！好的板書能對“關(guān)聯(lián)”起到畫龍點睛、錦上添花的作用．例如，本節(jié)課的板書設(shè)計如圖9．

圖9

“連線成面”，用最簡潔的文字、符號、圖案、表格等形式提綱挈領(lǐng)地呈現(xiàn)本節(jié)課的核心內(nèi)容，主次分明、層次清楚．區(qū)域①呈現(xiàn)了三個圖形之間的關(guān)聯(lián)，區(qū)域②呈現(xiàn)了“表示方法”和“基本事實2”之間的關(guān)聯(lián)，而這個表格整體系統(tǒng)地呈現(xiàn)“三線”的區(qū)別和聯(lián)系．如此，學(xué)生所學(xué)習(xí)的知識是成串、立體的，是簡約、多觸點的，是結(jié)構(gòu)化的．

5 知識內(nèi)化 方法素養(yǎng)孕關(guān)聯(lián)

“勾面成體”，知識、方法和價值應(yīng)該呈現(xiàn)一定的層次結(jié)構(gòu)，應(yīng)該從知識的關(guān)聯(lián)處尋找方法，在方法的通性、本質(zhì)處尋找價值，這樣的關(guān)聯(lián)“應(yīng)該是構(gòu)成這樣一種含有種種力量——簡約化知識的力量，產(chǎn)生新的診斷的力量，使知識體形成愈益嚴密的體系的力量——的知識系統(tǒng)”[7](布魯納語)．

例如，在課堂小結(jié)時，出示如下問題：

(1)說一說本節(jié)課中學(xué)習(xí)了哪些知識？

(2)理一理“線段、射線和直線”的研究思路；

(3)悟一悟：如果給你新圖形——“角”，你準備如何進行研究？

前兩個問題不僅回顧了本節(jié)課的知識，也幫助學(xué)生理順了圖形的研究思路(定義—表示方法—性質(zhì))；問題(3)不僅做到了前有鋪墊、后有延伸，更為學(xué)生展示了線與角之間的關(guān)聯(lián)．

這樣的課堂小結(jié)，舍棄了使人發(fā)生混亂的雜亂的枝蔓，突出基本結(jié)構(gòu)．它比具體的數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)方法的總結(jié)具有更高的抽象性和概括性，不是局限于某個知識、某種方法、某類問題，而是站在一定高度，使之更有遷移性和發(fā)展性，也更易提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．

總之，碎片化、點狀的數(shù)學(xué)教學(xué)狀態(tài)呼喚“關(guān)聯(lián)”．關(guān)聯(lián)就是置知識于系統(tǒng)中，著眼于事物之間的聯(lián)系．“連點成線”“連線成面”“勾面成體”，“點”“線”“面”結(jié)合，才能直抵數(shù)學(xué)知識的內(nèi)核，構(gòu)建前后一致、邏輯連貫、一以貫之的學(xué)習(xí)過程，打造立體課堂，彰顯數(shù)學(xué)教學(xué)的活力．