一般二次曲線中點弦公式及其應用

金亞南 (江蘇省無錫旅游商貿高等職業技術學校 214000)

文[1]以標準方程的形式給出了由弦中點坐標表示橢圓、雙曲線、拋物線相應的弦的斜率的三個公式.本文對此推廣，給出一般二次方程表示的二次曲線的弦的斜率與弦的中點坐標的關系式，并稱此為中點弦公式．這樣，文[1]中的三個公式就是一般中點弦公式的簡單推論．同時，我們還運用中點弦公式給出一般二次曲線共點弦族與平行弦族中點軌跡方程的一般形式．

1 一般二次曲線的中點弦公式

平面上，由關于x,y的二元二次方程表示的曲線C稱為二次曲線，簡記為C:F(x,y)=ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0．

以二次曲線C內部一點M(x0,y0)為中點的弦稱為以M為中點的中點弦．由于二次曲線C的中點弦P1P2由其相應的中點M(x0,y0)完全確定，因此弦P1P2的斜率k由中點M的坐標(x0,y0)可完全確定，從而k為關于x0,y0的函數k=k(x0,y0)．這個函數的具體表示由下述定理給出．

定理設二次曲線C：F(x,y)=ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0，并記F1(x,y)=2ax+by+d,F2(x,y)=bx+2cy+e．若曲線C的弦P1P2的中點為M(x0,y0)，弦線的斜率為k，則k與(x0,y0)滿足F1(x0,y0)+kF2(x0,y0)=0 ①．

公式①揭示了二次曲線C中以M(x0,y0)為中點的中點弦P1P2的斜率k與中點坐標(x0,y0)之間的關系，本文稱公式①為二次曲線的中點弦公式．熟悉函數的導數的讀者不難看出，此定理中所設函數F1(x,y),F2(x,y)分別為二次曲線F(x,y)關于x,y的偏導函數，即F1(x,y)=Fx(x,y),F2(x,y)=Fy(x,y)．但下面的證明完全不用導數，同時，即使對于未學導數的中學生來講，F1(x,y),F2(x,y)的形式簡明而有規律，也是容易記住并掌握的．下面給出定理的證明．

由于P1(t1),P2(t2)為弦線與二次曲線C的交點，所以t1，t2滿足直線P1P2與二次曲線C的交點方程F(x0+tcosα,y0+tsinα)=0 ②，展開整理得(acos2α+bcosαsinα+csin2α)t2+(F1(x0,y0)cosα+F2(x0,y0)sinα)t+F(x0,y0)=0．由于t1和t2是關于t的一元二次方程的兩根，應用韋達定理可得F1(x0,y0)cosα+F2(x0,y0)sinα=0 ③．由于k=tanα，由③式可得F1(x0,y0)+kF2(x0,y0)=0，即公式①成立．

2 中點弦公式的推論與應用

文[1]中的割線斜率公式即為公式①的簡單推論：

公式④—⑥即文[1]中命題1—3分別給出的三個割線斜率公式，現在它們可以統一于公式①中．因此，中點弦公式①是將公式④—⑥推廣所得的一般二次曲線的割線的斜率公式．

這里以公式④的證明為例給出證明：

應用中點弦公式可快速得到平行弦中點軌跡方程．

推論2設二次曲線C：F(x,y)=0的一族平行弦線的斜率為k，則這族平行弦中點的軌跡方程為F1(x,y)+kF2(x,y)=0 ⑦．

證明設平行弦族中任一弦的中點為M(xn,yn)．根據公式①即得動點M(xn,yn)滿足方程F1(xn,yn)+kF2(xn,yn)=0，此即為平行弦中點軌跡方程．改設動點M(xn,yn)的坐標為M(x,y)，則此軌跡方程即為⑦式．

例1求下列二次曲線的斜率k=3的平行弦的中點軌跡方程．(注：本文中各軌跡方程均只要求軌跡所在曲線方程)：

(2)拋物線C2：y2=-5x；

(3)二次曲線C3：x2-xy+y2+2x-4y=0．

解(1)改寫橢圓C1方程為3x2+2y2-6=0，所以F1(x,y)=6x，F2(x,y)=4y．

(2)將拋物線C2方程改寫為y2+5x=0，所以F1(x,y)=5，F2(x,y)=2y．

(3)二次曲線C3：x2-xy+y2+2x-4y=0，所以F1(x,y)=2x-y+2，F2(x,y)=-x+2y-4．

解橢圓C：F(x,y)=b2x2+a2y2-a2b2=0，所以F1(x,y)=2b2x，F2(x,y)=2a2y．

此解法比文[2]所述的點差法更為簡潔．

應用中點弦公式還可求共點弦中點的軌跡方程．

推論3設二次曲線C：F(x,y)=0的一族弦線通過定點P0(x0,y0)，則這族共點弦中點的軌跡方程為F1(x,y)(x-x0)+F2(x,y)(y-y0)=0 ⑧．

改記共點弦動中點坐標M(xm,ym)為M(x,y)，即得M(x,y)的軌跡方程為F1(x,y)(x-x0)+F2(x,y)(y-y0)=0，此即共點于P0(x0,y0)的共點弦的中點軌跡方程．

例3試證明過橢圓的一個焦點的諸弦中點的軌跡為另一橢圓，且它與原橢圓有相同的離心率．

(1)過點A(2,1)的直線l交C于P1，P2兩點，求線段P1P2中點P的軌跡方程.

(2)過點B(1,1)能否作直線m使m與雙曲線C交于Q1，Q2兩點且點B為Q1Q2的中點？若直線m存在，求其方程；若m不存在，說明理由．

解(1)所求軌跡為共點于A(2,1)的共點弦P1P2的中點軌跡．

(2)若所求直線m存在，則m是以B(1,1)為中點的弦Q1Q2所在直線．

綜上所述，應用中點弦公式①可以比較簡單地解決二次曲線與其弦的中點、斜率有關的幾何問題．