基于網絡研修的“有理數乘法”課例生成*

左培培 (上海市浦東模范中學東校 201209)

邵愛娣 (華東師范大學教師教育學院 200062)

孫丹丹 (華東師范大學數學科學學院 200241)

1 引言

信息時代背景下，網絡教研已成為具有時代特色的教師專業發展新模式[1]．網絡教研活動不受時空的限制，教師可根據需要隨時隨地進行研討交流，共享教育信息與資源[2]．第一屆初中教師HPM網絡研修即是在此背景下產生的一種以數學史與數學教育(簡稱HPM)為抓手的教師線上研修模式．具體而言，教師在線專業學習共同體由兩個子團體構成，一是全國各地六十余位一線初中數學教師，二是高校教師、碩博士和若干HPM實踐專家型一線教師；研修活動持續約一年時間，主要圍繞9個初中教學主題展開，教師線上閱讀學習相關歷史素材，借助視頻會議平臺研討基于歷史的教學設計，線下實施課例，線上分享學生反饋及教學體會，共同體成員在網絡互動中學習、交流、反思．

“有理數的乘法”是HPM網絡研修班的研修課例之一，研修圍繞分析與準備、設計與改進、實施與反饋、整理與寫作四個環節展開．其中，在設計與改進環節，研修班依次組織了在線小組討論、研修班教師集體討論、高校研討，以不斷完善設計并最終形成HPM課例．已經有研究詳細呈現了基于數學史的有理數乘法教學設計[3]，完成的課例成品可以為教學提供參考，HPM課例生成的過程也同樣值得研究[4]，這個過程可以體現運用數學史進行“有理數乘法”教學設計可能存在的問題、改進的方法、改進的緣由等，最后生成的課例也是對已有課例的豐富和完善．鑒于此，本文將呈現有理數乘法HPM課例生成的過程及生成過程中的思考，以期給HPM視角下的初中階段有理數教學提供啟示．

2 分析與準備

2.1 問題分析

“有理數的乘法”在滬教版初中數學六年級下冊第五章《有理數》第六節第一課時，它既是有理數加減法的深入，也是有理數除法、有理數乘方等運算的基礎．這一節首先在思考1中呈現了四個問題： 2×1=?(-2)×1=?2×(-1)=?(-2)×(-1)=?而后提示：2×1=2，(-2)×1=-2，一個數乘以1等于這個數本身．2×(-1)=(-1)+(-1)=-2，一個正數乘以(-1)等于這個數的相反數．進而拋出問題：(-2)×(-1)=?進一步思考：(-4)×3=?(-4)×(-3)=?之后在思考2中給出汽車行駛的現實情境，規定向東行駛為正、向西行駛為負、幾小時后為正、幾小時前為負，得出四個算式2×80=160，2×(-80)=-160，(-2)×80=-160，(-2)×(-80)=160，從而總結正負數乘法的運算法則，最后歸納0和正負數的乘法運算，得到有理數乘法法則．

實際教學中，學生往往已經知道正負數相乘法則，加之思考1“一個數乘以1等于這個數本身，一個正數乘以-1等于這個數的相反數”的引導，學生基本可以說出(-4)×3=-12，(-4)×(-3)=12．所以，接下來的思考2主要是用運動情境解釋這個法則．由于運動情境較為復雜，教師一般先幫助學生規定好“向東行駛為正，幾小時后為正”，然后通過行駛過程中速度、時間和路程的關系得到四個算式，讓學生嘗試歸納兩數相乘的符號法則，最后通過練習強化學生運用有理數乘法法則進行運算的能力．

這節課的教學往往存在如下幾個問題：(1)很多學生正式學習前已經了解過有理數乘法，學習動機不足；(2)思考1如果只是為了引出課題就顯得有些冗余，其中承載的很多信息沒有充分運用；(3)運動情境有一定難度，實際教學往往只是“走過場”式地解釋一下，把整節課絕大部分時間都放到了運用法則進行計算上．相關調查也顯示，只有不超過11.5%的學生可以對“負負得正”法則給出合理的解釋[5]．因此，在教學實踐中如何激發學生的學習動機并引導學生理解“負負得正”法則的合理性，是教師面對的難題．

2.2 史料學習

“有理數乘法”的相關歷史由網絡研修班專用微信小程序推送，共包含6則素材．素材一主要介紹名人對“負負得正”緣由的困惑，19世紀法國作家司湯達(Stendhal，1783—1843)、法國昆蟲學家和文學家法布爾(H．Fabre，1823—1915)、我國“雜交水稻之父”袁隆平等都曾對“負負得正”產生過疑問，試圖尋求解釋[6][7]．例如司湯達小時候很喜歡數學，但他的老師迪皮伊先生教到“負負得正”這個運算法則時，司湯達不理解法則背后的緣由，他希望老師能對此作出解釋．面對司湯達的提問，迪皮伊先生“只是不屑一顧地莞爾一笑”，而補習學校的夏貝爾先生也只得不斷重復課程內容，說負數如同欠債.可一個人該怎樣把10 000法朗的債與500法朗的債乘起來，才能得到5 000 000法朗的收入呢？司湯達被“負負得正”困擾了很久，最后只能無奈地接受了它．

素材二主要用負債、運動、水箱、熱氣球、好人進城等生活模型解釋有理數乘法的合理性．美國數學家和數學史家M·克萊因(M.Kline,1908—1992)認為：“如果借助物理意義，負數運算以及負數和正數混合運算是很容易理解的．”他最早用債務解釋“負負得正”：假定某人每天欠債5美元，可記為-5，在給定日期他身無分文，記為0美元，那么在給定日期3天前(記為-3)，他有財產15美元，用數學表達式描述即(-3)×(-5)=+15[8]．除了負債，還有其他情境，比如，一個大水箱底部接著一根排水管，現在水箱裝有若干升水，假設排水管以每小時6升的速度排水，記為-6，則8小時前(記為-8)，水箱的水比現在多48升，記為+48，用數學表達式描述即(-6)×(-8)=+48[9]．當前滬教版教科書呈現的運動情境也是歷史上常用的模型之一．一個與前面情境略有不同的例子是所謂“好人進城”模型．在一個城鎮中居住著許多居民，如果規定好人為正，則壞人為負，進城為正，則出城為負，好事為正，則壞事為負，于是壞人(-)出了城(-)，對于城鎮來說是好事(+)，用數學語言表示即“負負得正”[8]．

素材三主要用乘法意義拓廣、公式拓廣、相反數、歸納、分配律等數學模型解釋有理數乘法的合理性．如早期教科書中出現的乘法意義拓廣的解釋：兩數相乘，乘數為正時，連加被乘數；乘數為負時，連減被乘數，由此得到“負負得正”．

(+4)×(+3)=+(+4)+(+4)+(+4)=+12；

(-4)×(+3)=+(-4)+(-4)+(-4)=-12；

(+4)×(-3)=-(+4)-(+4)-(+4)=-12；

(-4)×(-3)=-(-4)-(-4)-(-4)=+12．[10]

Benedict(1877)的歸納法取等差數列+4,+3,+2,+1,0,-1,-2,-3,-4，先將各項分別乘以+3，觀察所得等差數列的規律，得出“負正得負”，再將數列各項分別乘以-3，觀察新數列的規律，得出“負負得正”[11]．所謂相反數法，則是將(-a)×b和(-a)×(-b)看作一對相反數，若已知前者為負，則后者必為正．歐拉在《代數基礎》(1821)中先通過債務的倍數來說明正負得負：將-a視為債務，取3次，則債務必變成3倍，故(-a)×3=-3a．一般地，有(-a)×b=-ab(a>0,b>0)，故“正負得負”．由于(-a)>(-b)要么等于ab，要么等于-ab，但已證(-a)×b=-ab，故(-a)×(-b)=ab[12]．有些“負負得正”的解釋方法運用(或逆用)了乘法分配律，F·克萊因稱之為“半邏輯證明”．例如，(a-a)×d=[a+(-a)]×d=ad+(-a)d=0，故(-a)×d=-ad；(a-a)×(-d)=a×(-d)+(-a)×(-d)=-ad+(-a)×(-d)=0，故(-a)×(-d)=ad[13]．

素材四介紹了以上現實情境及數學情境都只是對“負負得正”的合理性做解釋，并非嚴格意義的邏輯證明．19世紀德國數學家漢克爾(H.Hankel,1839—1873)早就告訴我們：在形式化的算術中，“負負得正”是不能證明的．數學家F·克萊因也提出忠告：“我請求你們不要把不可能的證明講得似乎成立．”[14]“負負得正”只是一種規定，規定的合理性可以通過多種模型解釋，更為本質的一個原因是數系擴充所遵循的原則之一是運算律的無矛盾性，雖然我們可以規定“負負得負”，但那意味著我們至少要放棄正整數集所滿足的其中一個運算律．

素材五和素材六分別介紹了東西方文明中的負數與負負得正．在東方，13世紀我國數學家朱世杰明確提出負數的乘除法運算法則，7世紀印度數學家婆羅摩笈多規定了負數加減乘除法則[15]．在西方，負數和正負數運算法則進展相對更加艱難，自13世紀負數及其運算傳入西方，歷經幾百年排斥和矛盾，直至19世紀才被比較普遍地接受[16]．

3 設計與改進

3.1 初步設計

基于研修班提供的相關歷史素材，結合自身實踐經驗，筆者初步完成了教學設計(I)，見表1．

表1 “有理數的乘法”教學設計(I)

教學目標 (1)通過現實情境，理解有理數乘法的實際意義，歸納有理數的乘法法則，初步感受有理數乘法法則的合理性；(2)掌握有理數乘法的符號法則，并能熟練地進行有理數乘法運算；(3)通過具體算式歸納一般法則，提高歸納概括能力．了解數學家的相關故事，感悟質疑的精神，培養科學求真的態度．

教學重點 掌握有理數的乘法法則，并能熟練進行有理數的乘法運算．

教學難點 理解有理數乘法法則的合理性．

3.2 集體研討與改進

3.2.1集體研討

初步設計完成后，先在小組內進行了分享交流，之后研修班的全體教師針對教學設計各個環節展開線上視頻討論．經過討論，筆者意識到初步教學設計并沒有體現數學史的深度融入，對歷史材料的解讀只是停留在講述故事和補充模型的層面上，沒有給予學生思考模型和討論的機會．具體來說，討論達成的共識及筆者反思如下：

(1)對教材中思考1的處理，教材提到“一個數乘以1等于這個數本身，一個正數乘以(-1)等于這個數的相反數”，這兩句話都不是基本事實，只是猜想．乘法的意義目前只適用于正數，不能在有負數參與的乘法運算中，貿然采用非負數的乘法運算律．

(2)學生對于“負負得正”的理解無疑是困難的，此時教師不要直接給學生講解模型，而是適時把司湯達的故事拋出，讓他們來想辦法幫助司湯達解釋困惑．這樣可以一下子鎖住學生的目光，激發學生內心的求知欲，產生解決這一問題的內心驅動力，調動學生主動思考的積極性．

(3)教學重點應該落實在為什么“負負得正”上．學生利用法則進行計算并不難，難的是為什么負數乘以負數結果反而變成了正數，如果不弄清楚法則規定的合理性，學生會認為數學是“不講理”的，在后續的學習中便不會主動去探求其他數學規則的合理性．

(4)提出具有挑戰性的問題，讓學生以小組合作的方式對司湯達的困惑進行探討，思考有理數乘法的實際意義，嘗試解釋有理數乘法法則的合理性，呈現學生的創新思維，還可以和古人的方法產生思想的交匯．

3.2.2修正后的教學設計

反思研討的相關議題及修改建議后，筆者對教學目標、重難點和教學過程做了修正．其中教學目標(1)和(2)不變，教學目標(3)改為“通過法國著名作家司湯達的歷史小故事，培養學生的探究質疑精神，感受數學和生活的聯系”．教學難點不變，教學重點改為“用合理的模型解釋負負得正”．修正后的教學設計見表2．

表2 “有理數的乘法”教學設計(II)

3.3 高校研討與改進

3.3.1高校研討

在高校研討中，設計者首先介紹了教學設計與困惑，高校研究者和資深的HPM教學實踐者對教學設計提出了改進建議．討論后達成的共識及筆者反思如下：

(1)復習引入部分，對學生預設的問題進行適當調整．原設計預設的是學生能回答9個算式中的6個，不能回答含負數的3個算式，但實際上學生很有可能會全部回答出來，這時候可以緊接著提出問題：為什么“負數乘以負數會等于正數”呢？并順勢將司湯達等名人的故事前置，這樣一開始就可以聚焦問題的核心．

(2)在用現實情境解釋有理數乘法法則的過程中，舉兩個負數相乘的例子是困難的．為了啟發學生通過現實模型說明法則合理性，可以從復習負數的本質或實際意義入手，引導學生開放思維，尋找多樣的具有相反意義的量，再上升到二維的負數乘以負數．

(3)本節課涉及的模型較多，模型的選擇上不要求全，而要易于被學生理解．模型太多會導致課時容量過大，無法講完既定內容，上課節奏過快也會使得學生無法真正理解每個模型的本質，因此需要精簡課上呈現的模型數量．

(4)現實模型是教師或學生在數學課堂中經常使用的解釋方式之一，從數學本身入手是解釋法則合理性的重要角度，有必要讓學生了解保持運算律也是數學中引入法則的主要依據之一．可以在結尾用微視頻的方式給予數學解釋，課下提供學生相關數學解釋的閱讀材料使其體會合理性．

(5)設計開放性的課后作業，讓學生思考更多的解釋方式．這樣的課后探究性作業使得有限的課堂得以延續，為學生提供更多的探究機會，為學生的個性發展提供了充分的空間，使學生有不同的數學發展，其開放性想法可得到相互補充啟發．

3.3.2修正后的教學設計

結合高校研討中的修改建議及自我反思，筆者對教學設計(II)作了修正，見表3．

表3 “有理數的乘法”教學設計(III)

教學目標(1)和(2)不變，教學目標(3)改為：“通過介紹法國作家司湯達的歷史小故事，培養學生的探究質疑精神，建立數學和生活的聯系；通過小組合作討論，感受方法之美、探究之樂，提高學生的數學建模能力．”教學重難點仍采用集體研討后的修正版．

4 實施與反饋

前段時間受疫情影響，上海市中小學實行線上教學，模式是空中課堂結合線上直播互動教學．有理數的乘法這節課的空中課堂時長21分鐘，直播互動教學時長15分鐘．由于直播課時間有限，筆者實施了教學設計(III)片段．首先通過列舉生活實例回顧說明負數的意義，接著討論了司湯達的歷史故事和美國數學家M·克萊因的債務模型．課后對兩個任教班級的76名學生進行了問卷調查，收回問卷75份．調查顯示，約84%的學生可以理解負數的意義；約76%的學生能正確進行有理數的乘法計算，清楚說出有理數乘法法則并做出解釋；約94.6%的學生認為，“負負得正”不難，很有趣，歷史解釋有助于理解“負負得正”的合理性．

在開放性的課后作業中，學生對“負負得正”給出了很多解釋，可以歸為兩類；一類圍繞生活情境展開，如有學生提到砍樹問題和排水問題(圖1、圖2)．有學生把得到記為正、失去記為負，把支票記為正、欠條記為負，那么失去了一張欠條就是好事，所以“負負得正”．有些學生的解釋反映出學生可能混淆了負負相乘得正和正數相反數的相反數得正，這需要教師在后續教學中引起足夠重視．如有學生想到體育課中的四面轉體動作，一個負號可理解為向后轉180°，另一個負號可理解為又向后轉180°，此時又轉回了原來的方向．也有學生用語文學科中的雙重否定表示肯定來解釋，“負”可理解為否定，“負負”可理解為雙重否定，而正可理解為肯定．

圖1

圖2

另一類借助數學內部規律展開，有學生想到了相反數模型，兩個有理數相乘，如果改變其中一個因數的符號，積的符號也會隨之改變(圖3)．有學生利用數軸進行了解釋：除了0以外，所有的有理數乘以一個負數，相當于先把這個數所對應的點，在數軸上繞原點旋轉180°(相當于乘以-1)，再擴大或者縮小相應的倍數．有學生以乘法對加法的分配律為前提，通過具體數字運算說明負負要得正，否則會出現矛盾，也有學生直接把正數范圍內的運算律擴充到有理數集得到“負負得正”(圖4、圖5)．還有學生使用乘法意義拓廣法，忽略(a-b)(c-d)=ac-ad-bc+bd中a>b和c>d的條件，得到“負負得正”(圖6)．

圖3

圖4

5 反思與啟示

基于本次“有理數的乘法”課例研究，教師反思了整個過程，得到以下啟示．

(1)精讀數學發展史，促進學生深層理解．實際學習過程中，有的學生表面上是接受了“負負得正”，但并沒有真正理解．研究數學知識的歷史本源對教師認識數學知識的重難點是十分有利的．以“有理數乘法”為例，不僅要教會學生計算“負負得正”，更重要的是選擇適切的數學史料，合理地解釋“負負得正”，讓學生真正對數學概念有深刻的認識，這種理解是刷題無法產生的效應．

(2)給學生探索空間，調動學生積極性．教師不能把固定的思維方式強加給學生，剝奪學生探索的機會．有理數乘法是一個非常開放的主題，有十分多樣的解釋方法，如果限定教材上的運動模型，并且規定好運動方向和時間正負，就封鎖了學生發揮的空間，限制了學生思考，進而造成被動學習．在這節課的教學中可以適當留白，調動學生的積極性，使其潛能得到最大限度的發揮．

(3)換位思考，理解學生．司湯達、袁隆平的學習體驗讓教師在教學中不再急于讓學生接受法則，而是不斷地給出生活中的情景讓學生慢慢感受“負負得正”．因為學習經驗的差別，教師往往從自己的視角來看學生的學習，于是很多內容變得“十分簡單”，從而忽視了學生的學習困難，了解歷史發展有利于教師摒棄自我中心的視角，更好地理解學生的想法，據此設計教學，給過快的教學節奏減速．

(4)精耕課堂，細作教學，秉承初心．有理數乘法的教學不應該淪為有理數乘法法則的應用，要傳授有文化的數學，打造有情趣的課堂，培養有無限生命力和創造力的學生．

歷史故事有利于鼓勵學生質疑求真的理性精

神，啟發學生主動思考，探索“負負得正”合理性可以培養學生探究的能力，真正體會“做數學”的樂趣，不同時空的多元解釋可以開拓學生視野，讓不同學生有機會獲得不同發展，這都是本節課可以達成的教育價值．

致謝：感謝汪曉勤教授、栗小妮博士、賈彬老師、王進敬老師及研修班同行的悉心指導與幫助．