一節意外生成的數學課

崔豪東 (江蘇省南京市溧水區第一初級中學 211200)

課堂是一個動態生成的過程，無論教師課前準備多充分，預設多完美，課堂也未必會按照預設的教學環節進行．課堂常常會和“意外”邂逅，面對“意外”，教師要開啟教育智慧，發現這些“意外”的價值，挖掘其背后的教學資源，讓“意外”在課堂“開花”．

1 “精心”的預設

在學完蘇科版初中數學七年級上冊“2.4絕對值和相反數”后，學生對絕對值的概念及其性質有了初步認識，但學生對絕對值的認識還只是局限在代數運算層面，并不能從絕對值的概念中領悟絕對值的深層內涵，對絕對值的認識還未上升到絕對值幾何意義的高度．于是，筆者準備上一節絕對值的幾何意義專題課，旨在提升學生對絕對值的距離內涵的深層認識．課前，筆者作了充分的準備，設計好教學環節，選好典型例題和針對練習，用心制作PPT課件，悉心編制課堂學習單．筆者預設的課堂教學分三個環節：概念學習，典例精析，鞏固練習．

2 短暫的“順利”

課上第一環節是概念學習，筆者提出了以下三個問題：

問題1：|-2|，|5-0|和|-3-0|分別表示數軸上哪兩個點之間的距離？

問題2：|4-2|和|-3-(-2)|分別表示數軸上哪兩個點之間的距離？

問題3：|a-b|表示數軸上哪兩個點之間的距離？(絕對值的幾何意義)

學生通過自主思考和合作交流得出|a-b|指的是數軸上表示a的點與表示b的點之間的距離，掌握了絕對值的幾何意義．

課上第二環節，筆者出示例1：利用絕對值的幾何意義，求|x-1|+|x-3|的最小值．

題目出示后，學生迅速拿起筆進入思考狀態．最先舉手的是生1，筆者讓她來講臺上展示自己的結果，她一邊畫圖一邊說道：“我畫了數軸，在數軸上標出表示1和3的兩個點，分別記為A和B，把表示x的點記為P．當點P在A，B兩點之間時，|x-1|+ |x-3|=PA+PB=AB=2；當點P在點A左側時，|x-3|=PB>2，|x-1|+|x-3|>2；當點P在點B右側時，|x-1|=PA>2，|x-1|+|x-3|>2．所以|x-1|+|x-3|的最小值是2．”她的思路很清晰，表達也非常準確．她的話音剛落，黑板上已經呈現出圖1．

圖1

學生們對生1投以贊許的目光，當她走下講臺時，筆者發現有學生默許地點點頭，還有學生忍不住感嘆道“哦”“我會了”“原來如此”……

3 突來的“意外”

課堂看似很順利，一直按照筆者的預設進行著．在絕大多數學生理解了例1后，筆者準備出示例2，突然，“意外”發生了．一個聲音出現了，這聲音來自生2，他說：“老師，當點P在A，B兩點之間時，|x-2|的最小值是0，在x=2時|x-2|=0．所以說|x-1|+ |x-2|+|x-3|有最小值，最小值是0+2=2，在x=2時有最小值．”生2的話贏得了全班的一致贊同．筆者對課堂上出現這樣的回答有些震驚，看來筆者的課前預設太粗淺．

但這場“意外”為絕對值幾何意義的深層學習提供了很好的契機．好吧，那我們就來個“深入虎穴”，把“意外”之效放大、變強！“要是4個絕對值、5個絕對值的和呢？是不是也有最小值呢？”筆者問道．

圖2

x

P

然后生3接著說：“當點P在A，D兩點之間時 |x-1|+|x-4|有最小值3，當點P在B，C兩點之間時|x-2|+|x-3|有最小值是1，所以|x-1|+ |x-2|+|x-3|+|x-4|有最小值，最小值是 1+3=4，在x介于2和3之間時有最小值．”

圖3

生4繼續說道：“以|x-1|+|x-2|+|x-3|+ |x-4|+|x-5|為例，在數軸上依次標出表示1，2，3，4，5的點，分別記為A，B，C，D，E，把表示x的點記為P．當點P在A，E兩點之間時|x-1|+ |x-5|有最小值4，當點P在B，D兩點之間時 |x-2|+|x-4|有最小值是2，當點P在C處也就是x=3時|x-3|有最小值0．所以|x-1|+ |x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|的最小值是0+2+4=6．”

“好像有規律”，有學生似乎發現了什么．

“要是99個絕對值、100個絕對值的和呢？是不是也有最小值呢？”筆者繼續把“意外”之效推向深入．

“如果有99個絕對值相加，那么它們的和也是有最小值的．以|x-1|+|x-2|+…+|x-99|為例，在數軸上依次標出表示1，2，3，…，99的點，99是一個奇數，最中間的點是表示50的點，當x=50時，|x-1|+|x-2|+…+|x-99|取得最小值”，一向不愛說話的生5居然開口了，而且從言語之中能夠感受到他的自信．

“如果有100個絕對值相加呢？|x-1|+ |x-2|+…+|x-100|有最小值嗎？”又有學生提出疑問．

“有最小值．在數軸上依次標出表示1，2，3，…，100的點，100是一個偶數，最中間的兩個點是表示50和51的點，當x介于50和51之間時，|x-1|+ |x-2|+…+|x-100|取得最小值”，坐在最后一排的生6竟有此感悟．

“求幾個絕對值的和的最小值，如果有奇數個絕對值，那么當x取正中間的數值時，絕對值的和最小；如果有偶數個絕對值，那么當x介于正中間兩個數之間(含這兩個數)時，絕對值的和最小．”學生們經過討論得出了一致結論．

看到孩子們的集體成果，筆者雖然非常意外，因為這完全超出了預設，但是內心深處卻是非常喜悅．

4 深刻的“教訓”

課后，筆者回顧這次“意外”課堂的整個過程，并進行深深的反思．雖然沒有完成課前預設的教學內容，例2沒有來得及講，更沒有針對性練習，上了一節結構不完整的課，但換個角度思考，這節課巧借“意外”，使課堂乘著“意外”之風破浪前行．

當課堂和“意外”邂逅，教師要借“意外”之契機，將課堂推向深入，讓“意外”在課堂“開花”．這是這次“意外”課堂給筆者帶來的深刻“教訓”．