封閉系統(tǒng)的傳染病傳播問題

祁渤 楊文宇 廖梓巽

[摘? 要：本文針對(duì)封閉系統(tǒng)的傳染病傳播問題，運(yùn)用了微分方程、導(dǎo)數(shù)等方法。討論 在封閉系統(tǒng)中，傳染病得病人數(shù)的變化情況，分別對(duì)多種情況進(jìn)行說明并構(gòu)建了VPH（易感→患病→康復(fù)）、VLPH（易感?潛伏→患病→康復(fù)）等模型，綜合運(yùn)用了Matlab、思維導(dǎo)圖、RStudio 等軟件編程求解，得出合理結(jié)論。

關(guān)鍵詞：疾病傳染;微分方程;Matlab;思維導(dǎo)圖]

將學(xué)校看作一個(gè)封閉系統(tǒng)，學(xué)生的總數(shù)量不變。食堂作為其中的一個(gè)公共場(chǎng) 所，包含流動(dòng)的人群和固定的工作人員。 當(dāng)工作人員或?qū)W校中的某人為潛伏者時(shí)，其會(huì)通過出入食堂的人們來傳染病 毒，對(duì)此，我們用所學(xué)的知識(shí)來討論學(xué)校內(nèi)可能成為感染者的人數(shù)變化情況。

一、問題

本題是在一個(gè)封閉系統(tǒng)中，包含一個(gè)公共場(chǎng)所，該場(chǎng)所中含有固定的工作人員，且在該封閉系統(tǒng)中含有一個(gè)潛伏者可傳染病毒。要求討論在某些條件下患病者數(shù)量的變化

二、模型假設(shè)條件

1.該封閉系統(tǒng)中總?cè)藬?shù) A 視為常數(shù)且保持不變，時(shí)間 D 以天為計(jì)時(shí)單位;

2.封閉系統(tǒng)中公共場(chǎng)所除工作人員外都可自由進(jìn)出;

3.該病毒處于潛伏期階段也具有傳染性;

4.將人群分為以下四類： 易感者 V（Vulnerable groups）; 患病者 P（Patients）; 潛伏者 L（Lurkers）; 3 康復(fù)者 H（Health people）;

5.病情恢復(fù)有三種情況，一是患病者 P 恢復(fù)為易感者 V;二是患病者 P 恢復(fù)為 康復(fù)者 H;三是潛伏者 L 恢復(fù)為易感者 V;

6.成為康復(fù)者后，后續(xù)有兩種情況，一是獲得短暫性免疫，單位時(shí)間后又再次 成為易感者，二是獲得終身性免疫，即不會(huì)再次感染病毒;

7.不考慮這段時(shí)間內(nèi)人口出生率和自然死亡率以及由病毒引起的死亡人數(shù);

8.忽略個(gè)體之間的差異和性別對(duì)該病毒傳播的影響。

三、模型求解

模型：VLPH 模型（Vulnerable-Latent-Patient-Health Model）

（一）模型假設(shè)

1.該封閉系統(tǒng)人群分為易感者V、潛伏者L、患病者P和康復(fù)者H四類，D時(shí)刻這四類人的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比例分別為v（D）、l（D）、p（D）和h（D）。

2.該封閉系統(tǒng)中有一可傳播病毒的潛伏者（工作人員或其他人員），研究其從潛伏者開始感染易感者的人數(shù)變化情況。

3.每天每個(gè)潛伏者接觸到t2名易感者，即每個(gè)潛伏者能接觸到易感者的接觸率為t2/A（t2>0）;每天每個(gè)易感者接觸到t名潛伏者，即每個(gè)易感者能接觸到潛伏者的接觸率為 t/A（t>0）;潛伏者的潛伏期轉(zhuǎn)陽率為θ，傳染率即患病者接觸到易感者后得病的概率為c（0

4.患病者具有恢復(fù)能力，痊愈后具有抗性不再被感染，恢復(fù)率為γ2（0< γ2<1）。

（二）模型構(gòu)建

根據(jù)假設(shè)，每天每個(gè)患病者能使（t/A*c*P/A）名易感者變?yōu)榛疾≌撸刻煊校≒*γ2）名患病者恢復(fù)為康復(fù)者，每天有（H*θ）名康復(fù)者轉(zhuǎn)換為易感者。D11時(shí)刻易感者數(shù)為V（D），患病者數(shù)為P（D），康復(fù)者數(shù)為H（D）。每天共有（V*t/A*c*P/A）名被感染為患病者。

其中A=V（D）+L（D）+P（D）+H（D），v（D）+i（D）+P（D）+h（D）=1

每天增加的患病者比例為：

每天增加的患病者數(shù)量為：

建立模型，得到微分方程為

（三）模型求解

根據(jù)構(gòu)建的模型，對(duì)總?cè)藬?shù)A，時(shí)間天數(shù)D，接觸人數(shù)t，t2，傳染率c，恢復(fù)率γ，潛伏期轉(zhuǎn)陽率θ進(jìn)行賦值。

①該潛伏者為工作人員：A=500，D=500，t=100，t2=200，c=0.8，γ=0.01，θ=0.08; ②該潛伏者為其他人員：A=500，D=500，t=300，t2=200，c=0.8，γ=0.01，θ=0.08。將值代入微分方程，用Matlab軟件繪制出該模型系統(tǒng)中得病人數(shù)的變化情況如下：

四、結(jié)果分析

綜上圖所示可知，在此模型下，存在潛伏者。隨著時(shí)間推移感染者數(shù)量在不斷減少，最終趨于零。康復(fù)者因?yàn)椴粩嘣黾樱瑵摲咴趖1時(shí)間前迎來峰值，因自身可免疫成為易感者，則隨著 時(shí)間的推移，潛伏者數(shù)量也逐漸趨于零。其他人員的接觸率更高，傳播病毒更快，因此提高了潛伏者和感染者的峰值，但隨著時(shí)間推移，兩者數(shù)量都將趨近于零。由于潛伏者的存在，并且其在潛伏期可以傳播或治愈，因此更加接近實(shí)際，采用此模型分析問題最佳，反應(yīng)各類人數(shù)量變化真實(shí)明顯。

參考文獻(xiàn)

[1]楊啟帆，方道元：數(shù)學(xué)建模，浙江大學(xué)出版社，1999年版.

[2]方道元，韋明俊：數(shù)學(xué)建模：方法導(dǎo)引與案例分析，浙江大學(xué)出版社 2011年版.

[3]李大潛：中國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽，高等教育出版社，1998年版.

作者簡(jiǎn)介

祁渤（1999.01-），女，漢族，遼寧省遼陽縣，本科在讀，大數(shù)據(jù)（計(jì)算機(jī)應(yīng)用）。

楊文宇（2000.03-），女，漢族，遼寧省大連市，本科在讀，大數(shù)據(jù)（計(jì)算機(jī)應(yīng)用）。

廖梓巽（1998.12-），男，漢族，四川省成都市，本科在讀，大數(shù)據(jù)（計(jì)算機(jī)應(yīng)用）。

遼寧科技學(xué)院? 遼寧? 本溪? 117000