對比教學模式下的分析力學課堂教學探討

原亞南 尹顥 張作啟

[摘 要] 近些年來，“分析力學”課程在大學工科院系的開課范圍越來越大，但是鮮見以“分析力學”課程作為教學改革對象進行的研究。運用對比教學模式下的多層次理論，結合“分析力學”的課程特點，針對課程理論知識晦澀、內容體系與理論力學相關度高及應用程度低等問題，提出了教學實施方案。方案采用三種課堂對比的形式，通過聯想對比的方式加深學生對知識點的理解，培養學生分析、評價及質疑的能力，從而達到培養創新人才的目的。

[關鍵詞] 分析力學;對比課堂;創新能力;質疑能力

[作者簡介] 原亞南（1989—），女，河南濮陽人，博士，武漢大學土木建筑工程學院工程力學系講師，主要從事復合材料力學研究;尹 顥（1985—），男，湖北武漢人，博士，武漢大學土木建筑工程學院工程力學系副教授，副系主任（通信作者），主要從事相變固體力學研究;張作啟（1982—），男，山東曹縣人，博士，武漢大學土木建筑工程學院工程力學系教授，系主任（通信作者），主要從事生物力學與仿生研究。

[中圖分類號] O316? ?[文獻標識碼] A? ? [文章編號] 1674-9324（2021）21-0121-04? ?[收稿日期] 2020-10-25

近些年來，“分析力學”課程在大學工科院系的開課范圍越來越大。然而，從現有教學課堂的探討成果來看，較少看到以“分析力學”課程作為教學改革的對象進行的研究。所謂的經典力學是指創立于1687年的牛頓力學、創立于1788年的拉格朗日力學，以及創立于1834—1835年的哈密頓力學。其中，“理論力學”主要是講授以牛頓力學為基本框架的靜力學和動力學的課程。牛頓力學著重分析位移、速度、加速度及力等矢量，故稱為矢量力學。與之相對的是由拉格朗日力學和哈密頓力學組成的分析力學[1-3]。在拉格朗日的《分析力學》的經典著作中，沒有涉及一幅圖，自始至終都采用了解析的方法[4]。分析力學的特征是以普遍原理為基礎，利用標量形式的廣義坐標來取代矢量力學的矢徑[5]。

根據筆者前期調查結果，在初次接觸“分析力學”課程時，超過70%的學生認為解析公式太多，難度很大（如圖1所示）。因此，“分析力學”課堂教學面臨的一個非常大的困難和挑戰是如何在滿是解析表達形式的理論知識講授的課堂中提高學生的興趣和專注力。

基于對比教學模式下的多層次理論，結合“分析力學”的課程特點，針對本課程中的理論知識晦澀、內容體系與理論力學相關度高及應用程度低等問題提出了教學實施方案。該方案通過采用三種對比形式，突出了在課堂上通過聯想對比的方式加深學生對知識點的理解和掌握，培養學生分析、評價及質疑的能力，從而達到培養創新人才的目的。

一、牛頓力學與分析力學的對比講授

由于大部分院校在“分析力學”課程講授前，學生已經學習了“理論力學”（大部分內容講授的是牛頓力學），因此，在學習“分析力學”課程時，同學們會有如下疑問：既然牛頓力學和分析力學都是研究質點和剛體的運動方程，我們已經學習了牛頓力學，為什么還要學習分析力學？這個問題筆者在第一次給學生上“分析力學”課程的時候就被問過。筆者在認真反思這個問題后最初的想法是，既然學生已經了解和熟悉了牛頓力學的理論知識，就沒必要花費寶貴的課時來重復提及了。現在回過頭細細想來，當初的想法或許正是引起學生疑問的根本源頭。或許筆者要做的不是去回避在“分析力學”課上講授牛頓力學，恰恰相反，應該直面這二者的區別，讓同學們“知其然”，并“知其所以然”，掌握牛頓力學和分析力學的異同，并理解學習分析力學的必要性和重要性。那么，在課程最開始，筆者以圖2[6]來開始“分析力學”這門課程。

圖2很好地總結了從牛頓力學開始到拉格朗日力學最后到哈密頓力學發展的完整歷程。此外，牛頓力學的發展主要服務于研究運動力學，應用包括但不限于有心力場中的二體運動、非慣性系下的運動、剛體運動、非線性動力學和混沌、生命力學及連續介質力學。而拉格朗日力學從變分法和達朗貝爾方程演變而來，通過勒讓德變換和哈密頓原理發展成為哈密頓力學。而哈密頓力學為后來的量子力學、相對論、統計力學等提供了理論基礎[7]。相對于牛頓力學，分析力學方法對其他如量子力學、相對論等影響更加深遠。通過對比講解牛頓力學和分析力學，不僅讓學生站在更高的角度審視學習分析力學的必要性，還能鼓勵學生自主探索基于分析力學方法衍生出的如量子力學等新的領域，激發他們的科研興趣。

二、拉格朗日力學和哈密頓力學的對比講授

在解決了學生“已經學習了牛頓力學為什么還要學習分析力學”的疑問后，之后的課程學習也并非一帆風順。在學習完拉格朗日力學進入哈密頓力學的學習時，學生還會有新的疑問：既然很多運動方程明明通過拉格朗日第二類方程就能很容易地求解，那為什么還要學習哈密頓原理，費力求解哈密頓作用量呢？可見，即使在課堂上沒有給學生灌輸對比教學的模式，學生自己也會對以往的知識點進行對比，總是選取最容易理解、最好求解的途徑來解題。事實上，在課堂上講述的很多例子確實會有多種求解方式，也確實有一些明明用拉格朗日第二方程來求解很容易，卻仍然用哈密頓原理來求解的例子。要想打消學生的疑慮，筆者仍然采取對比講授模式，將拉格朗日力學和哈密頓力學對比講授。要想講清楚它們的本質區別和聯系，應該從表1[8]的角度來著手講述。

表1非常清楚地闡述了拉格朗日力學和哈密頓力學的區別，不僅體現在對應的空間和幾何上，還體現在方程類型上[9]。

拉格朗日力學的f個二階微分方程組為

■■-■=Q′■（k=1，2，…，f）

而哈密頓力學的方程類型是2f個一階微分方程組為

■■=■■■=-■ （k=1，2，…，f）

哈密頓正則方程為微分方程的求解帶來了很大便利。