“可視化”教學，讓學生的數學思維看得見

劉樹娜

摘要：理性思維是數學核心素養的靈魂，發展學生的思維能力是數學教學的主要目標，因此通過可視化把原本不可見的思維結構及規律、思考路徑及方法呈現出來，讓學生的數學思維看得見。本文從三個角度談談如何在課堂教學中，促進學生的數學思維可視化：可視化問題，促進思維參與;可視化操作，展現思維過程;可視化解題，還原思維路徑。

關鍵詞：數學思維;可視化;數學教學

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A文章編號：1992-7711（2021）07-033

所謂思維可視化是指以圖示或圖示組合的方式，把原本不可見的思維結構及規律、思考路徑及方法呈現出來，使其清晰可見的過程[1]。目前，高中數學教學中存在思維缺失化、淺顯化、低效化的問題，不少教師把培養學生的數學思維簡單地等同于課堂提問、歸納總結、題目練習。針對上述問題，筆者認為通過精心提問和運用信息技術等途徑實現學生數學思維“可視化”。

一、“可視化”問題，促進思維參與

案例1 新人教A版第一冊《誘導公式》公式二的探究

師：前面我們利用單位圓的幾何性質研究了同角三角函數之間的關系。我們知道，圓最重要的性質是對稱性，而對稱性也是函數的重要性質。那么，我們能否利用圓的對稱性來研究三角函數的對稱性呢？

如圖，設任意角α的終邊與單位圓交于點P1。

問題1：在單位圓上，點P1有哪些特殊的對稱點？

生1：關于原點的對稱點、關于坐標軸的對稱點

師：我們以單位圓上的點關于原點對稱為例研究三角函數的對稱性。

問題2：角α的終邊OP1與角β的終邊OP2的對稱關系？

生2：兩個角的終邊關于原點中心對稱

問題3：以OP2為終邊的角β與角α有什么關系？

生3：β=π+α

師：以OP2為終邊的角只有一個角π+α嗎？

生3：不是，有無數個

師：好，這無數個角的終邊都與角π+α的終邊相同，那么怎么用數學符號表示呢？

生3：β=2kπ+（π+α）（k∈Z）

問題4：角β，α的三角函數值之間有什么關系？

生4：終邊相同的角的同一三角函數值相等，只需要探究角π+α與α的三角函數值之間的關系就可以

師：很好！那怎么探究這兩個角的三角函數值之間的關系呢？

生5：三角函數值由它的終邊與單位圓的交點坐標唯一確定，只需要探究交點坐標間的關系。

問題5：點P1（x1，y1）與點P2（x2，y2）坐標之間的關系？

生6：兩個點橫坐標互為相反數、縱坐標也互為相反數

師：如何用數學符號表示？

生6：x2=-x1，y2=-y1

問題6：那終邊關于原點中心對稱的角的三角函數值的關系如何？

問題7：在公式二的探究過程中，任意角α的終邊落在了第一象限，如果角α的終邊落在其他象限或坐標軸上，我們得到的三角函數值之間的關系是否發生變化？

生7：終邊的位置發生變化，但終邊與單位圓的交點的對稱關系不變。

師：我們一起通過幾何畫板動態演示來驗證結論

問題8：一起總結歸納公式二的探究思路

生（眾）：圓的對稱性→終邊的對稱關系→角與角的關系→坐標間的關系→三角函數的關系

設計意圖：誘導公式二的探究過程，學生經歷了思維參與的三個階段：思維的“起點”，思維的“路徑”和思維的“終點”。思維的“起點”（問題1、2）是學生利用單位圓研究了三角函數的定義和終邊相同的角的三角函數值之間的關系，同時也利用單位圓得到了同角三角函數值之間的關系。思維的“路徑”（問題3、4、5、6）是以四個問題為載體，學生在解決問題的過程中經歷：角與角的關系→坐標間的關系→三角函數的關系，充分體驗了知識的生成過程，同時通過問題的設置將學生的點狀的零散思維進行了聚焦，實現數學思維可視化，優化學生數學思維品質。思維的“終點”（問題7、8）是對誘導公式二中角α的任意性的進一步認識以及將探究的思路歸納總結，借助幾何畫板直觀演示，實現從靜態單一思維到動態辯證思維，從結果思維到過程思維，讓學生的思維走得更深、更遠。

二、“可視化”操作，展現思維過程

案例2 橢圓離心率e=ca的探究過程

（1）將細繩的兩端點固定在焦點處，用鉛筆筆尖拉緊繩子，在平面上畫一個橢圓，然后調整繩子的長度（分別加長、縮短），觀察橢圓的“扁”的程度的變化規律;

（2）細繩的長度固定不變，將焦距分別增大和縮小，觀察橢圓“扁”的程度的變化規律。

師：請大家分組操作后，由小組代表和同學們分享交流。

組1：當焦點固定即2c確定時，2a的值越小，橢圓越“扁”。

組2：當繩長固定即2a確定時，2c的值越大，橢圓越“扁”。

師：用什么樣的量刻畫橢圓“扁”的程度呢？

生：這個量與2a成反比;與2c成正比，所以猜想可以用2c2a即ca這個量來刻畫橢圓“扁”的程度。

教師用“幾何畫板”動態直觀演示，ca越大（接近于1），橢圓越扁;ca越小（接近于0），橢圓越圓。

師：焦距與長軸長的比ca叫作橢圓的離心率，記為e。

設計意圖：用2c2a來刻畫橢圓的“扁”的程度，對學生來講過于抽象，既沒有理性認識又沒有直觀感受。因此，通過“可視化”探究操作，學生手腦協同、做思共生，在實際動手操作中觀察、發現，改變2c和2a的值可以改變橢圓的“扁”的程度，直觀的操作讓學生的數學思維觸手可及、有跡可循，將抽象的、靜態的數學問題轉化為直觀的、動態的操作。在此基礎上，學生自然會提出問題：到底用什么樣的量刻畫橢圓“扁”的程度呢？此時借助“幾何畫板”軟件動態操作，讓學生看見不可見。

三、“可視化”導圖，還原思維路徑

案例3 解析幾何的綜合問題的可視化解題分析

在四棱錐PABCD中，四邊形ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，PD=DC，M是PC的中點，求證：DM⊥平面PBC。

設計意圖：本例中，證明DM⊥平面PDC的目標直線是DM，在證明DM⊥BC時，目標直線又轉化為BC，那么接下來的證明方向清晰明確，即證明BC垂直于DM所在的平面，有這一目標后就可以結合已知條件尋找與BC垂直的兩條相交直線。在證明BC⊥PC時的思維軌跡和方法和上述過程一樣進行目標直線的轉化。借助可視化的思維導圖可以幫助學生將零散的已知條件和已證結論形成網絡系統，將思考程序呈現出來，使得思路更加清晰。在此過程中，提高了學生的邏輯推理與數學抽象能力。

綜上所述，“可視化”教學是符合學生認知規律的一種教學方式，學生通過“可視化”的學習可以將抽象的數學概念、數量關系、公式規律等直觀表征出來，實現零散知識系統化、隱性知識顯性化、解題規律模型化，進而提高學生邏輯推理與數學抽象能力。

參考文獻：

[1]劉濯源.當學習力遇到思維可視化——基于思維可視化的中小學學習力發展策略[J].基礎教育參考，2014.

（作者單位：無錫市堰橋高級中學，江蘇 無錫214000）