淺談初等數論教學與學生能力培養

李龍

【摘要】本文通過對初等數論課程的重要性以及教學現狀的分析，簡要談了初等數論課程的教學改革.

【關鍵詞】初等數論;教學現狀;教學改革;能力培養

初等數論是一門古老而又優美的學科，它主要研究整數的性質和方程（組）整數解（或有理數解）.高斯說數論是數學的皇后，有一種純粹和高雅的氣質.有人學習過實數、復數，就覺得對整數已經了如指掌，但當你學了初等數論之后會恍然大悟，你會發現整數有許多吸引你而你又全然不知的性質.以前人們把初等數論看成最純粹、最無用的一門學科，現在人們已經將初等數論應用到計算機科學、數理邏輯、代數、組合論、編碼理論、積分計算等方面.

在現代高等教育課程中，初等數論是一門非常重要的數學專業基礎課.盡管初等數論的結論簡單優美，但是想學好、教好它并非易事.本文中筆者結合教學實踐，就初等數論的教學以及學生的能力培養簡要地談幾點體會.

1 開設初等數論課程的必要性

1.1 幫助學生更準確地理解中小學數學知識

一直以來，我國中小學數學的主要內容是算術問題，尤其是小學數學中的整數部分，很多內容與初等數論的聯系非常緊密，例如，最大公因數與最小公倍數、整數的整除性、余數、解方程、奇偶數、素數與合數等.數學專業畢業生中的很大一部分會從事中小學的教學工作，因此，開設初等數論課程可以幫助他們打下堅實的基礎，開闊其眼界，幫助其用高等數學的觀點理解中小學的數學知識，進而準確把握問題的本質.

1.2 幫助學生掌握奧數難題的知識基礎及思維方式

近年來，奧林匹克數學競賽越來越受到家長和學校的追捧.多年來的實踐表明，奧數競賽可以激發學生學習數學的興趣，煥發他們的學習熱情，提升他們克服困難、發現問題與解決問題的能力.眾所周知，中小學奧數競賽與初等數論的聯系較為密切，很多考點以及考題都來自初等數論，歷屆國際奧林匹克數學競賽中有近35%的試題需要用到初等數論的知識來解答.因此，開設初等數論這門課，可讓學生掌握初等數論的基礎知識與思維方式，這對學生從事數學教育有很大幫助.

1.3 助力學生備考公務員考試

當前，公務員對于高校畢業生有較大的吸引力，近幾年考試人數已突破百萬.公務員考試的公共科目《行政職業能力測驗》中數量關系類考題經常出現數列、同余、雞兔同籠以及抽屜原理等初等數論知識.例如，2017年國家公務員考試的行政測試第61題是“為維護辦公環境，某辦公室四人在工作日輪流打掃衛生，每周一打掃衛生的人給植物澆水.7月5日周五輪到小玲打掃衛生，下一次小玲給植物澆水是在哪天？”該題就涉及初等數論中同余的知識點.因此，開設初等數論課程，對于學生備考公務員考試大有裨益.

2 師范生開設初等數論課程的現狀

2.1 課程不受重視

如上文所述，開設初等數論課程不管是對學生數學思維方式的養成，還是對其以后的就業都有著重要的作用.但在我國的大多數院校中，初等數論與高等代數和近世代數這兩門課程相比，并未受到應有的重視.大部分院校只是把初等數論課程放在高年級，作為數學與應用數學專業的一門專業選修課程.在課時與學分設置方面，初等數論的課時基本為32或48課時，2～3學分，這與數學主干課程相比，不論是課時量還是學分數都比較少.由于課時比較少，教師在課堂上的講解速度會比較快，留給學生思考、消化與互動的時間比較少，嚴重影響了教學質量.

2.2 課程教材與教學內容陳舊

目前，初等數論課程的教材用的多為閔嗣鶴、嚴士健編寫的《初等數論》，這本書堪稱經典，但是該書編寫于20世紀五六十年代，書中內容太過抽象，以理論為主，淡化實踐，例題較少，例題少了，學生在做題時就沒有參考，會加大做題的難度，影響了學生學習的積極性，且書中嚴重缺乏應用，影響了學生的學習興趣.該書課后習題設置也不夠合理，習題數量不多，難度偏大.

2.3 教學手段和教學方法單一

在課堂上，教師的教學方法以及教學手段基本都遵循“定義—定理—例題—練習”的講解方式，課堂缺少互動，缺乏生氣，教學內容上過多追求系統性，學生很少有自由思考的時間.大多數學生處于上課聽得懂，下課題目不會做的狀態.學生上課只是盲目地記筆記，被動地接受知識，課堂比較枯燥、乏味，勾不起學生學習知識的欲望.而且這種灌輸式的教學手段對學生創新意識以及創新能力的培養是非常不利的，更談不上學生的個性化發展.

因此，為充分發揮初等數論課程的重要作用，不斷提高初等數論的教學質量，初等數論教學改革勢在必行.筆者認為，應主要從教學分層次、教學觀念的改變、教學內容的更新以及教學方法的革新四個方面，對初等數論教學進行改革.

3 初等數論教學改革

3.1 教學分層次

教育要有目的性，我們必須清楚學生將來會從事何職業，有何需求.數學專業的學生，畢業后很大一部分將進入中小學從事教師工作，當然也有相當一部分學生會選擇讀研深造，那么我們在教學內容的選擇上就應該有所側重，不能一概而論.

針對今后選擇當教師的學生，教師在課堂上要多講解基礎知識，夯實基礎，比如整數的整除性、不定方程、抽屜原理以及中國剩余定理等，這些跟中小學教學內容聯系密切的知識點應著重講解.另一方面，課堂上應加強初等數論知識在中小學數學競賽中的應用，要采取針對性的訓練.針對要考研繼續深造的學生，講解內容要全面、系統，注重其與交叉學科間的相互滲透.

總之，教師應針對發展方向不同的學生進行分層教學，不僅使每個學生在初等數論的課堂上都能學到知識，更為其未來的發展奠定堅實的理論基礎，并培養其出眾的應用能力.

3.2 教學觀念的改變

眾所周知，教學行為必須在科學的教學理念的指導下進行，沒有合乎時代的教學理念，就不會有符合時代需要的教學行為.那么如何快速、有效地改變當前教師落后的教學理念就成為當前教育工作者非常關注的話題.這也勢必對初等數論課程改革的推進產生重要作用.

初等數論理論性強，抽象性高，在以往的授課過程當中，教師通常采用“PPT+板書”的授課模式.隨著現代信息技術的迅猛發展，學生上課玩手機的現象屢禁不止，這種學生參與度低的授課方式必然導致欠佳的教學效果，因此，教師必須把課堂時間交給學生，才能提高學生的參與度.教師應成為學生學習活動的引導者、組織者和參與者.學校與教師還應該轉變傳統模式下的考試評價體系.一直以來，考試都被作為評價教師教學質量和學生對知識掌握程度的一個重要手段.不可否認，從某種程度上講，考試能發揮一定的作用，但它絕不是成績考核的唯一形式.在實際操作過程中，我們應該促進考核的多樣性.例如，把學生的課堂表現納入考評體系，這樣能夠有效激發學生的課堂積極性.在作業設置環節，教師可以設置一些難度較大的選做題，給一些課后積極思考、刻苦鉆研的學生適當加分，這樣能夠有效培養學生的自學能力以及科研能力.

教師在課堂上不僅要加深學生對知識的理解，還要加強學生教學能力的培養.近些年來，由于國家加強了對基礎教育的投入，更多的知識青年投身教育事業，教師隊伍的素質明顯提高，中小學教師已基本本科化，部分學校的教師已經擁有碩士甚至博士學歷.而在數學教育類專業開設初等數論課程的目的在于培養中小學教師，所以，教師在教學中必須有意識地培養學生的授課能力.

傳統的教學觀念認為教師從事教育教學工作只要能上好一堂課就行，科研工作在教學中起的作用不大，科研與教學的相結合更多地體現在研究生的培養方面，這是比較傳統的認識誤區.實際上，加強科研與教學的有機結合，將科研過程中取得的最新研究成果以及國內外的最新研究動向及時、合理地融入課程教學中，不僅能使學生在學習過程中了解到國際的前沿性研究成果以及學科的新動向，還能幫助學生全面、系統、深刻地掌握本學科專業知識，同時拓寬學生的視野，大大激發學生學習的積極性和主動性.

3.3 教學內容的更新

教學內容的更新是教學改革的關鍵.首先，在教學內容中應適當地增加一些應用性舉例.比如在講解唯一因子分解定理時，可以適當地介紹大數分解的困難性以及RSA公鑰體制在密碼學中的應用，這樣可以激發學生的興趣，誘導學生進一步查閱資料，開闊眼界，為其日后的深造打下堅實的基礎.

其次，增加相關史料，提高學生的興趣.比如在講到素數與合數時，可以向學生介紹哥德巴赫猜想以及孿生素數猜想，并介紹我國數學家在這兩個問題中的杰出工作，激發學生的愛國熱情，并學習老一輩數學家的刻苦鉆研精神.例如在介紹不定方程時，可以增加介紹費馬的生平、費馬大定理的提出、解決過程，以及費馬當時寫下的一個幽默附注：“關于此結論，我確信已發現了一種美妙的證法，可惜這里空白的地方太小，寫不下.”這樣能增加課堂的趣味性，在一定程度上消除學生的疲勞，吸引他們的注意力.另外，在講解同余式以及中國剩余定理時，教師可以向學生介紹同余式產生的背景，也可引入《孫子算經》中提出的著名問題：“今有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二，問物幾何？”

最后，教師在授課過程中可以加強與中小學數學奧林匹克競賽以及公務員考試有關內容的滲透.

3.4 教學方法的革新

改革最終都要通過課堂教學來體現，那么要做好課程改革就必須做好課堂教學改革.

首先，課堂要改變傳統的“教師教，學生學”的模式，充分調動學生的積極性，讓學生成為課堂的主體，增加學生的參與度.具體地，教師在講解概念時，可以利用“引導講解式”教學引導學生提煉、總結、歸納，這樣能把傳授概念的過程轉變為培養學生抽象思維能力的過程;而利用“啟發探究式”教學可以把初等數論中的定理、例題的證明過程轉變為學生主動探究的過程，從而培養學生的主體意識，加強學生的認知;習題課上可以使用“講練結合式”教學加深學生對知識的理解與感悟，啟迪學生的思維，提高學生的辨題能力，培養他們的科研探索精神.

其次，注意初等數論與數學其他課程之間的聯系.教師在教學中要指出輾轉相除法、唯一因子分解定理等知識點在初等數論與高等代數中的區別與聯系.比如剩余類、歐拉定理等知識與近世代數之間有著深刻的聯系，因此，課堂上可以用群論中的拉格朗日定理簡單直接地推導費馬小定理以及歐拉定理.

4 結語

總之，數學教育改革是永無止境的.本文通過對初等數論課程以上幾個方面的探討，希望能夠切實有效地提高教學質量，使學生能夠學到更多、更有用的知識，并能很好地將其運用到以后的工作實踐中.

【參考文獻】

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