初中數學動點問題教學實踐研究

羅志

【摘要】初中數學動點問題是各地中考數學的熱點考題，其中幾何問題與二次函數相結合的動點問題更是中考的壓軸大題.這類題目的綜合性強，解題要求高，學生存在的解題困難多.要提高學生對此類問題的解題能力，教師需要在教學中全面了解學生在解決動點問題時存在的困難，掌握常見動點問題的類型和教學要求，采用多種教學策略，傳授多種解題方法，加強解題指導，才能有效突破學生解決該類題目的困難，從而提升學生對動點問題的解題能力.

【關鍵詞】初中數學;動點問題;二次函數

初中數學中的動點問題是比較典型的綜合性題目，經常是中考數學的壓軸大題.該類題目涉及的知識點較多，運用的解決方法特殊，要求解題者思維比較靈活，故學生存在的困難較多.為了提高學生對初中數學動點問題的解決能力，筆者結合二次函數教學實踐，對解決數學動點問題的有效教學策略進行了研究探索.

一、解決數學動點問題的困難分析

（一）解決動點問題的困難

由于數學動點問題綜合性強，解題要求高，因此造成許多學生在解題中存在較多的困難.這些困難主要體現在如下方面：

一是存在理解性困難.許多學生對此類題目給出的條件、所求結果或是隱含條件等內容在理解上存在困難，不能全面準確地理解題意，不能把題目中的動點問題與已學知識相聯系，因而造成解題困難.

二是存在選擇性困難.動點問題的解題方法具有較強的靈活性，一些學生在解題中常常是不善于選擇正確的公式、定理與方法，因而找不到解題的路徑，易造成解題思路混亂，只能將動點問題與二次函數相聯系，但不知道具體選擇哪個知識點解題.

三是找不出變量關系.由于二次函數動點問題的題目文字敘述較長，不少學生抓不住題目中的關鍵詞語和句子，難以發現題目中的變量、不變量以及它們之間的聯系，列不出函數關系式，因此就無法有效解題.

四是解題方法不靈活.在解決二次函數動點問題時，不少學生的解題思維不夠靈活，掌握的解題方法比較少，不善于把復雜問題進行轉化，或是借助數形結合思想解題，解題的條理性差，造成解題中的錯誤較多.

例1 如圖1所示，二次函數y=12x2-3x+4與y軸相交于M點，N是拋物線上任一點，連接MN，以MO，MN為鄰邊構建平行四邊形MNPO，設N點的橫坐標是a.求

（1）P點落在x軸上時，a值是多少？

（2）如果P點落在x軸下方，則a是多少時線段QP有最大值？

解題分析 解答此題的關鍵之處在于利用平行四邊形對邊相等的性質求得對邊長度，進而可得出a值.但許多學生在解題中無法形成正確的解題思路，沒有真正理解題意，不能正確選擇公式與定理，只是盲目地運用配方法求最值， 不能將動點問題與平行四邊形的性質有機結合，因而導致解題出現困難.

（二）出現困難的原因分析

學生在二次函數動點問題解題中出現困難，主要是由以下兩方面原因所致.

1.教師方面的原因

一是教師教學態度的影響.動點問題的求解比較困難，一些教師在此類問題教學中存在急于求成的態度，對動點問題的講解不能做到耐心、反復、舉一反三，對學生出現的問題不能耐心指導，故加深了學生對此類問題的畏難心理.

二是教師教學方法的影響.許多教師在二次函數動點問題教學中，不能采取針對性的教學方法，不善于運用幾何畫板等信息化教學軟件，讓學生直觀感受動點的運動狀態，而是以機械式解題訓練為主，使學生不能靈活運用多種解題方法.三是教師沒有掌握學生解題困難的原因.不少教師沒有掌握學生在二次函數動點問題解題中出現困難的深層原因，對不同層次學生不能因材施教，不注重對學生解題思維的訓練和數學思想方法的運用，導致學生解題思路不靈活，從而對動點問題解題困難.

2.學生方面的原因

一是認知能力不佳.由于初中生的抽象思維能力正處于發展階段，容易受到情感、意志、態度等非智力因素的影響，以及已有數學基礎知識的限制，造成學生二次函數動點問題解題能力不足.二是解題思維不靈活.許多學生的數學思維不夠靈活、發散，解題的思路比較窄，不善于對復雜的動點問題進行轉化與分解，不能靈活運用數形結合思想解題，造成解題中困難重重，影響了對動點問題的解題興趣.

三是缺乏解題經驗.許多學生對動點問題存在畏難心理，不愿意觸碰此類題目，或是被動學習此類問題，掌握的解題方法較少，解題的思路不清晰，欠缺動點問題解題經驗.

二、動點問題解題類型與教學要求

（一）動點問題解題類型

二次函數動點問題的類型主要有以下幾種，掌握這些問題類型，有利于教師采取有針對性的措施開展教學，從而取得良好的教學效果.

1.從所求問題分類

從所求問題進行分類，二次函數動點問題主要分為三類：求函數解析式的問題，求最值問題，求存在性問題.

2.從動點個數分類

從動點個數分類看，有單動點問題和雙動點問題.

3.從函數與圖形結合分類

主要分為：二次函數與直線結合問題，與三角形結合問題，與四邊形結合問題，與圓結合問題等.

（二）動點問題教學要求

在教學二次函數與動點結合問題時，教師要提升學生的解題能力，除了加強對學生審題能力的培養，讓學生全面真正理解題意，掌握動點的運動過程或軌跡，注重把二次函數與平面幾何圖形相聯系外，還要重點加強以下三個方面的教學.

1.加強各知識點的聯系教學

由于二次函數動點問題涉及二次函數知識、初中平面幾何知識、代數知識等，學生既需要熟練掌握這些知識，又需要掌握各知識點之間的相互聯系，這樣才能更容易發現隱含條件，掌握題目中的變量與等式關系，為動點問題解題奠定良好的基礎.

2.加強輔助線添加方法教學

由于動點問題綜合性強、難度大，學生在解題中經常需要添加輔助線，借助輔助線使動點問題的解決變得更加容易.因此，教師在二次函數動點問題教學中要注重加強添加輔助線方法的教學，讓學生總結輔助線的添加方法與規律，為解題找到突破口.

3.加強各問題之間的聯系教學

數學動點問題的題目一般是由三四個問題組成的，各個問題之間都有密切聯系，二次函數關系式、最值、存在性問題等都是相互聯系的，而且二次函數本身也有最大值或最小值，如果學生能掌握這些問題之間的相互聯系，并巧妙利用，就能提高動點問題的解題效率.

三、解決數學動點問題的教學策略

（一）加強解題方法指導，積累動點問題解題經驗

雖然二次函數動點問題的綜合性強，解題難度大，但其也有規律可循，同樣也有多種有效的解題思路與方法，加強對學生解題方法的指導，幫助學生積累解題經驗，就能使動點問題的解決變得容易.

一是讓學生學會正確審題.在初中數學動點問題中，條件比較多，經常會在題目中隱含著一些條件，學生如果能正確審題，有效挖掘隱含條件，正確找出題目中的變量、常量、等式關系，學會選擇恰當的數學模型，就能為解題提供方便或使解題找到突破口.因此，教師在此類題目的教學中，首先要重視教會學生正確審題.

二是傳授與積累多種解題方法.在二次函數的動點問題解題中，經常要使用待定系數法、解析法、覆蓋法、切割法、 構造特殊三角形（四邊形）法等多種方法，所以，教師在教學中要注重傳授解題方法，讓學生積累解題經驗，提高學生的動點問題解題能力.

例2 如圖2所示，點M（x，y）是拋物線y=ax2+bx+c上的一個動點，它在x軸下方，且-2

解題分析 本題可用多種方法進行求解.

方法一 （覆蓋法） ：可把三角形面積通過“割補”的方法，轉化成求矩形的面積，即用矩形的面積覆蓋三角形，通過構建最小面積的矩形，然后減去多余的三角形，就可求得△PQM面積的最大值和M點的坐標.該方法思路比較簡單，但解題過程稍微煩瑣.（如圖2中的虛線矩形所示）

方法二（切割法）：求解二次函數動點問題中的面積最值時，一般應構建一個至少一邊是“橫平豎直”的三角形，這樣就能把求面積問題轉化為求線段問題，再利用函數的解析式，將線段轉化為坐標，使問題變得簡單.具體方法如下：可通過M點作x軸的垂線（圖中的虛線），這樣就把△PQM分成兩個三角形，容易求出該線段的長度，然后分別求P，Q兩點到垂線的距離，求出兩個小三角形的面積和的表達式（是二次函數），通過代數式變換就可求出其最大值，這樣問題就解決了.

方法三（解析法）：從題意可知，兩線段MP，MQ的長度總是變化的，但PQ的位置不變，可過M點作平行于PQ的直線l，要使△PQM的面積最大，則M點到線段PQ的距離最大時可使三角形面積最大，又直線l與PQ平行，則M點的位置可確定，求出M點坐標后就容易求面積問題了.

（二）滲透數學思想方法，培養靈活解題思維能力

要提高學生對二次函數動點問題的解題能力，培養學生靈活、發散、創新的思維能力是關鍵，而在教學中滲透數學思想方法是培養學生數學思維能力的重要途徑，如數形結合思想方法、轉化思想方法、分類討論思想方法等，既能培養學生靈活的數學解題思維，又能使復雜的動點問題的解決變得簡單、快捷，從而提高解題效率.

例3 有一條直線y=-23x+c交x軸于點M（3，0），交y軸于點N，二次函數y=-43x2+bx+c也經過點M、點N，如圖3所示.

（1）求N點坐標及函數解析式;

（2）點D（k，0）是x軸上的動點，過D點且垂直x軸的直線與直線MN交于點E，與二次函數圖像交于點C.點D在OM之間移動，如果△CNE與△EDM相似，求D點坐標.

解題分析 本題的綜合性比較強，要用到多方面的數學知識，在第（1）小題中可用待定系數法解決，在第（2）小題中可利用相似三角形的知識，把問題轉化為求k的方程，這樣就找到了解題的關鍵之處，還要注意分情況討論.運用轉化數學思想方法、數形結合思想方法、分類討論思想方法，能使解題更靈活，變得簡單，降低解題難度，從而快速正確地解題.

在具體解題時，可利用D點坐標和直線的方程表示E，C兩點坐標，Ek，-23k+2，Ck，-43k2+103k+2，再根據∠NCE=∠MDE=90°或∠CNE=∠MDE=90°這兩種情況進行分類討論，利用包含k的代數式表示對應邊成比例，可得出一元二次方程，最后可得到所求結果.

四、結束語

總之，初中數學動點問題是教學的難點問題，也是中考的熱點題型，學生在解決此類題目時存在較多的困難.要提高學生的動點問題解題能力，教師需要以學生在解題中存在的困難為依據，全面改進數學動點問題教學方法與策略，注重動點問題解題思想與方法的訓練，加強對學生的解題指導，讓學生掌握多種解題方法與技巧，從而提升學生對數學動點問題的解題能力.

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