圓的直徑式方程在解題中的妙用

陳昌燕

【摘要】在新課程改革背景下，高中數(shù)學(xué)題目的形式日漸豐富，因此對學(xué)生的解題思維提出了更高的要求.在高中數(shù)學(xué)知識中，以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、參數(shù)方程和一般方程為重要考查點(diǎn)，需要學(xué)生深刻把握這些知識，而圓的直徑式方程在考綱中不做要求，但是仍然存在許多和圓的直徑密切相關(guān)的問題，如果學(xué)生可以在解題的過程中合理運(yùn)用圓的直徑式方程，就可以在一定程度上降低題目的難度，收獲良好的效果.基于此，本文將以圓的直徑式方程為例，探究其在解題中的運(yùn)用.

【關(guān)鍵詞】圓的直徑式方程;解題;妙用

我們可以將圓的方程分成標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程兩種形式，如果已知點(diǎn)A（x1，y1）和點(diǎn)B（x2，y2）分別是圓的直徑的兩個端點(diǎn)，而圓上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），可知MA·MB=0，可以計(jì)算出圓的方程為 （x-x1） （x-x2） + （y -y1） （y - y2）=0，此即圓的直徑式方程.圓的直徑式方程在解題中的應(yīng)用十分廣泛，本文將為大家簡要介紹圓的直徑式方程在解題中的具體用法.

一、圓的直徑式方程在解題中的作用

以圓的直徑為斜邊作直角三角形，則另一點(diǎn)永遠(yuǎn)在圓上.將三角形的兩條直角邊的向量用坐標(biāo)的形式表示，便可以通過兩向量坐標(biāo)垂直的性質(zhì)推導(dǎo)出圓的直徑式方程：（x-x1）（x-x2）+（y -y1）（y-y2）=0.盡管圓的直徑式方程不是高考的重要考查內(nèi)容，但是如果題目中含有和圓的直徑相關(guān)的題目，就可以借助圓的直徑式方程進(jìn)行解答，這樣可以有效降低學(xué)生的解題難度，所以我們需要提高對這一方程的關(guān)注.此外，掌握圓的直徑式方程的解法可以讓學(xué)生在高考中多一種選擇，那運(yùn)用一種解題方法解題，并通過其他方法進(jìn)行題目的驗(yàn)算，這可以切實(shí)提升學(xué)生的答題準(zhǔn)確度，從而在高考中取得優(yōu)異的成績.

二、圓的直徑式方程的推導(dǎo)過程

若圓的直徑的兩端點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（x1，y1），B（x2，y2），則圓的直徑式方程為（x-x1）（x-x2）+（y-y1）（y-y2）=0，這可以通過向量進(jìn)行證明.

首先，假設(shè)P（x，y）是圓上一點(diǎn)，那么向量（x-x1，y-y1）表示向量PA，（x-x2，y-y2）則表示向量PB.

因?yàn)锳B是圓的直徑，所以對于圓上的任意一個非A，B的點(diǎn)，∠APB=90°.

所以可以確定兩向量的內(nèi)積為0，即（x-x1）（x-x2）+（y -y1）（y-y2）=0.

當(dāng)P與A或B點(diǎn)重合時，兩向量之一為0向量，因?yàn)?向量與任意向量垂直，所以上式仍成立，所以所有的圓上的點(diǎn)都符合方程（x-x1）（x-x2）+（y -y1）（y-y2）=0.

又因?yàn)樗袧M足向量（x-x1，y-y1）垂直向量（x-x2，y-y2）的點(diǎn)都在圓上，所以可以確定（x-x1）（x-x2）+（y-y1）（y-y2）=0就是該圓的方程.

三、圓的直徑式方程的運(yùn)用

（一）圓的方程

例1 請計(jì)算出過直線l：2x+y+4=0和圓C：x2+y2+2x-4y+1=0的交點(diǎn)，且面積最小的圓的方程.

解析 面積最小的圓也就是以交點(diǎn)連線為直徑的圓，因此可以運(yùn)用直徑式方程進(jìn)行解題.

解 由題目可知，交點(diǎn)坐標(biāo)同時滿足 x2+y2+2x-4y+1=0和2x+y+4=0，可以計(jì)算出交點(diǎn)A（-3，2），B-11[]5，2[]5，則題目所求是以點(diǎn)（-3，2）和-11[]5，2[]5為直徑兩端點(diǎn)的圓，可以列出：（x+3）x+11[]5+（y-2）y-2[]5=0，整理可得面積最小的圓的方程為 x2+y2 +26[]5x-12[]5y+37[]5=0.

例2 已知點(diǎn)A和點(diǎn)B是直線y=kx+b和雙曲線x2-y2=4的兩個交點(diǎn)，試計(jì)算出直徑為AB的圓的方程.

解 由題意，可設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則

點(diǎn)A和點(diǎn)B同時滿足 x2-y2=4和y=kx+b，將兩式聯(lián)立并消去字母y，可得（k2-1）x2+2kbx + b2+4=0，根據(jù)韋達(dá)定理，可得

x1+x2=2kb []1-k2， ①

x1x2=b2+4[]k2-1.②

所以y1+y2=k（x1+x2）+2b=2b[]1-k2， ③

y1y2=k2x1x2+kb（x1+x2）+b2=4k2-b2[]k2-1， ④

直徑為AB的圓的方程為（x-x1）（x-x2）+（y-y1）（y-y2）=0，將此式展開可得x2-（x1+ x2） x+x1x2+y2-（y1+y2）y+y1y2=0.

將①②③④分別代入上述方程，可以確定所求圓的方程為x2 +2kb[]k2-1x+y2+2b[]k2-1y+4k2+4[]k2-1=0.

例3 從圓外一點(diǎn)P向圓O： x2+y2=1作兩條切線，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，1），直線和圓O的切點(diǎn)分別為A，B，請求出經(jīng)過A，B兩點(diǎn)的直線方程.

解析 根據(jù)圓的直徑式方程的性質(zhì)，可以確定以線段 OP為直徑的圓的方程的解析式為圓Q：x（x-2 ）+y（y-1）=0，由于點(diǎn)A和點(diǎn)B皆為圓O的切點(diǎn)，所以點(diǎn)A和點(diǎn)B同時在圓O和圓Q上，因此，可以將兩個圓的方程式作減法，確定經(jīng)過兩個圓的公共弦的方程為x（x-2）+y（y -1）-（x2+y2-1）=0，可得 2x+y-1=0，也就是直線AB的方程.

由此可見，借助圓的直徑式方程的性質(zhì)和解法，可以有效簡化解題過程，讓解題更加快速，切實(shí)提升解題的準(zhǔn)確率.

（二）直線與圓的位置關(guān)系

例4 已知點(diǎn)P和點(diǎn)Q是直線l：x+2y-3=0和圓C：x2+y2+x-6y+m=0的兩個交點(diǎn)，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，如果OP⊥OQ，請計(jì)算出實(shí)數(shù)m的值.

解 設(shè)點(diǎn)P（x1，y1），點(diǎn)Q（x2，y2）.

由于點(diǎn)P和點(diǎn)Q都是直線l上的一點(diǎn)，可以得出：x1=3-2y1，x2=3-2y2.

又因?yàn)镺P⊥OQ，可以確定y1[]x1· y2[]x2=-1，

所以有x1x2+y1y2=（3-2y1）（3-2y2）+y1y2=5y1y2-6（y1+y2）+9=0 ①.

將圓的方程x2+y2+x-6y+m=0和直線方程x+2y-3=0聯(lián)立，可以得出（3-2y）2+y2+3-2y-6y+m=0，即5y2-20y+12+m=0.

因?yàn)閥1和y2是方程的根，可以得出y1+y2=4，y1y2=12+m[]5.將y1y2=12+m[]5代入①，可以得出12+m-24+9=0，經(jīng)計(jì)算可得m=3.

例5 已知點(diǎn)N是拋物線y=4x2上的一點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)N作圓C：（x-2）2+y2=1的切線，分別與圓C相切于點(diǎn)P和點(diǎn)Q，已知點(diǎn)P、點(diǎn)Q和點(diǎn)O三點(diǎn)在同一條直線上（其中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)），試求出點(diǎn)N的坐標(biāo).

解 由于點(diǎn)N是拋物線上的一點(diǎn)，由y=4x2可設(shè)點(diǎn)N（t，4t2），而點(diǎn)P和點(diǎn)Q分別為直徑為NC的圓D和圓C的兩個交點(diǎn).

由此可以計(jì)算出圓D的方程為 （x-2）（x-t）+y（y-4t2）=0，

可以將圓D方程轉(zhuǎn)化為x2-（2+t）x+2t+y2-4t2y=0 ①，

又因?yàn)閳AC的方程為x2 - 4x + y2 + 3 =0 ②，

將②式與①式相減，可得（2-t）x+2t-4t2y-3=0，此方程就是直線PQ的表達(dá)式.

由于P，Q，O三點(diǎn)在同一條直線上，可以確定直線PQ經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，由此可知2t-3=0，計(jì)算出t=3[]2.

由此可以計(jì)算出點(diǎn)N的坐標(biāo)為3[]2，9.

例6 直線l：y=kx+1和雙曲線C：2x2-y2 =1的右半部分的交點(diǎn)分別為點(diǎn)A和點(diǎn)B.

（1）請確定實(shí)數(shù)k的取值范圍.

（2）當(dāng)k取什么值時，可以讓以線段AB為直徑的圓O經(jīng)過雙曲線C的右焦點(diǎn)F？如果不存在這樣一個實(shí)數(shù)k，請說明理由.

解 （1）根據(jù)題目，可以計(jì)算出實(shí)數(shù)k的取值范圍為-2

（2）由題意，可設(shè)點(diǎn)A（x1，y1），點(diǎn)B（x2，y2），

將直線l的方程代入雙曲線C的方程，可以得出：

（2-k2）x2-2kx-2=（2-k2）（x-x1）（x-x2）=0 ①，

聯(lián)立雙曲線和直線方程，還可以得（2-k2）y2-4y-k2+2=（2-k2）（y-y1）（y-y2）=0 ②，

又因?yàn)辄c(diǎn)A和點(diǎn)B分別為圓O直徑的兩個端點(diǎn)，所以可以將①式和②式相加求出圓O的方程：

（2-k2）（x-x1）（x-x2）+（2-k2）（y-y1）（y-y2）=0，

計(jì)算可得（2-k2）x2-2kx-2+（2-k2）y2-4y-k2+2=0 ③.

如果存在一個實(shí)數(shù)k，可以讓圓O經(jīng)過雙曲線C的右焦點(diǎn)F（c，0），

因?yàn)閏=6[]2，則點(diǎn)F6[]2，0，將其代入③式，可以得出5k2+26k-6=0，

計(jì)算可得k=-6+6[]5或k=6-6[]5（與（1）問的取值范圍不符，故舍去），

所以當(dāng)k=-6+6[]5時，可以讓以線段AB為直徑的圓O經(jīng)過雙曲線C的右焦點(diǎn)F.

（三）圓與圓的位置關(guān)系

例7 已知O1和O2兩圓的方程分別為O1：x2+y2-10x-10y=0 和O2：x2+y2+6x-2y=0，請計(jì)算出以公共弦為直徑的圓的方程.

解 根據(jù)題意，聯(lián)立x2+y2-10x-10y=0和x2+y2+6x-2y=0，計(jì)算可得x1=0，y1=0;x2=-2，y2=4.

根據(jù)圓的直徑式方程（x-x1）（x-x2）+（y-y1）（y-y2）=0，可以列出（x-0）（x+2）+（y-0）（y-4）=0.

經(jīng)計(jì)算，可得x2+y2+2x-4y=0，即以圓O1和圓O2的公共弦為直徑的圓的方程為x2+y2+2x-4y=0.

四、結(jié)束語

總而言之，圓的直徑式方程在解題過程中應(yīng)用非常廣泛，對于解題具有一定的作用.通過圓的直徑式方程，可以將題目簡化，幫助學(xué)生減少計(jì)算量，實(shí)現(xiàn)題目的由難化簡，讓學(xué)生脫離煩瑣的計(jì)算流程，在最短的時間內(nèi)找到問題的最優(yōu)解.基于此，教師需要充分關(guān)注圓的直徑式方程在解題過程中的作用，讓學(xué)生可以針對題目內(nèi)容選擇合適的答題手段，強(qiáng)化學(xué)生對于圓的直徑式方程的理解，爭取在提升學(xué)生解題速度的基礎(chǔ)上提升其解題準(zhǔn)確率.

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