根據(jù)問題條件，探求運算方向

高思遠(yuǎn)

【摘要】初中生常常會發(fā)生這樣的情況：平時做題不會，有人點撥一下他就會，在考場上無人點撥時就憑經(jīng)驗做題，而無解決題目的方法和方向，最后導(dǎo)致解不出題，但出了考場有人一提示就恍然大悟.解題的價值不僅僅在于求出答案，而在于弄清“我是怎么思考的？”“為什么要這樣做呢？”教師要讓學(xué)生從技能向能力發(fā)展，而解決問題時分析法和綜合法是不錯的方法.

【關(guān)鍵詞】分析法;綜合法

初中生常常會發(fā)生這樣的情況：平時做題不會，有人點撥一下他就會，在考場上無人點撥時就憑經(jīng)驗做題，而無解決題目的方法和方向，最后導(dǎo)致解不出題，但出了考場有人一提示就恍然大悟.解題的價值不僅僅在于求出答案，而在于弄清“我是怎么思考的？”“為什么要這樣做呢？”教師要讓學(xué)生從技能向能力發(fā)展，而解決問題時分析法和綜合法是不錯的方法.

一、什么是分析法和綜合法

例1 如圖1，在四邊形 ABCD 中，AD∥BC， AM⊥BC，垂足為 M，AN⊥DC，垂足為N.若∠BAD=∠BCD，AM=AN，求證：四邊形 ABCD 是菱形.

從要解決的問題出發(fā)，逐步尋求使結(jié)論成立的充分條件，直至最后把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判斷一個明顯成立的條件（已知條件、定義、定理、公理等）為止，如要證明：P→Q（四邊形ABCD→菱形）

Q←P1→P1←P2→P2←P3→…→得到一個明顯成立的條件

我們把這種解法稱為分析法.

從已知條件、定義、定理等出發(fā)，經(jīng)過推導(dǎo)論證，最后得出所要證明的結(jié)論成立，如要證明：P→Q

P→Q1→Q1→Q2→ Q2→Q3→ … →Qn→Q

我們把這種解法稱為綜合法.（初中所學(xué)的證明都是按照此方法進行書寫的）

二、運用分析法和綜合法解決問題

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，“題海戰(zhàn)術(shù)”是不可取的.數(shù)學(xué)教育家李士锜有研究結(jié)果表明，通過“題海戰(zhàn)術(shù)”達(dá)到解題的熟能生巧后，也可能導(dǎo)致“熟能生笨”.因此，如何讓學(xué)生學(xué)會思考問題，讓學(xué)生在精練中提升解題能力，教會學(xué)生思考問題的方法就顯得尤為重要.

例2 已知在四邊形 ABCD 中，AB∥CD，∠B=∠D， 過點A 作AE⊥BC 于 E，AF⊥CD 于 F，若CF=2，CE=5，四邊形 ABCD的周長為 28，求 EF的長度.

解題分析 求 EF的長度，先觀察EF落在哪個基本圖形中， 方向一：△EAF;方向二：△ECF.

已知CF=2，CE=5，先試著考慮方向二.那么△ECF 是怎樣的三角形？

若EF 求出是定值，則此三角形為定三角形，∠C一定是特殊角，則∠B一定是特殊角，從而找到解題思路：△ABE 與△ADF相似.

此題可利用分析法并借助基本圖形探求運算方向.用分析法思考問題可以讓學(xué)生大大提高解題能力，減少學(xué)生碰運氣做題，或者無思路的情況，也解釋了為什么要這么做.

在解決問題時，有時不能把分析法和綜合法完全割裂開.在一個命題的論證或一個問題的解決中，往往同時運用這兩種方法，有時甚至交錯使用.在分析問題時，我們還常會用到合情推理中的“猜想”，但在書寫的過程中，每一步的推理必須是嚴(yán)密的邏輯推理（即有根有據(jù)）.

例3 在等邊三角形ABC中，以BC為弦的⊙O分別與AB，AC交于點D和點E，點F是BC延長線上一點，且CF=AE，連接EF.

（1）如圖3，當(dāng)BC為直徑時，判斷直線 EF與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由;

（2）如圖4，EF與⊙O交于點 G，EF=3，BF=6，求BC的長.

解題分析 第（1）小題，考慮到直線 EF與⊙O有公共點 E，所以直線 EF與⊙O的位置關(guān)系只可能是相交或相切，那么連接 OE，求出∠OEF的度數(shù)即可解決問題.

考慮到BC是直徑，所以連接 BE，可以得到∠BEC=90°，再根據(jù)等腰三角形、等邊三角形的性質(zhì)，又可以得到∠ABC=∠ACB=60°，∠EBC=30°，AE=EC=FC.進一步求得∠OEF=90°，則可判斷直線 EF與⊙O相切.

第（2）小題難度較大，其第一個關(guān)鍵點在于：能否根據(jù)第（1）小題中的特殊情況獲得BE=EF的合理猜想，因此，本題在設(shè)計上是引導(dǎo)學(xué)生運用從特殊到一般的方法去探究問題，即特殊情況下所用的方法和獲得的結(jié)論可以為一般情況提供猜想，使得一般情況的研究方向更為明確.如果直接從一般情況入手，顯然對學(xué)生的運算能力、空間觀念和推理能力等的要求非常高，學(xué)生需要具備熟練應(yīng)用分析法和綜合法去分析問題和解決問題的能力.考慮到求BC的長，顯然需要求出⊙O 的半徑和圓心角∠BOC的度數(shù)或圓周角∠BEC的度數(shù).如果學(xué)生能獲得BE=EF的猜想，就容易根據(jù)勾股定理的逆定理得出△BEF是等腰直角三角形，從而得到∠BEF=90°，∠EBF=∠F=45°，∠BEC=75°，那么連接 BG，可得出BG是⊙O 的直徑，最后可求得BC的長.

其第二個關(guān)鍵點在于：如何證明 BE=EF？

法一 依據(jù)試題條件和圖形直觀，可猜想：△ABE≌△ECF（顯然是不可能的）或△BDE≌△ECF.要證△BDE≌△ECF，只要證得 BD=CE，CF=AE=DE，∠BDE=∠ECF即可，連接 DE，BE，

容易證得△ADE 是等邊三角形，即可得到 CF=AE=DE，BD=CE，∠BDE=∠ECF=120°.

法二 依據(jù)試題條件和圖形直觀，可得到BE=CD，并猜想四邊形 DEFC是否為平行四邊形. 連接 DE，BE，CD，

容易證得△ADE 是等邊三角形，即可得到∠ADE=∠ABC=60°，CF=AE=DE，再推出 DE∥CF，

則四邊形DEFC為平行四邊形，從而得到EF=CD=BE.

數(shù)學(xué)問題的解決有時并不是很難，關(guān)鍵是平時在做題后要反思解題過程：解決問題的過程中，你是如何思考和分析的？分析解題思路時有何特點？為什么要這樣想？結(jié)合平時做過的類似題型，歸納出思考過程的共性：分析法和綜合法思考問題.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是個動態(tài)過程，要提高教學(xué)質(zhì)量，教師就要教學(xué)生思考問題的方法——分析法和綜合法，才會使學(xué)生的數(shù)學(xué)能力得到較快提升.

【參考文獻】

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