根據問題條件，探求運算方向

高思遠

【摘要】初中生常常會發生這樣的情況：平時做題不會，有人點撥一下他就會，在考場上無人點撥時就憑經驗做題，而無解決題目的方法和方向，最后導致解不出題，但出了考場有人一提示就恍然大悟.解題的價值不僅僅在于求出答案，而在于弄清“我是怎么思考的？”“為什么要這樣做呢？”教師要讓學生從技能向能力發展，而解決問題時分析法和綜合法是不錯的方法.

【關鍵詞】分析法;綜合法

初中生常常會發生這樣的情況：平時做題不會，有人點撥一下他就會，在考場上無人點撥時就憑經驗做題，而無解決題目的方法和方向，最后導致解不出題，但出了考場有人一提示就恍然大悟.解題的價值不僅僅在于求出答案，而在于弄清“我是怎么思考的？”“為什么要這樣做呢？”教師要讓學生從技能向能力發展，而解決問題時分析法和綜合法是不錯的方法.

一、什么是分析法和綜合法

例1 如圖1，在四邊形 ABCD 中，AD∥BC， AM⊥BC，垂足為 M，AN⊥DC，垂足為N.若∠BAD=∠BCD，AM=AN，求證：四邊形 ABCD 是菱形.

從要解決的問題出發，逐步尋求使結論成立的充分條件，直至最后把要證明的結論歸結為判斷一個明顯成立的條件（已知條件、定義、定理、公理等）為止，如要證明：P→Q（四邊形ABCD→菱形）

Q←P1→P1←P2→P2←P3→…→得到一個明顯成立的條件

我們把這種解法稱為分析法.

從已知條件、定義、定理等出發，經過推導論證，最后得出所要證明的結論成立，如要證明：P→Q

P→Q1→Q1→Q2→ Q2→Q3→ … →Qn→Q

我們把這種解法稱為綜合法.（初中所學的證明都是按照此方法進行書寫的）

二、運用分析法和綜合法解決問題

在數學學習的過程中，“題海戰術”是不可取的.數學教育家李士锜有研究結果表明，通過“題海戰術”達到解題的熟能生巧后，也可能導致“熟能生笨”.因此，如何讓學生學會思考問題，讓學生在精練中提升解題能力，教會學生思考問題的方法就顯得尤為重要.

例2 已知在四邊形 ABCD 中，AB∥CD，∠B=∠D， 過點A 作AE⊥BC 于 E，AF⊥CD 于 F，若CF=2，CE=5，四邊形 ABCD的周長為 28，求 EF的長度.

解題分析 求 EF的長度，先觀察EF落在哪個基本圖形中， 方向一：△EAF;方向二：△ECF.

已知CF=2，CE=5，先試著考慮方向二.那么△ECF 是怎樣的三角形？

若EF 求出是定值，則此三角形為定三角形，∠C一定是特殊角，則∠B一定是特殊角，從而找到解題思路：△ABE 與△ADF相似.

此題可利用分析法并借助基本圖形探求運算方向.用分析法思考問題可以讓學生大大提高解題能力，減少學生碰運氣做題，或者無思路的情況，也解釋了為什么要這么做.

在解決問題時，有時不能把分析法和綜合法完全割裂開.在一個命題的論證或一個問題的解決中，往往同時運用這兩種方法，有時甚至交錯使用.在分析問題時，我們還常會用到合情推理中的“猜想”，但在書寫的過程中，每一步的推理必須是嚴密的邏輯推理（即有根有據）.

例3 在等邊三角形ABC中，以BC為弦的⊙O分別與AB，AC交于點D和點E，點F是BC延長線上一點，且CF=AE，連接EF.

（1）如圖3，當BC為直徑時，判斷直線 EF與⊙O的位置關系，并說明理由;

（2）如圖4，EF與⊙O交于點 G，EF=3，BF=6，求BC的長.

解題分析 第（1）小題，考慮到直線 EF與⊙O有公共點 E，所以直線 EF與⊙O的位置關系只可能是相交或相切，那么連接 OE，求出∠OEF的度數即可解決問題.

考慮到BC是直徑，所以連接 BE，可以得到∠BEC=90°，再根據等腰三角形、等邊三角形的性質，又可以得到∠ABC=∠ACB=60°，∠EBC=30°，AE=EC=FC.進一步求得∠OEF=90°，則可判斷直線 EF與⊙O相切.

第（2）小題難度較大，其第一個關鍵點在于：能否根據第（1）小題中的特殊情況獲得BE=EF的合理猜想，因此，本題在設計上是引導學生運用從特殊到一般的方法去探究問題，即特殊情況下所用的方法和獲得的結論可以為一般情況提供猜想，使得一般情況的研究方向更為明確.如果直接從一般情況入手，顯然對學生的運算能力、空間觀念和推理能力等的要求非常高，學生需要具備熟練應用分析法和綜合法去分析問題和解決問題的能力.考慮到求BC的長，顯然需要求出⊙O 的半徑和圓心角∠BOC的度數或圓周角∠BEC的度數.如果學生能獲得BE=EF的猜想，就容易根據勾股定理的逆定理得出△BEF是等腰直角三角形，從而得到∠BEF=90°，∠EBF=∠F=45°，∠BEC=75°，那么連接 BG，可得出BG是⊙O 的直徑，最后可求得BC的長.

其第二個關鍵點在于：如何證明 BE=EF？

法一 依據試題條件和圖形直觀，可猜想：△ABE≌△ECF（顯然是不可能的）或△BDE≌△ECF.要證△BDE≌△ECF，只要證得 BD=CE，CF=AE=DE，∠BDE=∠ECF即可，連接 DE，BE，

容易證得△ADE 是等邊三角形，即可得到 CF=AE=DE，BD=CE，∠BDE=∠ECF=120°.

法二 依據試題條件和圖形直觀，可得到BE=CD，并猜想四邊形 DEFC是否為平行四邊形. 連接 DE，BE，CD，

容易證得△ADE 是等邊三角形，即可得到∠ADE=∠ABC=60°，CF=AE=DE，再推出 DE∥CF，

則四邊形DEFC為平行四邊形，從而得到EF=CD=BE.

數學問題的解決有時并不是很難，關鍵是平時在做題后要反思解題過程：解決問題的過程中，你是如何思考和分析的？分析解題思路時有何特點？為什么要這樣想？結合平時做過的類似題型，歸納出思考過程的共性：分析法和綜合法思考問題.數學學習是個動態過程，要提高教學質量，教師就要教學生思考問題的方法——分析法和綜合法，才會使學生的數學能力得到較快提升.

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