基于APOS理論下的高中數學概念教學研究

沈彥章　許偉湘

【摘 要】 理解數學概念是開展數學教學的基礎，教學概念能夠反映出數學知識當中包含的重要內容。但由于應試教育的需要及課程安排所受到的限制，讓數學概念教學無法在數學教學當中完全落實。本文對APOS理論的概念及其優勢展開研究，并分析其在高中數學教學當中的實際應用。

【關鍵詞】 APOS? 高中教學? 概念教學

引言：高中階段的數學教學內容相較于初中更加注重對數學概念的講解，概念教學是高中教學當中的重要環節，但對于高中數學教師來說，概念教學方面一直存在著問題。APOS理論能夠為學生提供新的概念感知方法，幫助學生形成對概念的更好認知，同時也為數學教師的概念教學提供了幫助。

一、APOS理論的概念

APOS理論是由美國的杜賓斯基等人所創立的理論模型，這種理論不同于傳統的教學理論，APOS理論可以簡單理解為操作、過程、對象和圖示四個階段。這四個階段，是數學教師對學生接受知識能力的培養過程，不僅能夠提高學生的學習效率，還能夠為學生的后續數學學習打好基礎。APOS理論被引入到我國的數學教育界， 是為數不多的依據數學學科特點而建立的教學理論.與傳統的數學概念教學相比較，APOS理論教學更能體現“學生主體，教師主導”的建構主義理念， 更符合學生的認知特點， 揭示了數學概念的學習是循序漸進的建構過程， 應值得重視和深究。

二、APOS理論在高中數學中的應用

在概念的引入階段，要充分考慮到學生的學情，針對學生實際的學習情況設置有意義的問題情境.通過創設活動，激發學習興趣，開始問題探究，讓學生感知概念產生的背景，感受數學與生活密切相關.根據教學內容靈活選擇不同的概念引入方式，設計出有吸引力和針對性的引入問題，由簡至難，逐層遞進，了解概念的來龍去脈。

以下，以人教版的高中教材中的等差數列為例，選取當中的題型運用APOS的理論進行分析。

首先需要進行第一階段——活動階段（Action），引入情境，激發出學生的學習興趣。

情境1：數字接龍游戲，教師首先提供出一個數字，如數字7，由任意一名學生從7開始叫出數字，每當出現這個數的倍數時，需要用拍手來代替。

情境2：隊列按照每排2人、4人、6人、8人的順序排列，最后一排有100人，求隊列的全部人數。

設置好情境后進入第二階段——過程階段（Process），探究題目當中的規律，并形成數學概念。

教師要求學生掌握以上兩種情境當中的規律并列出相應的算式。

∵{an}是等差數列

∴an-an-1=d，an-1-an-2=d，an-2-an-3=d…a2-a1=d

將得出的算式兩邊進行相加能夠得出an-a1=（n-1）d，也就是an=a1+（n-1）d，因此能夠得出，已知首項a1和公差d，就能夠求出相對應的通項公式。

再進行第三階段——對象階段（Object），此時需要鞏固學生的數學概念，提升學生的數學解題能力。

最后進行第四階段——圖示階段（Scheme），此時是對過程進行歸納總結，并且構建出圖式。

教師可以對學生提出相關的問題，讓學生在解題過程當中進行歸納總結。

如問題1：證明一個數列是等差數列有哪幾種方法？

[歸納總結] （1） 定義法：an-an-1=d （常數） ， 其中n≥2且n∈N*; （2） 等差中項法：2an=an-1+an+1， 其中n≥2且n∈N*。

問題2：等差數列的通項公式是否還可以變形？

[歸納總結]任取m， k∈N*， 由等差數列{an}， 得am=a1+ （m-1）d， ak=a1+ （k-1）d， 兩式等號兩邊相減， 可得am-ak= （m-k）d， 則am=ak+ （m-k）d。

通過以上四個階段的教學，讓學生在過程中逐步深入探究，由淺入深的了解等差數列當中的規律所在，并且不再是簡單地掌握解題方式，而是能夠學會變通并且將其合理運用到日后的解題當中去。

三、APOS理論對學生的影響

APOS理論能夠激發出學生對于學習數學概念的積極性，讓學生學會獨立解題，并在過程當中摸索到適合自己的解題方案。學生的好奇心會促使其向著未知不斷探索，因此，學生會對剛接觸的知識表現出求知欲。通過APOS理論的引導，學生能夠發揮出自身的創造能力，對接觸到的數學問題能夠進行舉一反三的發散思考，這也是對自身的邏輯思維的鍛煉，從而提高了學生接受新知識的能力。

結論：通過對上文當中提到的APOS理論的優勢及實際應用進行分析，能夠了解到其真正的作用，并且對APOS理論有了一個簡單的認識。將APOS理論應用到我國的高中數學教學當中去，能夠促使學生更好地掌握數學概念，讓學生逐步形成對數學概念的具體認知。另外，數學教師在應用APOS概念進行教學時，需要考慮到學生本身的認知規律，合理的設計教學環節，從而最大限度挖掘出學生的數學潛能，激發出學生的學習積極性，并發揮出APOS理論的實際作用。

參考文獻

[1] 濮安山，丁嘉雯.基于APOS理論的高中數學概念教學案例設計——以“任意角”的概念教學為例[J].中學數學研究（華南師范大學版），2018（02）：19-21.

[2] 吳湘蕓.APOS理論在高中數學概念教學中的應用[J].高中數學，2019（24）：39-41.

[3] 陳一梅.基于APOS理論下的高中數學概念教學——以“等差數列”的概念教學為例[J].文理導航（中旬），2018（03）：5+7.

本文系福建省“十三五”第二批中學數學學科教學帶頭人培養對象科研課題《基于APOS理論下的高中數學概念教學研究》（立項批準號：DTRSX2019027）階段性成果。