讓方法聯想課蕩起思想方法的雙槳

高艷麗 劉賢虎

[摘? 要] “有序與計數”將幾冊教材中與“有序思考”相關的內容串聯起來，并在此基礎上運用這種思想方法進行復雜問題解決。這類課型從關注知識點走向知識結構，從知識技能走向數學思想方法，構建學生的知識體系，促進學生的思維發展。

[關鍵詞] 串聯;感悟;思維;思想方法

教學內容

創編3個數字組成不同數的內容（適合三年級上學期）

教學目標

1. 通過排列數字，感知“有序思考”的數學思想方法，并用于解決數字排列問題。

2. 通過前后知識的方法聯想，體會“有序思考”在數學計數及生活中的應用。

3. 培養學生學習數學的興趣，滲透學習數學的方法，學會數學思考。

教學重點

讓學生感悟有序思考

教學對象

三年級學生

教學過程

一、問題引發，以例說法

師：用以下3張卡片（3、4、6），可以排成幾個不同的兩位數？限時30秒，把你排列的兩位數寫下來。

生1：我能排列出6個不同的兩位數，34、36、43、46、63、64，我是先固定十位的。

生2：我聽明白了他的排法，就是3張卡片輪流固定在十位上。我有不同的順序，我是按從小到大的順序排列的。

生3：我來補充，其實他們兩個人的順序是一樣的，都是三十幾、四十幾、六十幾，只是說法不一樣而已。

生4：還可以倒過來排，就是34、43、36、63、46、64，這樣交換一下。

師：有的同學先固定十位，有的按數字大小順序，有的交換位置，大家之所以能快速排成6個不同的兩位數，是因為有個法寶——有序。按一定的順序來思考、排列，就能快速計數了。今天這節課，我們一起來研究“有序與計數”。（板書：有序與計數）

評析：以例說法，引發對“有序”的思考。用3張數字卡片排兩位數，是二年級已經學習過的知識，大部分學生都能有序排列出不同的6個數字，所用的思想方法指向“有序”，這樣引發，難度低、指向明、立意高。

二、問題探究，體驗悟法

在下面的學習中，還能發現什么順序呢？請看以下兩個問題：

1. 用以下3張卡片（3、4、6），可以排成多少個不同的數？（想一想，寫一寫）

2. 以前的學習中，還有哪些地方用到了有序思考？（舉例說明，寫下來）

師：同學們讀一讀以上問題，想一想，有什么疑問嗎？

生1：我想知道，6可以倒過來當成9嗎？

生2：如果倒過來的話，一張卡片就相當于兩張卡片了，這樣就變成4張卡片了。

師：現在我們不考慮把數字倒過來的情況。

生3：題目說“不同的數”，只要是數字就可以嗎？

生4：一位數可以嗎？

生5：我覺得一位數當然可以，符合題目要求！

師：老師同意你的說法。接下來，請獨立思考，在學習單上完成以上兩個問題，遇到困難時可以請教同伴。

學生先獨立思考，再同伴協同學習，教師巡視指導，并讓學生在黑板上板書作品。

評析：從排列“不同的兩位數”到“不同的數”，有序思考的方法不變，但思維深度更進一層，要求排列“不同的數”，是序中有序，首先要按順序分成一位數、兩位數、三位數，接著排列兩位數、三位數時也有順序，如交換位置、固定數位等不同的順序。這兩個問題的設置，旨在從一個到一類，第一個問題讓學生在排列數字之中鞏固加強“有序思考”，第二個問題“學習中還有哪些地方用到了有序思考？”，從排列數字中跳出來，串聯其他已經學過的“有序思考”，從“樹木”走向“森林”。

三、互動建模，聯想明法

1. 橫向串聯，多維辨法

師：你能看明白他是怎樣排列的嗎？

生1：他是先寫出3個一位數，再寫兩位數，然后寫三位數的。

生2：他寫的一位數和三位數都是從小到大排列的，中間的兩位數有點亂。

生3：我來解答你的問題，中間的兩位數其實并不亂，他是先選兩張卡片，然后交換位置，就是先選了3、4兩張卡片，組成34和43，再把4換成6，組成36和63，再把3換成4，就是46和64。

生4：我聽明白了他的說法，但是他換來換去的很復雜，我可以畫給大家看，一共是3組。

生5：我有個建議，兩位數、三位數都按從小到大的順序排列，就會更清晰一點，三位數的前兩位就是上面的兩位數。

生6：我同意他的想法，其實，只要排出了兩位數，在兩位數的后面加上一張卡片就成了三位數，比如，34加上一張卡片就是346，36加一張就是364。

生7：他們說的都有道理，這個并不難，就是按3、4、6的順序，一位數就不說了，兩位數固定十位，三位數固定百位，后面的交換位置就可以了。

師：我也聽明白大家的意思了，不管是交換法，還是固定數位，還是從小到大，大家所強調的都是有序思考。那么，在我們以前的學習中，還有哪些地方用到了有序思考？

2. 縱向串聯，比較得法

教師發現作品并請學生板書在黑板上或用平板拍照。

師：大家想到的有序思考真不少，現在，黑板上有兩幅作品，你看懂了什么？

生1：我看明白了第一幅圖就是數一共有多少個角。他是先一個一個地數，有3個;再兩個兩個組合地數，有2個;最后數一個大的，一共就是6個角。

生2：聽他這么說，我突然想到，其實這跟剛才我們排數字有點像，一個角就好像是一位數嘛，然后兩個角合并的角就好像是兩位數，三個角就是三位數，好像是這樣的。

生3：其實你們說得不對，根本不是這樣的。我看到他畫的，他是這樣（走上前，指著一條邊說）從這里開始，1個角、2個角、3個角，然后從第二條邊開始，又數1個角、2個角，再到第三條，1個角，他是這樣數的。

師：很了不起！除了你數角的順序，同學們讀出了不一樣的順序，他們讓你的數角方法更加豐富了！第二個作品呢，誰看懂了？

生4：這不就是我們一年級學過的10的加法嗎？

生5：我來補充一下，就是1+9等于10，2+8等于10，3+7等于10，一直這樣算下去。

生6：我聽明白了，我還想到一個跟10的分解差不多的，比如，有9顆珠子，能組成幾個兩位數，就是把珠子放在計數器上，有十位、有個位的。

師：還有其他的嗎？

生7：我覺得設密碼的時候有順序，比如密碼是兩位數，每個數字都有可能，可以是0至9的任意一個數字，它不是真正的兩位數，第一個數字是0也是可以的，這樣密碼就很難猜了，手機上也有密碼。

生8：我還想到一個問題，就是我們在安排車的時候，比如安排車運煤，表格里面是有順序的，從幾輛車開始想，然后接著想下去。

師：用列表法解決問題時，思考是有序的，看到表格里面的順序了嗎？

生7：我說的就是這個意思，你看，先從5輛車開始，然后是4、3、2、1這樣的順序。

師：大家說了不少關于有序思考的案例，我們先來整理一下。首先，我們在排列數字的時候用了有序思考，比如排列兩位數，設置密碼，10的分解也可以歸到這一類;接著，同學們想到了有序數角，這是與圖形有關的，其實還有數長方形、數線段等等，都用到了有序思考;接著同學提出用列表法解決問題時，也需要遵循一定的思維順序。數學原來有這么多知識用到了有序思考。

評析：在交流中從“有序排列不同的數”到“其他內容用到有序思考”，通過對有序的不同形式表征，實現從數學知識之間關聯到數學與生活聯系的聯通，感受數學思想方法的魅力所在。同時，在傾聽中汲取知識、啟迪思維，圍繞“有序”話題，學生自由探討，深度碰撞。

四、解決問題，拓展用法

例1? （播放小視頻“游戲的煩惱”：5個小朋友比賽跳繩，爭論要比賽的場次）A、B、C、D、E，5個小朋友進行跳繩比賽，每兩個人要比一場，一共要比多少場？

學生解決問題，教師巡視，學生板書解決過程在黑板上。

師：看看黑板上的三種解決問題的方法，你欣賞哪一種？為什么？

生1：我看不明白跳繩比賽與數角有什么關系？李偉齊是不是沒弄清楚我們要解決什么問題。

師：其他幾個同學也在點頭，說明他們也有同樣的疑問。有哪位同學能看明白嗎？

生2：我覺得我應該懂李偉齊的意思，就是一條邊代表一個人，這里有5條線就是5個人，第一個人先跟第二個人比、再跟第三個人比，就是這樣，跟數角是一樣的了。

師：又有不少同學在點頭，聽懂她的解釋了嗎？

生3：我想的跟她差不多，在每條邊上標上A、B、C、D、E幾個人，就能看明白了！不過我很佩服她能想到這樣的方法。（教師相應板書ABCDE）

師：李偉齊同學的思路讓大家耳目一新，用數角的方法解決了跳繩問題！表揚剛剛說看不明白的同學，大膽提出自己不理解的地方，這種學習態度是我們的榜樣！也感謝為我們解讀的孩子，你們也是善于思考的孩子！咱們繼續看看其他的幾種方法。

生4：我寫的跟郭智彬的一樣，我覺得把郭智彬的跟李偉齊的放在一起，是一樣的，一個是用字母寫出來，一個是用圖畫出來，他們倆的順序都是一樣的呀。

生5：我還是覺得李偉齊畫的角好一點，雖然一開始看不懂，但是我覺得這樣畫的好處是可以不用從A開始數，我從E開始也是可以的，從任何一個人開始都是可以的。

師：聽聽，從A作為起點，想到了其實每個人都可以作為起點，只要有序思考，從誰開始都是一樣的，有突破，不錯！

生6：我看了一下王燕的作品，用點表示每個人，然后連線表示他們比賽，可以看出，A跟BCDE比了4場，然后B跟CDE比了3場，他因為剛剛跟A比過，所以不用再比了，然后就是C跟DE比，最后剩下D跟E比。

生7：順序還是跟前面的一樣啊，我覺得用字母寫下來更清楚，連線的話如果人很多的話，連線就比較亂。

師：各有各的想法，表達方式不一樣，但剛才同學們都強調了一點，思考的順序是一樣的！有序思考會讓我們更有條理、更加智慧。

例2? 小明有1元、5元、10元的紙幣各1張，可以組合多少種不同的幣值？

例3? 一個兩位數，個位上的數比十位上的數多3。我能找到（? ? ）個這樣的數。

師：解決這兩個問題有難度嗎？分享一下大家的想法吧。

生1：我說第2題吧，我和同桌討論過，總共有7種不同的幣值，首先是單張的，有3種，然后是2張的3種，再就是3張一起。

生2：我剛剛漏了3張一起的，是同桌告訴我的。

生3：跟前面的排數字有點一樣，又有點不一樣。

生4：對，我也跟前面的排數字對比過，方法是一樣的，都是從1開始的，一位數就好像是一張錢，兩位數就好像是兩張錢這樣的。

生5：我想說第三題，第三題十位上最小是1，最大只能是6，按順序一共有6個。

師：同學們不僅能用有序思考來解決問題，而且能把解決問題的方法進行對比！非常了不起！今天，我們把以前學過的有序思考串成一條線、織成一張網，在以后的學習及生活中，這條有序思考的線會越來越豐富，這張網會捕獲更多的數學知識！

評析：解決問題設計了三道題，有循環比賽的計數問題、幣值的計數、兩位數的計數等，學生在解決問題的過程中，進一步運用有序、感受有序，讓有序用到生活實處，落到思維深處。

全課評析

方法聯想課是我校數學問題教學的一種課型，顧名思義，就是用數學思想方法將教材中某一單元、幾個單元、某一冊教材或幾冊教材相關的內容串起來，并在此基礎上運用這種思想方法進行復雜問題解決。這類課型從關注知識點走向知識結構，從知識技能走向數學思想方法，構建學生的知識體系，促進學生的思維發展。

1. 用數學思想方法帶動相關知識的學習

鄭毓信教授指出，我們應當把數學思想方法的學習與具體數學知識內容的教學更好地結合起來，即用數學思想的分析帶動具體知識內容的學習。以本課為例，用“有序思考”這一方法，解決在數字、圖形、列表及生活中的計數問題，讓不同的知識內容統一到“有序思考”這一方法之下。《義務教育數學課程標準（2011年版）》中也明確提出：“在觀察、實驗、猜想、驗證等活動中，發展合情推理能力，能進行有條理的思考，能比較清楚地表達自己的思考過程或結果。”在復雜問題解決中，需要多個步驟，缺乏有序思考這個重要的數學思維，學生就很難解決。我們借助有序思考，通過方法聯想課幫助學生“學活”“學懂”和“學深”。

2. 以相關知識的串聯感悟數學思想方法

用1、2、3三張卡片能排列出多少個不同的兩位數？這是人教版數學二年級下冊數學廣角安排的學習內容，二年級下冊安排了一道類似的思考題，即“用3、4、6三張卡片能排列出多少個不同的三位數？”三年級時，同學們再一次感悟到“列表法”解決問題時的有序性、用16個小正方形方框拼長方形或正方形時，也需要有序思考。不同的數學知識都承載了相同的數學方法，而教材的編排是按知識邏輯來編排的，思想方法是隨著知識邏輯的教材呈現若隱若現，幾乎沒有集中呈現，因此學生的感悟也是支離破碎。正是基于此，方法聯想課應運而生。用聯想的方式把不同板塊知識中蘊含的相同數學思想方法集中在一起，連成串，織成網，讓學生深入感悟。

方法聯想課讓以上兩者緊密結合，如同劃動思想方法的雙槳，相輔相成，水乳交融。通過相關知識的學習讓思想方法生根發芽，讓生命拔節;同時借助思想方法讓知識技能形成結構，串木成林。