在“幾何直觀”中建構(gòu)直觀思維圖式

陳培娟

[摘? 要] “幾何直觀”能有效地助推學生建構(gòu)直觀思維圖式。在小學數(shù)學教學中，教師要引導學生讀圖、構(gòu)圖、創(chuàng)圖。讀圖有助于培育學生數(shù)學直覺力，構(gòu)圖有助于培育學生數(shù)學想象力，創(chuàng)圖有助于培育學生數(shù)學創(chuàng)造力。從讀圖到構(gòu)圖、從構(gòu)圖到創(chuàng)圖，能敏銳學生的數(shù)學直覺，有效地積累、豐富、完善、升華學生的圖感，建構(gòu)學生內(nèi)在的幾何直觀思維圖式，進而發(fā)展學生數(shù)學核心素養(yǎng)。

[關(guān)鍵詞] 小學數(shù)學;幾何直觀;直觀思維圖式

“幾何直觀”是借助于幾何圖形描述、分析問題，從而讓問題變得簡明、形象的過程。幾何直觀既是學生數(shù)學學習的手段、方式、方法、策略，也是學生數(shù)學學習的重要組成，是學生數(shù)學的目標之一，因此也是學生的數(shù)學核心素養(yǎng)。借助于幾何直觀，能有效地助推學生建構(gòu)直觀思維圖式。作為學生思維的基本單位，直觀思維圖式對于學生后續(xù)數(shù)學學習、研究具有重要的意義和作用。在數(shù)學教學中，教師要引導學生讀圖、構(gòu)圖、創(chuàng)圖。通過圖導、圖構(gòu)、圖創(chuàng)，生成學生的直觀思維圖式。

一、讀圖：培育學生的數(shù)學直覺力

建構(gòu)學生直觀思維圖式，首先要引導學生讀圖。只有能完整地、清晰地讀圖，才能有效地培育學生的數(shù)學直覺，生成圖感。讀圖，要注重引導學生觀察、感知，引導學生實踐、操作，引導學生想象、聯(lián)想。只有這樣，才能幫助學生建構(gòu)整體性、有序性、敏銳性的數(shù)學直觀思維圖式。讀圖有三個層次：一是對圖形表面意義、表象意義的直觀感知;二是發(fā)現(xiàn)圖形蘊含的關(guān)系、深層含義;三是對圖形表象意義和內(nèi)在本質(zhì)的隱性關(guān)聯(lián)。通過讀圖，獲得數(shù)學理解，形成問題解決思路。

幾何直觀的本質(zhì)就是數(shù)學思維的直觀化、可視化。在幾何直觀中，讀圖一般有三個步驟：其一是引導學生對圖形進行描述，尤其是讀懂圖形的表征;其二是對圖形進行直觀思維，也就是讓圖形與學生的內(nèi)在思維形成某種契合;其三是對圖形進行表達。在讀圖的過程中，尤其要引導學生進行在圖形與文字之間穿行，引導是實現(xiàn)圖形與文字的轉(zhuǎn)化。在這個過程中，教師一方面要關(guān)注圖形與學生經(jīng)驗的匹配度，關(guān)注圖形與學生思維的連接度;另一方面要關(guān)注圖形與數(shù)學知識的匹配度，關(guān)注圖形與學生后續(xù)數(shù)學知識學習的延續(xù)度。例如：教學《乘法分配律》（蘇教版四年級下冊），在引導學生通過“實際問題——數(shù)學猜想——數(shù)學驗證——數(shù)學總結(jié)”的過程中，筆者相機引入了兩個等寬的長方形，引導學生對圖形進行解讀。學生深度觀察“乘法分配律”的表達形式，再深度觀察兩個等寬的長方形，從而建構(gòu)了“乘法分配律”與“長方形”之間的關(guān)聯(lián)。有學生說，兩個長方形的長的和就相當于兩個數(shù)的和，寬就相當于另一個乘數(shù);有學生說，ac計算的是一個長方形的面積，bc計算的是另一個長方形的面積，ac+bc計算的就是兩個長方形的面積和，也就是大長方形的面積，等等。借助于長方形圖，“乘法分配律”的簡便算律得到了生動的詮釋。在這個過程中，學生不僅借助于圖形更好地理解了乘法分配律，更感受、體驗到“數(shù)形”的 結(jié)合之妙。

引導學生讀圖、識圖，教師要注重選擇合適的圖，從而能讓圖形發(fā)揮最大限度的效用。在選擇圖形的過程中，不僅要注重圖形的典型性，更要注重圖形的針對性、指向性。只有這樣，才能讓圖形直觀發(fā)揮真正的實效。借助于圖形，不僅能有效地表征問題，更能促進學生的數(shù)學理解，深化學生的數(shù)學認知，從而助推學生問題分析、問題解決。

二、構(gòu)圖：培育學生的數(shù)學想象力

幾何直觀是一種意識、一種能力，更是一種思維方式。在小學數(shù)學教學中，教師不僅要引導學生讀圖、解圖、識圖，更要引導學生構(gòu)圖。構(gòu)圖是根據(jù)題意對圖形的主動建構(gòu)過程。借助于這個過程，學生能有效地對問題進行表征。在構(gòu)圖的過程中，學生不僅需要調(diào)動自我的思維，更需要發(fā)揮自我的想象力。借助于構(gòu)圖的實踐過程，能幫助學生積累構(gòu)圖經(jīng)驗，掌握構(gòu)圖技巧，這是培育學生幾何直觀能力的關(guān)鍵。

例如：教學蘇教版四年級下冊《解決問題的策略——畫圖》，其中“例2”是這樣的一道典型問題：梅山小學有一塊長方形花圃，長度是8米。在修建學校校園時，花圃長增加3米，面積一共增加了18平方米。現(xiàn)在的花圃面積是多少平方米？

在解決問題的過程中，學生遇到了一些障礙，他們不能將面積增加的量與長增加的量結(jié)合起來進行思考。為此，筆者給學生提供了一個“半成品”，即用長方形表征原來的花圃。在此基礎上，引導學生構(gòu)圖，讓學生延長長方形的長，寬不變。在構(gòu)圖、畫圖的過程中，學生能直觀感受、體驗到長方形花圃的面積之所以增加，是因為長增加了。而在這個過程中，長方形花圃的寬沒有發(fā)生變化。因而，就催生學生思考“長方形花圃增加的長與增加的面積之間有怎樣的關(guān)系”，進而就自然地引發(fā)學生對長方形花圃的長與增加面積之間的關(guān)系。通過觀察、思考，學生認識到，借助于這兩個條件，可以計算出長方形的寬。在構(gòu)圖的過程中，學生能根據(jù)文字信息，將抽象的“數(shù)”轉(zhuǎn)換為具體的、直觀的“形”。進而，學生借助于直觀的“形”，能將問題中的相關(guān)的文字信息結(jié)合起來，獲得深刻的數(shù)學思考，形成問題解決思路。

構(gòu)圖在學生的數(shù)學問題解決中具有重要的意義。比如著名數(shù)學家歐拉通過構(gòu)圖解決了哥尼斯堡七橋問題;著名數(shù)學家笛卡爾借助于構(gòu)圖，將代數(shù)問題幾何化，建立了平面直角坐標系。數(shù)學家斯蒂恩說：“如果一個特定的問題可以轉(zhuǎn)化為一個圖形，那么就整體地把握了問題。”在數(shù)學教學中，“幾何直觀”不僅僅是一種簡單的數(shù)學學習方法，而是一種科學的思想方法論。

三、創(chuàng)圖：培育學生的數(shù)學創(chuàng)造力

在引導學生解圖、讀圖、導圖、構(gòu)圖的基礎上，教師要引導學生積極地創(chuàng)圖。通過創(chuàng)圖，能培育學生的數(shù)學創(chuàng)造力。面對同一個數(shù)學問題，不同的學生會產(chǎn)生不同的數(shù)學思考。作為教師，就是要激發(fā)學生的數(shù)學思維，催生學生的數(shù)學想象。思維與想象，能拓展學生的幾何直觀創(chuàng)圖空間。創(chuàng)圖不同于構(gòu)圖，構(gòu)圖簡單地說就是通過幾何圖形將題意表征出來。而創(chuàng)圖則帶有一種“完形”的意味，也就是將“不完備”“不充分”的圖形完備化、充分化。創(chuàng)圖有點類似于初高中階段的“作輔助線”。通過創(chuàng)圖，學生的問題解決思路能得到澄明、敞亮。

構(gòu)圖是一種表征，而創(chuàng)圖則是一種創(chuàng)造。比如小學階段的分數(shù)乘法應用題、分數(shù)除法應用題，通常需要借助于線段圖來表征題意。一般情況下，線段圖就是簡單地表征題意，因而也就是要學生積極地構(gòu)圖。但有時，這種構(gòu)圖卻是非常巧妙的，融入了學生的多重猜想，這時，構(gòu)圖就不僅僅是對題意的表征，而是將條件與問題建立某種關(guān)聯(lián)，這就是創(chuàng)圖的過程。

例如：在教學蘇教版六年級上冊的“分數(shù)除法應用題”這部分內(nèi)容時，學生遇到了這樣的問題：王師傅加工一批零件，第一天加工了全部零件的 多30個，第二天加工了全部零件的 少20個，還剩下195個零件沒有加工，王師傅加工的這批零件一共有多少個？

這一個問題，學生難以找出“量率對應關(guān)系”。據(jù)此，有學生就嘗試構(gòu)造線段圖。但這種構(gòu)造不是簡單的表征題意，而是需要深入思考。很多學生在畫圖的過程中還是不能清晰地找出題目中量率之間的對應關(guān)系。因為，題目中出現(xiàn)的兩個分率分母不同，也就是線段圖平均分的份數(shù)不同;同時，量率混合、交融，使得學生即使用線段圖表征題意也非常復雜。教學中，筆者這樣引導學生：能否將兩個分母不同的分率統(tǒng)一起來？能否讓“率和率放置在一起，量和量放置在一起”？這樣的點撥，啟發(fā)了學生積極地創(chuàng)圖。有學生認為，第一天就是加工了全部零件的 多30個，第二天加工了全部零件的 少20個;有學生認為，畫圖是可以這樣畫，即先畫全部零件的 和 ，然后再將多30個和少20個合并起來，轉(zhuǎn)換為多10個。通過這樣的積極創(chuàng)圖，問題解決過程思路就變得清晰、明朗起來。創(chuàng)圖，就是巧用、妙用幾何圖形，將數(shù)學問題的本質(zhì)可視化、可理解化。

從讀圖到構(gòu)圖再到創(chuàng)圖，能有效地積累、豐富、完善、升華學生的圖感，建構(gòu)學生內(nèi)在的幾何直觀思維圖式。作為教師，要為學生的圖導、圖構(gòu)、圖創(chuàng)提供外部的支持條件，引導學生進入靈動的圖感世界。通過幾何直觀，有效地敏銳學生直覺，發(fā)揮圖形的教學潛能，進而開啟學生的問題解決智慧，發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng)。