助推學生建構數學模型

顧紹志

[摘? 要] 在小學數學教學中，應從學生的已有經驗出發，助推學生建構數學模型，讓學生親身經歷建構數學模型的全過程，并對數學模型進行解釋與應用。

[關鍵詞] 助推;建構;數學模型

數學模型，是指對研究對象觀察到的現象，所歸納的數量關系、數學公式、空間形式、邏輯準則和具體算法。在小學數學教學中，應從學生的已有經驗出發，助推學生建構數學模型，讓學生親身經歷建構數學模型的全過程，并對數學模型進行解釋與應用。

一、助推學生在簡約事理中建構數學模型

生活常識、經歷和經驗，是學生建構數學模型的源頭活水。助推學生建構數學模型，可以從學生的生活背景中甄別素材，讓學生以數學活動的方式，概括數量關系，類推數學原理，提煉數學規律，生成解決數學問題的策略和思想，形成解決數學問題的模式和方略。

例如，教學“乘法分配律”時，出示這樣一道題：“有一種課桌椅，每張桌子180元，每把椅子100元，學校準備買40套，一共需花多少錢？”讓學生從這樣的生活問題入手，圍繞問題的實例，提煉基本內涵、概括本質屬性、建構數學模型。

師：請說一說解題思路。

生：先分別求40張桌子和40把椅子的錢，再求40套課桌椅的錢。

生：先求1套桌椅（1張桌子和1把椅子）的錢，再求40套課桌椅的錢。

師：能用數量關系式表述嗎？

生：1張桌子的錢×張數+1把椅子的錢×把數=一共需花的錢。

生：（1張桌子的錢+1把椅子的錢）×套數=一共需花的錢。

生：1張桌子的錢×張數+1把椅子的錢×把數=（1張桌子的錢+1把椅子的錢）×套數。

師：請列出算式。

生：180×40+100×40。

生：（180+100）×40。

生：180×40+100×40=（180+100）×40。

師：能列舉類似的等式嗎？

（生七嘴八舌，列舉了好多等式。）

師：等式列舉得完嗎？等式有共同之處嗎？等式能用字母概括式表達嗎？

生（議論紛紛后）：a×c+b×c=（a+b）×c。

如此建構數學模型，做到了“三注重”：注重選取典型的生活實例，便于學生揭示，利于學生表述;注重在領略生活實例的事理向數學模型過渡的進程中，引導學生用列舉實例的方式演繹領略到的算理;注重算理的表述符號化，字母概括表達式既簡明扼要，又能幫助學生形成符號意識和代數思想。

二、助推學生在類比遷移中建構數學模型

有學習的地方就會有遷移，遷移對于建構數學模型具有獨特的效用。助推學生建構數學模型時，可充分利用學生已有的建模經驗，為學生創設遷移的操作平臺和時空條件，讓學生從既有的數學思想、技能和知識的遷移中類推、概括、提升新的數學模型。

例如，“整百數乘一位數”的口算，可以引導學生激活整十數乘一位數的口算方法、算理和推導，讓學生運用遷移規律，自主探究整百數乘一位數的口算。

師：40×2=？

生（異口同聲）：80。

師：是怎樣算的？為什么？

生：40+40，因為40×2表示2個40。

生：8個10是80，因為40是4個10，4個10乘2是8個10。

生：4×2得8，再添一個0得80，因為2個4是8，2個40是80。

師：環形跑道長400米，小華跑了2圈，求小華跑了多少米，怎樣列式？

生：400×2。

師：如何口算？

（生遷移40×2的口算方法。）

師：如果小華跑了9圈，求小華跑了多少米，怎樣列式？

生：400×9。

師：還用加法算嗎？

生：用加法算，太麻煩。先用4×9得36，再在36后面添兩個0，得3600。

師：（投影呈現）將下列算式分類：3×6=18，4×9=36，7×5=35，3×60=180，70×5=350，300×6=1800，5×700=3500。

生：①3×6=18，3×60=180，300×6=1800;②7×5=35，70×5=350，5×700=3500;③4×9=36。

師：請說一說分類的依據。

生：第一類，口訣都是“三六十八”;第二類，口訣都是“五七三十五”;第三類，口訣是“四九三十六”。

師：根據4×9=36，能聯想到哪些算式呢？

生：40×9=360，4×90=360，400×9=3600，4×900=3600，4000×9=36000，4×9000=36000，4×90000=360000……

學生借助整十數乘一位數的經驗進行類推，不僅找到了整百數乘一位數的口算方法，而且聯想到整千數乘一位數、整萬數乘一位數的口算方法。顯而易見，助推學生在類比遷移中建構數學模型，首先要確立學生的主體地位，激勵學生主動探究、合作和交流;其次要為學生的遷移做好準備，喚醒學生遷移的意識，讓學生在建構新的數學模型時找到相似的模型。另外要為學生當好向導，當學生在遷移中遇到困惑時，引領學生規避和排除負遷移的干擾。

三、助推學生在解題指導中建構數學模型

助推學生在解題指導中建構數學模型，可以培養學生的抽象概括能力，可以培養學生有效利用數學模型的意識，又可以減少學生解決實際問題的盲目性，還可以減少學生“就題論題”解決實際問題的片面性。

例如，在數學練習課上，出示這樣一道題：“小明期終考試，語文、英語的平均分是92分，數學、英語的平均分是93分，語文、數學的平均分是97分， 小明語文、數學、英語三門學科的平均分是多少？”

師：請根據題意列式計算。

生：（92×2+93×2+97×2）÷2÷3=564÷2÷3=282÷3=94（分）。

師：請說說理由。

生：92×2是語、英分數的和，93×2是數、英分數的和，97×2是語、數分數的和，564是語、數、英三門分數的和的2倍，282是語、數、英三門分數的和，94是語、數、英三門的平均分。

師：有不同解法嗎？

生：（92+93+97）÷3=282÷3=94（分）。

師：請說說理由。

生：我覺得這樣列式計算的結果也是94，具體的理由說不出。

師：可以肯定，這種解法是對的。關于列式理由，可以先想想92分與語、英得分的和的關系。

生：噢！92分也是語、英得分的和除以2的結果。

師（先點頭贊同，后板書，再提問）：（語+英）÷2=92，能把“÷2”轉化成乘法嗎？

生：除以2與乘0.5的結果是一樣的。

師（先點頭贊同，后板書，再提問）：（語+英）×0.5=92，能聯想到乘法分配律嗎？

生：語×0.5+英×0.5=92。

生：噢！92包含語文分的一半和英語分的一半。

生：同樣，93包含數學分的一半和英語分的一半。

生：同樣，97包含語文分的一半和數學分的一半。

生：噢！92+93+97的和282，包含“語文分的一半、數學分的一半、英語分的一半”的總和的2倍。一半的2倍，就是1倍。因此，282分就是三門得分的和。

就這樣，助推學生在解題指導中建構了一個數學模型：（a+b）÷2=0.5a+0.5b。建構的這個數學模型，拓寬了學生的視野，讓學生對兩個數的平均數有了新的認識，幫助學生分析、理解和確認了（92+93+97）÷3的解法。

總而言之，為了學生的數學學習，應利用一切可能的機會，助推學生建構數學模型。