精心設計，構建知識生長型課堂

嵇珍妮

[摘? 要] 學習是生命成長的歷程，教師作為學生學習的引導者，需要精心設疑，讓知識從憤徘中自然生長;有效提問，讓知識從解惑中自然生長;合理變式，讓知識從理解中自然生長;充分反思，讓知識從歸納中自然生長. 進而，引導學生在探究知識內在聯系的過程中，促進思維的生長，構建知識生長型課堂.

[關鍵詞] 高中數學;知識生長型課堂;思維能力

波利亞指出：“數學教學的主要目標是教會那些年輕人去思考. ”實際上，對于一門學科來說，思維方式的培養應該是最重要的. 因此，數學教育的核心目標則是培養具有數學特色的思維方式. 然數學學科由于本身所具有的邏輯性和系統性，使得學科知識結構完整，邏輯嚴密. 這就需要教師牢牢把握知識間的聯系，捕捉知識的生長點，引導學生在探究知識內在聯系的過程中，促進思維的生長，建構整體知識系統.

對于知識的生長點，心理學則認為促進知識生長的是一種叫“根知識”的事物，即知識的胚胎，它具有高生長性、高信息量、高附加值，它是影響新知獲取的一個最為關鍵的因素. 據此可見學生的已有認知結構中包含一些對新知學習起到積極促進作用的根知識，只有找準知識的生長點，激活已有知識，才能在系統規劃中完成知識結構的重建和知識的遷移，讓知識和能力自然生長. 下面，筆者基于自身的教學實踐，與大家分享細化而得的知識生長點，它們具有可操作性，以此來構建知識生長型課堂.

精心設疑，讓知識從憤徘中自然生長

無論哪一顆種子都擁有屬于自己的成長路線，數學知識的成長與發展也同樣如此. 傳統數學教學以傳輸式教學為主，忽視了學生的發現與探究，使得知識的生長過于模式化，使得學生的思維單一化. 新課改風向標下，應注重知識的發現與探究，數學教學只有從學生本身出發為學生創設適宜的情境，精心設疑，讓學生產生一種憤徘之感，產生讓知識自然生長的主觀意愿和沖動，才能有效地引導學生去發現、去探究，促進知識的自然生長[1].

案例1：以“兩條直線垂直”的教學為例

活動1：教師借助幾何畫板充分演繹兩條直線的垂直關系：“不斷轉動l 或l ，且無論如何轉動始終保持l ⊥l ”. 學生在觀察與對比的過程中，充分感知k ，k 的關系，并猜想和驗證自身的猜想.

活動2：教師出示以下三組直線：第一組：y=x+1與y=-x;第二組：y=2x-3與y=- x+1;第三組： + =1與2x-3y-1=0. 并要求學生分別畫出三組直線，同時觀察每組中兩條直線的位置關系.

活動3：根據上述活動，可得出什么結論？（學生經過觀察、猜想和歸納，得出l ⊥l ？圳k k =-1（k ，k 均存在）. ）

評析：活動1與活動2揭示了兩條直線垂直這種關系產生的背景與必要性，暗示了從這種關系延伸而得結論的意義與價值，激發學生發現、探究和學習的積極性，調動探究新知的內驅力，引起學生的憤徘，從而使得猜想和歸納自然生成，提升教學的有效性. 這樣簡潔而高效的設疑中，所設活動是上節課學習內容的延伸，牢牢把握新舊知識的切入點，思維價值較高，有效引發學生在鞏固舊知的基礎上習得新知，從而有較好的導入效果，為“知識生長型”課堂的生成奠定良好的基礎.

有效提問，讓知識從解惑中自然生長

知識只有在自主自發的情況下生長才是有效的，而被動接受或強加式都不是真正意義上的生長. 學生是學習者，真正的學習是出自學生本身，而不是教師的傳授，應讓學生主動地、自發地進行學習. 因此，“知識生長型”的課堂需要的是學生的自主學習. 為此，教師需要從學生的已有知識經驗出發有效設問，為新知的生長點充分服務，激活學生頭腦中的已有知識與經驗，使知識在釋疑解惑的過程中自然生長，促進學生思維的自然發展.

案例2：以“兩角和與差的余弦”的教學為例

教師針對這一內容學習中的重難點“公式的探究過程”設計有效問題，引領學生的思維.

問題1：如圖1，已知角α，β的終邊與單位圓的交點分別為A，B，試求出A，B的坐標;

問題2：試求出 與 的坐標;

問題3：試以坐標運算的表示來闡述 與 的數量積;

問題4：試用定義計算 與 的數量積;

問題5：試闡述 與 的夾角θ和角α，β的關系，并思考是否與角α，β的終邊位置相關;

問題6：若 與 的夾角為θ，試著說一說α，β和θ的關系.

評析：教師充分挖掘教材的教學價值，從學生的認知規律出發，設計層層深入且具有啟發性的問題串，關注到知識的生長點與延伸點，有序高效組織探究活動，讓學生在小組合作學習的過程中充分理解知識，在教師適時和適度的參與中引導學生經歷知識的形成、發展與應用，自然完成公式的推導. 這樣的問題串設計直奔主題，為學生的探究鋪設好臺階，讓學生知識的學習自然而高效，讓學生感受探究之樂、收獲之喜，生長數學思維.

合理變式，讓知識從理解中自然生長

當前高中生的學習現狀主要表現為：課業負擔重，且以機械重復的題海訓練為主，學習過程了無生趣. 實際上，一定數量的解題訓練可以促進智力的開發，可以達到知識與技能的遷移，可實現知識的自然生長. 那么如何操作才能使得解題訓練適度而高效呢？通過同中求變，采取合理變式的形式設計問題，讓學生多角度去觀察和思考問題，可鍛煉學生思維的變通性，促進知識的自然生長，進而構建知識生長型課堂.

案例3：已知實數x，y滿足x2+y2=25，試求出 的取值范圍.

在學生高效解析后，教師可以進行如下變式.

變式1：已知實數x，y滿足x2+y2=25，試求出點（x，y）到直線x+y=10距離的取值范圍.

變式2：已知實數x，y滿足x2+y2=25，試求出點（x，y）到（10，0）距離的取值范圍.

變式3：已知實數x，y滿足x2+y2=25，試求出z=6x-8y的取值范圍.

變式4：已知實數x，y滿足x2+y2=25，試求出 的取值范圍.

變式5：已知實數x，y滿足x2+y2=25，試求出 + 的最大值.

評析：通過多層次、多維度的例題變式設計，從斜率、距離、直線與圓的位置關系等角度著手，充分演繹了“圓上點的各種幾何意義”. 同時，整個變式題組中問題的難度螺旋上升，變式5作為難點，也正是由于有了前面多個變式的鋪墊，才實現了有效的突破. 這里，完整而合理的變式設計，面向不同層次的學生，有助于實現知識的生長，有利于鍛煉學生的思維能力.

充分反思，讓知識從歸納中自然生長

美國心理學家波斯納提出，教師的成長需要經驗與反思的融合，因此，反思是教師獲得實踐性經驗，生成教育智慧的有效途徑. 可見，反思可以生長智慧，反思可以促進成長. 事實上，對于學生而言，反思同樣重要. 因此在課堂中，教師必須給學生留有充分回顧和反思的時間與空間，讓學生回顧、歸納和反思，讓知識在歸納提煉中自然生長，促進學習力的自然生長[2].

案例4：以“等比數列前n項和公式”的教學為例

在得出等比數列的概念與通項公式之后，教師將關鍵性的公式進行板演，并給足學生思考與探究的時間，讓學生進行推導. 學生在一段時間的思考后，有了以下推導過程：S =a +a +…+a ，①

qS =a q+a q+…+anq，②

①-②，可得S = （q≠1）.

師：看來大家課前的預習工作做得十分充分，但②式是如何得出的？是如何想到運用兩式相減的方法呢？

生1：構造②式的目的是為了使得兩個等式中出現n-1個相同的項，此處等式兩邊都乘q具有一定的普遍性，而運用兩式相減則是為了消項.

生2：還可以這樣推導：

S =a +a +…+a

=a +a q+…+a q

=a +q（a +…+a ）

=a +q（S -a ）.

進一步解得：S = （q≠1）.

師：生2這種推導法中關鍵在于什么？

生3：其實與原推導法有異曲同工之妙，是構造出了一個新的等比數列，又將其化歸到原數列.

評析：學生的思路是在學生的頭腦中產生的，而教師需要的是為學生創造更多的機會. 在公式的推導中，抓住問題的關鍵處，給學生留有反思的時空，通過探索多種推導方法，不僅解決了問題還生長了智慧，更重要的是發展了思維. 只有在探究和學習的過程中時時反思，才能不斷提高理解能力，才能促進知識的自然生長，才能促使思維不斷發展.

總之，教師需要充分挖掘教學內容的教學價值，通過精心設疑、有效提問、合理變式和充分反思等途徑，建構數學知識之間的聯結，讓學生在知識生長型課堂中自主學習、享受課堂、生長能力.

參考文獻：

[1]? 馬華平. 核心問題引領，在深度學習中逼近數學本質[J]. 數學教學通訊，2019（16）.

[2]? 馮衛東. “自學·議論·引導”教學法的基本原理與操作要義[J]. 課程·教材·教法，2011（05）.