基于建構主義理論的高中數學建模教學案例設計

王亞軒 楊亞強 李星蓉

[摘? 要] 文章基于建構主義基本理論，以“飛越黃河”數學建模教學內容為例，通過引導學生經歷抽象模型并求解的過程，促進學生探究意識和創新精神的培養，在“做”數學中更好地落實數學建模素養.

[關鍵詞] 數學建模教學;建構主義理論;教學案例;高中數學

引言

數學建模是連接數學與現實世界之間的橋梁，是用數學知識和數學思想去解決現實問題的重要能力. 數學核心素養下的數學建模素養主要體現在：基于現實情境，抽象出數學模型，經歷“發現、提出、分析、解決問題”的過程，進而發展學生發現和提出問題、分析和解決問題的能力，并且使學生學會用數學的眼光去看，用數學的思維去想，用數學的語言去表達世界[1]. 隨著我國數學教育事業的發展，越來越重視能力的培養，而作為能力培養的重要支撐——數學建模，也就越來越受到重視. 近些年來，數學建模在高中課程中的地位日益凸顯，這就意味著作為教師在教學中需要改變傳統的教學方式，有目的、有層次地開展數學建模教學活動，讓學生積極主動地參與教學全過程，養成獨立思考、主動分析、主動建立數學模型解決實際問題的習慣，這些理念和方法與建構主義理論提出的學習者自己主動建構知識的理念是一脈相承的. 本文依據建構主義理論就如何更好地開展數學建模案例教學進行了研究與探索，在建構主義理論指導下通過構造有效的數學建模教學設計，形成典型案例，對教師進行數學建模案例教學具有重要的指導和示范作用.

建構主義理論與數學建模概述

建構主義學習觀認為，學習是積極地建構知識體系而不是被動地接受信息刺激. 選擇、加工和處理外部信息都是在已有經驗背景的基礎上進行的，也是學習者通過新舊知識之間反復、雙向的互動過程來建構的，其中外部信息本身是沒有價值的[2]. 在這一過程中，隨著新知識體驗的進入會使學習者的原始知識體系發生調整和改變，從而形成新的知識體系，這是一個內化的過程. 因此，教師在選擇教學內容準備教學活動的時候，要充分考慮學生已有的發展水平和認知結構，這樣有助學習效果的形成. 建構主義教學觀強調教師應該幫助學生從現有的知識經驗出發，在真實學習情境中，通過操作、對話、協作等方式進行意義建構. 建構主義認為，教學過程是學生主動建構知識的過程，而不是教師向學生直接傳遞知識的過程，所以學生是積極的意義建構者，而不是被動的信息接收者[3].

數學建模就是對現實問題進行數學抽象，用數學語言表達問題、用數學方法建構模型解決問題的素養. 數學建模的主要過程包括：在實際情境中從數學的視角發現問題、提出問題，分析問題、建立模型，確定參數、計算求解，檢驗結果、改進模型，最終解決實際問題[4]. 即運用數學的知識、思想、方法將實際生活中的問題轉化成數學問題，從而抽象出模型進行求解的過程. 因此它對于培養學生的抽象思維能力、動手操作能力非常重要. 特別是當數學建模進入高中課程，可以細化為改變教師單一的灌輸式教學方式，改變學生傳統的全盤接受式學習方式，開展以學生主動獲得知識為直接目的的數學建模活動. 因為數學建模探究活動比其他任何基礎數學課程都更強調學生對實際生活的經歷與體驗，所以通過數學建模活動的開展，為學生提供一個積極探索、主動學習、合作交流、選擇工具、收集數據、交流分享、檢驗反思的機會，以此來營造積極和諧的學習氛圍.

在建構主義理論指導下，數學建模的教學過程是按照創設情境，確定問題，進而在學生自主學習以及合作交流的情況下，抽象出模型并求解的步驟進行的，正好與建構主義理論的教學過程一一對應起來落到實處.

基于建構主義理論指導下數學建模教學案例設計

在建構主義理論的指導下，數學建模的教學模式更加具體和清晰，數學建模核心素養的教學模式將建構主義理論對應起來一一落實. 具體的對應關系如圖1所示. 本文將在建構主義理論的指導下，從創設情境、自主學習和效果評價三個方面涉及數學建模教學案例，指導日常數學建模內容的教學活動.

數學建模教學案例設計示例：

第一步，創設情境，確定問題. 這一步落實在數學建模教學中就是將實際問題轉化為數學問題，我們稱之為轉化，也是學生需要培養的最重要的一種能力.

實際問題：被譽為“飛車第一人”的朱朝輝，在1999年騎摩托車成功飛越母親河——黃河的壺口瀑布，如圖2所示. 他是中國騎摩托車飛越黃河的第一人. 那么如果還有其他摩托車騎手也想飛越黃河，我們需要為他做哪些數據的收集和測算呢？

師生互動：在飛越黃河的過程中需要考慮到哪些因素呢？“飛越黃河”在黃河所在具體位置的高度以及其他幾何方面的數據，可以通過實際測量，或者在互聯網上查找資料.

設計意圖：教師采用現實生活中的“飛越黃河”問題進行課題引入，拋出問題，進而展現照片，吸引學生的眼球，讓學生投入課堂，在貫徹了建構主義理論下的“情境”教學原則之下，充分考慮數學建模的要求. 所選情境并非簡單的創設，而是現實生活中的實際問題，在這一過程中最重要的就是“拋錨”，根據真實情境中確定的問題作為學生研究的中心，從而使得學生圍繞確定的問題進行探究與學習.

第二步，自主學習，合作交流. 這一步落實在數學建模教學中就是學生用獨立思考、合作交流的方式來完成數學建模的過程，在這一過程中培養學生的思考能力和合作能力.

（1）分組學習（每組6人，并確定每位成員的任務分工）.

（2）小組進行學習研討，找出影響成功飛越黃河最核心的因素.

學生活動：想要成功飛越黃河，就需要從不同的角度去分析不同的影響因素. 學生一：從成功與否的角度來看，就必須考慮摩托車的起跳速度，只有知道最低起跳速度的時候才可能會成功. 故設計合理的起跳速度是這個問題的目標與核心. 學生二：摩托車想要起跳騰空，就必須借助斜坡面加速起跳，因此，斜坡面的坡度，即摩托車在沿跑道飛出時，運動方向與水平方向的夾角，也是需要設計的. 學生三：如果從安全的角度來看，就需要考慮摩托車的減震情況，就是摩托車在飛越過程中，最高點和落地點的高度差. 學生四：起跳能否成功還會受到天氣的影響，以及還要考慮空氣阻力.

綜上所述，這個問題的核心是設計駕駛摩托車飛越黃河時的“起跳速度”，而設計起跳速度的核心是需要找到一個確定的函數來刻畫飛越黃河的運動過程，而且，一旦確定了函數，也就是建立了模型，我們就可以求出特定的函數值、極值，從而解決這個問題.

制定相應的模型，找出解決方案

合作探究：對于以上四點問題的考慮，發現已經涉及了物理中的運動問題，那么就要求我們通過回憶物理知識和物理公式，從而建立物理模型. 同樣，想要解答這個問題，我們可以通過簡化問題使題目變得易解. 如忽略空氣阻力，摩托車在與跑道分離后，就可以看成是在做斜拋運動，其軌跡是拋物線，我們可以把“斜拋運動”模型看成是水平和豎直方向上的兩個運動方程，從而就能得到相應的數值解.

設計意圖：教師在課堂上不斷鼓勵學生，讓學生進行小組合作探究，在“自主和交流”中完成對知識的理解與建構. 教師為學生營造了自由的學習環境，這是依據建構主義的教學原則設計的，同時也完全契合數學建模所提倡的觀點. 在此環節中，教師不是直接告訴學生如何解題，而是為學生提供一些相關的線索，指引學生通過挖掘線索，獲取信息，并與同伴分享結果，通過不同觀點的碰撞，形成全面完整的解題思路.

第三步，效果評價. 這一步落實在數學建模教學中是指學生經歷了建模過程，并對所建立的模型進行評價反思，進而優化模型（通過不斷迭代，從而得到最優模型），培養學生反思、探索和創新能力.

（1）首先通過查找資料，對影響飛越黃河的有關因素做出合理假設，進行符號設定.

（2）其次，根據前面的分析，將摩托車的運動看成是斜拋運動，在不計空氣阻力的影響下，建立斜拋運動數學模型并求解出摩托車運動的軌跡方程：

y=- x2+xtanα？搖

（3）再次，通過求出的軌跡方程，得到摩托車最高點與落地點：？搖？搖？搖？搖？搖？搖

y = ？搖

y =- l2+ltanα

（4）按照題目要求，只要 y -y ≤h？搖即可.

（5）模型驗證，根據實際分析和查找的數據計算可得，y =0.8334 m，y =-9.1650 m（負號表示與坐標系中y軸的方向相反），故y -y =0.8334-（-9.1650）=9.9984≤h，符合要求.

（6）模型評價與反思.

學生一：為了簡化題目，利于理解與建立模型，沒有考慮空氣阻力對摩托車運動軌跡的影響. 但是對于運動學來說，如果物體在空氣中運動時，那么它的運動速度越大，所受到的空氣阻力也就越大，所以如果實際中為了得到更精確的結果，對于速度很大的物體，不能忽視空氣阻力的影響. 故對于摩托車飛越黃河，如果能夠考慮到空氣阻力，會讓模型更加精確. 學生二：摩托車飛越黃河時，做的是斜拋運動，可以計算得到水平運動距離，如果考慮到空氣阻力，實際水平距離就小于計算的距離，因此只有將實際起跳速度增大一些，才能增大實際水平距離.

教師：如果我們考慮到空氣阻力的影響，很多資料中記載，空氣阻力是隨著物體運動速率變化而變化的，而且很多文獻將這種關系簡化為空氣阻力與物體運動速度的平方成正比例關系，如果基于這樣的關系，我們要建立哪種新的模型來求解，感興趣的同學可以自己去研究.

設計意圖：根據建構主義教學原則，教師始終落實拋錨式教學方式，引導學生抽象出模型，不斷鼓勵學生，讓學生進行小組合作探究，在“自主探索和交流”中完成模型的求解過程，引導學生發散思維，讓學生發現解決現實問題的方法. 在解答模型之后，再回到現實生活中去驗證是否符合實際情況，與建構主義不同的是，數學建模是一個閉合的過程，通過不斷地檢驗，得到最終符合實際情況的結果.

案例總結

本案例在建構主義拋錨式教學的具體環節中貫徹了數學建模的具體實踐過程，主要從創設情境、確定問題、自主學習、合作交流以及效果評價來落實. “飛越黃河”的數學建模教學活動從創設情境，分析問題，到設計研究方案，再到最終解決問題的過程中，都是以學生為主體，以解決實際生活中真實發生的事情為主線. 這個問題涉及的知識不止數學知識，還包括物理知識和物理模型，需要研究的變量和因素也比較多，可能學生在選擇有關變量和有用的因素時，會產生思維障礙，需要教師適時引導. 在數學建模教學活動的研究中，需要以建構主義為指導，幫助學生確定要研究的具體問題，厘清有關的變量，并進行符號設定，在最終建立模型后，可以利用數學知識和數學信息技術進行求解，再驗證實際情況下是否有意義，模型是否正確，以及建構主義理論指導教師從多角度評價學生進行數學建模活動的過程.

建構主義理論對數學建模教學的啟示與建議

數學建模是在建構主義理論的基礎上加以豐富和創新，使其更能體現出數學建模的魅力. 建構主義理論從創設情境到解決問題、效果評價都是圍繞已有的知識點展開的，為獲取知識而創設情境，而數學建模教學要選擇的是一個符合學生身心發展特點以及生活實際中真實存在的問題情境，只有這樣才能在建模的過程中將主動權交給學生，讓學生親身經歷、體驗抽象出模型并求解的過程，這樣也能確保學生的主體地位. 建構主義是按其教學順序依次進行的教學過程，而數學建模過程是一個系統的迭代過程，如果得到的最終結果與實際問題不符合，就需要對假設條件進行修改，進入下一個迭代過程，直到得到與實際相符合的結果，停止迭代. 而數學建模在建構主義的指導下形成了獨具特色的教學模式，是發展，也是創新，故數學建模在建構主義理論指導下應注意以下幾點：

1. 注重數學建模課題選擇

建構主義認為學生是發展中的人，其發展具有一定的規律性，所以教學內容的選擇應依據學生的認知發展規律，通過了解不同年齡階段學生的身心發展特點，從而選擇合適的教學內容. 而數學建模要求學生具有一定的知識儲備，但對于高中生來說，不管是數學基礎知識、基本能力，還是計算機使用能力都不是很高. 因此教師必須選擇適合高中生發展水平的數學建模課題，并且課題應該具有實用性與趣味性，不但要引起學生的興趣與好奇心，而且要源于實際生活且不夸張. 比如本文中選擇了“飛越黃河”這一案例，不僅能夠引起學生的好奇心與積極性，而且是現實生活中真實發生的事情. 最終解決這一問題所用的基礎知識與基本方法也是學生已經學習過的，包括所用到的物理知識——斜拋運動.

2. 轉變數學建模教學方式

新課標指出，教師是學生學習過程中的合作者、引導者與組織者. 以“教師的教”為主體的教學方式應該轉變成以“學生的學”為主體，被動學習應該變成積極主動的學習. 建構主義理論也強調學生主動、有意義地建構知識. 在數學建模的教學中，教師通過提供問題情境，為學生營造良好的學習氛圍，消除他們厭惡、畏懼數學建模的心理，逐步引起學生對數學建模的興趣，故在數學建模教學中教師應做好學生學習數學建模的引路人.

3. 形成數學建模多元評價體系

建構主義強調學生建構知識的過程性評價，包括如何尋找知識、重構知識，將新的知識順應到自己已有的認知結構中，以及在這一過程中獲得能力與思維品質等. 新課標中提出要建立完整、科學的評價體系，因此在數學建模教學中，可以形成一套過程性多元評價體系，貫穿在學生的整個建模過程. 數學建模過程中，有的學生對于上網查資料比較擅長，有的學生善于使用信息技術，有的學生善于撰寫論文，等等，都可以作為評價依據，使學生受到表揚后更加熱衷數學建模，并提高自己的數學建模素養.

參考文獻：

[1]? 中華人民共和國教育部制定. 普通高中數學課程標準（2017版）解讀[M]. 北京：人民教育出版社，2018.

[2]? 王琳. 基于建構主義的高中數學教學設計的研究[D]. 內蒙古師范大學碩士論文，2007.

[3]? 吳雪嬌. 基于建構主義的高中數學教學設計模式研究[D]. 信陽師范學院，2012.

[4]? 教育部基礎教育課程教材專家工作委員會. 普通高中數學課程標準（2017年版）[S]. 北京：北京師范大學出版社，2017.