在高中數學教學中培養學生的直覺思維的策略方法

沙志峰

[摘? 要] 對于學生而言，直覺思維是其數學思維中需要具備的重要思維方法之一，既能反映學生對數學問題的敏銳度，又決定解題的效率和思維的深度. 因此，研究者認為，在教學過程中教師要一以貫之地強調和滲透直覺思維，文章結合幾個具體例題介紹了培養直覺思維的策略.

[關鍵詞] 直覺思維;課堂教學;培養

錢學森教授曾這樣評價直覺思維：直覺就是一種無意識的信息加強活動，是根植于潛意識內的一種醞釀解決問題與顯性意識的溝通，這樣的溝通使得答案的獲取顯得突然，卻未曾意識到對應的具體進程. 這番話不僅是對數學直覺思維的完美詮釋，同時從中映射出直覺思維對數學學習的重要意義. 我們可以認為，直覺是有效溝通了數學知識和思維，從而迅速找尋到解題途徑的一種思維形式，因此，直覺思維的培養是大有益處的，身為一線的數學教師應當關注并一以貫之地加以培養. 下面，筆者就結合具體的課例，談談對直覺思維培養的觀點和思考.

牢固的“雙基”是產生直覺的前提

直覺的獲得并非僅僅是運氣和機遇，也不是自動產生的，更不是憑空臆想而成的，它的形成有賴于許多因素. 總體來說分為主觀與客觀兩個方面，學生的主觀因素和牢固的“雙基”對直覺思維的產生都有著重要的影響. 可以這樣說，扎實的知識技能和深厚的數學功底是迸射思維火花的重要因素. 因此，教師應讓學生自發自主地獲取知識，放手讓學生自主學習、自主探究、嘗試、質疑、猜想、討論、練習、歸納和反思，在重難點形成之處積極啟導，在概括規律時充分誘導，在解決疑難問題中有效疏導，保證雙基的落實，進而孕育直覺思維.

例1：已知sinα+sinβ= ①，cosα+cosβ= ②，據此可以得出哪些結論？

分析：本題的特色明顯，形式創新. 命題人從基本知識技能和學生的思維出發進行考量，從而巧妙編制出這樣一道考查雙基和直覺思維的試題. 想要創意性解決這一問題需要學生準確理解和熟練掌握三角基本知識，學生經過思考后易生成以下方法.

探究1：①2+②2，可得cos（α-β）= - . （余弦公式）

探究2：先①×②，再和差化積，可得sin（α+β）[cos（α-β）+1]= . 再溝通探究1，可得sin（α+β）= .

探究3：先①2-②2，再和差化積，可得2cos（α+β）[cos（α-β）+1]=- . 再溝通探究1，可得cos（α+β）=- .

探究4：先①÷②，再和差化積，進而約去公因式，可得tan = . 后利用萬能公式探求sin（α+β），cos（α+β）和tan（α+β）.

探究5：利用消參思想，先由sin2α+cos2α=1消去α，可得4sinβ+3cosβ= ;再消去β，可得4sinα+3cosα= .

探究6：①+②，再逆用兩角和的正弦公式，可得sinα+ +sinβ+ = ;①-②，再逆用兩角差的正弦公式，可得sinα- +sinβ- = .

探究7：①×3-②×4，可得3sinα-4cosα+3sinβ-4cosβ=0，sin（α-θ）+sin（β-θ）=0θ=arctan ，即2sin cos =0，所以α=2kπ+π+β（與條件不符，舍去）或α+β=2kπ+2θ（k∈Z），即可探求sin（α+β），cos（α+β）和tan（α+β）.

評析：對于學生而言，試題質量的高低意義深遠，不僅影響著解題的興趣，還關乎著思維火花的喚醒. 本題是一道創新問題，由于教師對有價值素材的精心選取，讓原本枯燥的數學問題變得充滿活力，不僅可以讓學生感受到三角問題的強大魅力，還可以通過充分的直覺思維去探索其中蘊含的各種數學魅力. 由于本題的開放性和創新性較為明顯，充分體現了對學生直覺思維的考查，這無疑遵循了對優質素材的選取.

注重直覺的誘導是產生直覺的基礎

“跟著感覺走”是不少教師的經典語錄，事實上，其中深層次地蘊含著直覺的孕育，而僅僅是未上升至思維的層面而已. 因此，教師應在課堂中“冠冕堂皇”地提出直覺思維，并關注到直覺的誘導，設計與之相應的活動，制定相應的活動策略，讓學生去摸索、去探究、去驗證、去反思. 同時，不可忽視對思維的合理之處給予及時的鼓勵，對學生的疑難之處及時因勢利導，就這樣，在尊重和愛護中扶植直覺思維，讓學生對自身的直覺產生成功的愉悅感.

例2：已知正四面體ABCD的棱長是1，且棱AB∥平面α，則該正四面體上的所有點在平面α內的射影構成的圖形面積的取值范圍是________.

分析：本題是一次模擬考試中的試題，由于考試的時間有限，嚴密邏輯推理下得出答案耗時巨大，且不易成功. 此時，倘若在長期的直覺思維誘導下，學生即可憑直覺進行如下思考：如圖1，直覺可以判斷出CD∥α時，射影面積最大;CD⊥α時，射影面積最小. 最終易得出取值范圍為 ， .

評析：為了學生在解題時能善用直覺思維，在平時的教學則需要積極誘導. 當然，在教學中不僅需要強調思維的跨越性，也不應忽視思維的嚴密性，即不僅要重視數學直覺，還要關注數學邏輯思維，從而在解題時能迅速直覺判斷，合理思維.

鼓勵大膽猜想是產生直覺的關鍵

直覺思維是基于人的已有經驗的，廣博的知識和創新意識是聯想和猜想的基石. 愛因斯坦也正是由于敢于質疑和大膽猜想的精神，打破了“時間的同一性”這被人們視為不可更改的真理，提出了意義深遠的相對論. 由此可見，大膽猜想可以發現前人沒有發現的問題，在創新中發展直覺思維. 因此，除去基礎知識的夯實之外，還需鼓勵學生大膽猜想，實現學習的創新和思維的創造.

例3：設m≤ （a，b，c，d∈R ），試求出m的最大值.

分析：仔細分析分式 的結構特征，一些學生易猜想出最值很大可能是在a=d，b=c時取得的，原因在于這兩對元素的地位相同，無論如何互換，結果都不會改變. 正是有了這樣的猜想，問題即可轉化為求 的最大值，進一步轉化為求 = 的最大值，最終以換元法或是導數法即可探求得出最大值 -1.

評析：本題的解題方法在近年來的最值問題中應屬于創新思維，學生正是有了堅實的基礎和勇于創新的精神，才能敢于猜想，形成解題思路. 這樣的解題過程不僅訓練了學生的數學直覺，還增加了學生的思維厚度，從而賦予了其更好的評價功能.

豐富的解題教學是產生直覺的保障

豐富的解題活動可以鍛煉和發展思維，這是毋庸置疑的. 教學中，教師不妨展開對數學問題的研究，讓解題活動更好地為學生思維的發展助力. 例如，選擇題由于只需要從4個備選答案中選擇正確答案，而不需要解題過程，顯然這里是允許有合理猜想的. 又如，開放性問題可以從各個角度提出猜想，自然利于直覺思維的開發. 因此，教師可以選擇適宜直覺思維的題型，力求將題目中的思維容量得以延續，同時在解題過程中明確提出直覺思維，制定與之對應的活動方法，這樣一來，則可以充分發揮其潛在的功能，培養和考查學生的直覺思維能力.

例4：已知實數a和b分別滿足a3-3a2+5a=1，b3-3b2+5b=5，則a+b的值是______.

分析：例4是一道探究問題，若以函數的思路為探究主線，則根本無法解決根的問題，而倘若仔細觀察兩個等式，即可發現它們有著相同的結構，再以構造函數為突破口，將已知等式轉化為（a-1）3+2（a-1）=-2，（b-1）3+2（b-1）=2，即可構造一個單調遞增函數f（x）=x3+2x. 因為f（a-1）=-2，f（b-1）=2，所以f（a-1）= -f（b-1）=f（1-b），所以a-1=1-b，a+b=2.

評析：每一類題型都有著其特定的特征和常規的解法，但教學中教師不僅要滲透一般解法，更重要的是去啟發和引導學生全面而富有個性地分析條件和問題中的關聯，探尋解題捷徑. 這樣，不僅有助于解題思路的擴展，還有助于直覺思維的啟發，同時有助于在高效的解題活動中達到思維的生長.

總之，直覺思維作為一種瞬間思維，是邏輯思維的凝結和躍進，而培養直覺思維是一門高深的教學藝術. 可見，這方面的教學技藝對于一線教師來說，體現了把握教學標準的能力和教學智慧. 因此，在教學過程中，教師要一以貫之地強調和滲透，引導學生打破思維定式，并避免思維的狹隘性，全面引導學生有效溝通邏輯思維和直覺思維，并進行高效的數學思考，進而培育學生的整體思維品質，促進直覺思維的超長性發揮.