核心素養視角下對2021高考卷剖析

摘 要：本文主要從2021年高考卷試題入手剖析，從核心素養視角洞察其中出題目的，剖析高考題本質原理，因此要注重素養導向、能力為重，夯實基礎，理解數學本質，構建完整的知識體系.

關鍵詞：核心素養;數學抽象;邏輯推理;數學建模;數學運算;直觀想象;數據分析

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2021）34-0070-04

收稿日期：2021-09-05

作者簡介：何正文（1988-），男，廣東省茂名人，本科，中學一級教師，從事高中數學教學研究.

2021新高考卷更注重考察學生核心素養的能力，落實立德樹人的總目標.本文對今年高考卷的試題進行分析，對試題考點和背景往往由于考察學生的良好數學思維而靈便方法，因此在對試卷進行分析后，筆者從數學抽象，邏輯推理，數學建模，數學運算，直觀想象，和數據分析六個方面進行了詳細剖析.

一、數學抽象

數學抽象是對具體問題進行抽象出數學數量與幾何圖形的問題，需要學生能夠將題目中的問題“翻譯”出數學中的數學問題.今年高考題注重傳統文化為背景，讓學生抽象出數學問題.

例1 （2021年新高考Ⅰ卷填空題第16題）某校學生在研究民間剪紙藝術時，發現剪紙時經常會沿紙的某條對稱軸把紙對折，規格為20dm×12dm的長方形紙，對折1次共可以得到10dm×12dm，20dm×6dm兩種規格的圖形，它們的面積之和S1=240dm2，對折2次共可以得到5dm×12dm，10dm×6dm，20dm×3dm三種規格的圖形，它們的面積之和S2=180dm2，以此類推，則對折4次共可以得到不同規格圖形的種數為

;如果對折n次，那么∑nk=1Sk=dm2.

詳解 （1）對折4次可得到如下規格：54dm×12dm，52dm×6dm，5dm×3dm，10dm×32dm，20dm×34dm，共5種;

（2）由題意可得S1=2×120，S2=3×60，S3=4×30，S4=5×15，…，Sn=120n+12n-1，設S=120×220+120×321+120×422+…+120n+12n-1，則12S=120×221+120×322+…+120n2n-1+120n+12n，兩式作差得12S=240+

12012+122+…+12n-1-120n+12n=240+601-12n-11-12-120n+12n=360-1202n-1-120n+12n=360-120n+32n，因此，S=720-240n+32n=720-15n+32n-4.

故答案為：5;720-15n+32n-4.

分析 本題以我國傳統文化剪紙藝術為背景，讓考生體驗從剪紙藝術抽象出數列的數學問題，在第一問，學生可以按對折列舉一般操作可以計算出來;第二問必須深層次抽象出數列問題了.數列抽象問題應注意以下四點：

（1）對于等差、等比數列，利用公式法可直接求解;

（2）對于anbn結構，其中an是等差數列，bn是等比數列，用錯位相減法求和;

（3）對于an+bn結構，利用分組求和法;

（4）對于1anan+1結構，其中an是等差數列，公差為dd≠0，則1anan+1=1d1an-1an+1，利用裂項相消法求和.

例2 （2021年全國高考乙卷理科選擇題第9題）魏晉時劉徽撰寫的《海島算經》是有關測量的數學著作，其中第一題是測海島的高.如圖1，點E，H，G在水平線AC上，DE和FG是兩個垂直于水平面且等高的測量標桿的高度，稱為“表高”，EG稱為“表距”，GC和EH都稱為“表目距”，GC與EH的差稱為“表目距的差”則海島的高AB=（）.

圖1

A. 表高×表距表目距的差+表高 B. 表高×表距表目距的差-表高

C. 表高×表距表目距的差+表距D. 表高×表距表目距的差-表距

詳解 如圖1所示，由平面相似可知，DEAB=EHAH，FGAB=CGAC，而DE=FG，所以DEAB=EHAH=CGAC=CG-EHAC-AH=CG-EHCH，而CH=CE-EH=CG-EH+EG，即AB=CG-EH+EGCG-EH×DE=EG×DECG-EH+DE=表高×表距表目距的差+表高.故選A.

分析 本題以魏晉時期我國數學家劉徽的著作《海島算經》中的測量方法為背景，讓考生體驗從古籍問題抽象出幾何的數學問題，再回到古籍答案，利用平面相似的有關知識以及合分比性質即可解出.

二、邏輯推理

數學邏輯推理能力考察學生清晰、有條理地表達自己的思考過程，對問題進行分析、歸納、推理.今年高考題重視在實際問題出發，引導學生推理，得到結論.發揮數學應用廣泛、聯系實際的學科特點.

例3 （2021年全國高考乙卷理科選擇題第6題）將5名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個項目進行培訓，每名志愿者只分配到1個項目，每個項目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（）.

A. 60種 B. 120種 C. 240種 D. 480種

詳解 根據題意，有一個項目中分配2名志愿者，其余各項目中分配1名志愿者，可以先從5名志愿者中任選2人，組成一個小組，有C25種選法;然后連同其余三人，看成四個元素，四個項目看成四個不同的位置，四個不同的元素在四個不同的位置的排列方法數有4！種，根據乘法原理，完成這件事，共有C25×4！=240種不同的分配方案，故選C.

分析 本題以北京冬奧會志愿者的培訓為試題背景，考查邏輯推理能力和運算求解能力.考查排列組合的應用問題，屬基礎題，關鍵是首先確定人數的分配情況，然后利用先選后排思想求解.先確定有一個項目中分配2名志愿者，其余各項目中分配1名志愿者，然后利用組合，排列，乘法原理求得.

例4 （2021年新高考1卷選擇題第8題）有6個相同的球，分別標有數字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機取兩次，每次取1個球，甲表示事件“第一次取出的球的數字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數字之和是7”，則（）.

A. 甲與丙相互獨立 B. 甲與丁相互獨立

C. 乙與丙相互獨立 D. 丙與丁相互獨立

詳解 P（甲）=16，P（乙）=16，P（丙）=536，P（丁）=636=16， P（甲丙）=0≠P（甲）P（丙），P（甲丁）=136=P（甲）P（丁），P（乙丙）=136≠P（乙）P（丙），P（丙丁）=0≠P（丁）P（丙），故選B.

分析 本題根據具體問題，從獨立事件概率關系逐一判斷，判斷事件A，B是否獨立，先計算對應概率，再判斷P（A）P（B）=P（AB）是否成立.

三、數學建模

數學知識可以以模型化的形式進行展示，模型化思維有利于知識系統化，當然數學本身就是一個模型，數學知識點就是數學建模的支點，因此建模思想是高考考察學生一個很重要的思想方法.

例5 （2021年新高考1卷選擇題第7題）若過點a，b可以作曲線y=ex的兩條切線，則（）.

A. eb

C. 0

詳解 在曲線y=ex上任取一點Pt，et，對函數y=ex求導得y′=ex，所以，曲線y=ex在點P處的切線方程為y-et=etx-t，即y=etx+1-tet，由題意可知，點a，b在直線y=etx+1-tet上，可得b=aet+1-tet=a+1-tet，令ft=a+1-tet，則f ′t=a-tet.

當t0，此時函數ft單調遞增，當t>a時，f ′t<0，此時函數ft單調遞減，所以，ftmax=fa=ea，由題意可知，直線y=b與曲線y=ft的圖象有兩個交點，則b0，當t>a+1時，ft<0，作出函數ft的圖象如圖2所示.

圖2

由圖可知，當0

分析 函數題往往其解題需要構建數學模型，函數題具有規律性和普遍意義的常規解題模式.根據幾何意義求得切線方程，再構造函數，利用圖像研究函數圖象，結合圖形確定結果.

四、數學運算

數學運算更加重視表達數學思維，是解題思路的最基礎的條件.高考題解決數學運算的問題給予學生更多選擇性，同時也注重學生和其他核心素養結合一起考察.

例6 （2021年全國卷甲卷解答題第18題）已知數列an的各項均為正數，記Sn為an的前n項和，從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立.

①數列an是等差數列;②數列Sn是等差數列;③a2=3a1.

注 若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分.

詳解 選①②作條件證明③：

設Sn=an+b（a>0），則Sn=an+b2，

當n=1時，a1=S1=a+b2;

當n≥2時，an=Sn-Sn-1=an+b2-an-a+b2=a2an-a+2b;

因為an也是等差數列，所以a+b2=a2a-a+2b，解得b=0;

所以an=a22n-1，所以a2=3a1.

選①③作條件證明②：

因為a2=3a1，an是等差數列，

所以公差d=a2-a1=2a1，

所以Sn=na1+nn-12d=n2a1，即Sn=a1n，

因為Sn+1-Sn=

a1n+1-a1n=a1，

所以Sn是等差數列.

選②③作條件證明①：

設Sn=an+b（a>0），則Sn=an+b2，

當n=1時，a1=S1=a+b2;

當n≥2時，an=Sn-Sn-1=an+b2-an-a+b2=a2an-a+2b;

因為a2=3a1，所以a3a+2b=3a+b2，解得b=0或b=-4a3;當b=0時，a1=a2，an=a22n-1，當n≥2時，an-an-1=2a2滿足等差數列的定義，此時an為等差數列;

當b=-4a3時，Sn=an+b=an-43a，S1=-a3<0不合題意，舍去.

綜上可知an為等差數列.

分析 試題給出部分已知條件，要求考生根據試題要求構建一個命題，給考生充分的選擇空間，充分考查學生對數學本質的理解，引導中學數學在數學概念與數學方法的教學中，從而考察學生的運算能力，求解的關鍵是牢牢抓住已知條件，結合相關公式，逐步推演，等差數列的證明通常采用定義法或者等差中項法.

選①②作條件證明③時，可設出Sn，結合an，Sn的關系求出an，利用an是等差數列可證a2=3a1;

選①③作條件證明②時，根據等差數列的求和公式表示出Sn，結合等差數列定義可證;

選②③作條件證明①時，設出Sn=an+b，結合an，Sn的關系求出an，根據a2=3a1可求b，然后可證an是等差數列.

五、直觀想象

直觀想象是指通過幾何直觀和空間想象，利用圖形解決問題.今天高考題在開放性和直觀性的基礎上在逐漸加大力度，這樣能夠更好的推動學生想象能力的培養.

例7 （2021年全國高考乙卷理科填空題第16題） 以圖①為正視圖，在圖②③④⑤中選兩個分別作為側視圖和俯視圖，組成某三棱錐的三視圖，則所選側視圖和俯視圖的編號依次為（寫出符合要求的一組答案即可）.

圖3

圖4

詳解 選擇側視圖為③，俯視圖為④，

如圖所示，長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，BB1=1，E，F分別為棱B1C1，BC的中點，則正視圖①，側視圖③，俯視圖④對應的幾何體為三棱錐E-ADF.

故答案為：③④.

分析 有多組正確答案，有多種解題方案可供選擇，考查了考生的空間想象能力，三視圖問題解決的關鍵之處是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關系和數量關系.

六、數據分析

數據分析是通過適當的統計分析方法對數據進行分析，考生提取有用信息和形成結論而對數據加以詳細研究和概括總結的過程.今年高考題從目前社會與經濟出發，使得考生更加關注國家建設.

例8 （2021年新高考1卷理科解答題第18題）某學校組織“一帶一路”知識競賽，有A，B兩類問題，每位參加比賽的同學先在兩類問題中選擇一類并從中隨機抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學比賽結束：若回答正確則從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學比賽結束.A類問題中的每個問題回答正確得20分，否則得0分：B類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得0分，己知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關.

（1）若小明先回答A類問題，記X為小明的累計得分，求X的分布列;

（2）為使累計得分的期望最大，小明應選擇先回答哪類問題？并說明理由.

解析

（1）由題可知，X的所有可能取值為0，20，100.

PX=0=1-0.8=0.2;

PX=20=0.81-0.6=0.32;

PX=100=0.8×0.6=0.48.

所以X的分布列為

X020100P0.20.320.48

（2）由（1）知，EX=0×0.2+20×0.32+100×0.48=54.4.

若小明先回答B問題，記Y為小明的累計得分，則Y的所有可能取值為0，80，100.

PY=0=1-0.6=0.4;

PY=80=0.61-0.8=0.12;

PX=100=0.8×0.6=0.48.

所以EY=0×0.4+80×0.12+100×0.48=57.6.

因為54.4<57.6，所以小明應選擇先回答B類問題.

分析 以“一帶一路”知識競賽為背景，考查了考生對概率統計基本知識的理解與應用.（1）通過題意分析出小明累計得分X的所有可能取值，逐一求概率列分布列即可.（2）與（1）類似，找出先回答B類問題的數學期望，比較兩個期望的大小即可.

例9 （2021年全國高考甲卷理科選擇題第2題）為了解某地農村經濟情況，對該地農戶家庭年收入進行抽樣調查，將農戶家庭年收入的調查數據整理得到如下頻率分布直方圖：

圖5

根據此頻率分布直方圖，下面結論中錯誤的是（）.

A.該地農戶家庭年收入低于4.5萬元的農戶比率估計為6%

B.該地農戶家庭年收入不低于10.5萬元的農戶比率估計為10%

C.估計該地農戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元

D.估計該地有一半以上的農戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間

詳解 因為頻率直方圖中的組距為1，所以各組的直方圖的高度等于頻率.樣本頻率直方圖中的頻率即可作為總體的相應比率的估計值.

該地農戶家庭年收入低于4.5萬元的農戶的比率估計值為0.02+0.04=0.06=6%，故A正確;

該地農戶家庭年收入不低于10.5萬元的農戶比率估計值為0.04+0.02×3=0.10=10%，故B正確;

該地農戶家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間的比例估計值為0.10+0.14+0.20×2=0.64=64%>50%，故D正確;

該地農戶家庭年收入的平均值的估計值為3×0.02+4×0.04+5×0.10+6×0.14+7×0.20+8×0.20+9×0.10+10×0.10+11×0.04+12×0.02+13×0.02+14×0.02=7.68（萬元），超過6.5萬元，故C錯誤.

綜上，給出結論中不正確的是C.故選C.

分析 本題考查利用樣本頻率直方圖估計總體頻率和平均值，屬基礎題，以我國在脫貧攻堅工作取得全面勝利和農村振興為背景，通過圖表給出了某地農戶家庭收入情況的抽樣調查結果，以此設計問題，考查考生分析問題和數據處理的能力.

參考文獻：

[1]何正文.對一道關于三角函數高考題的教學思考與延伸[J].數理化解題研究，2020（03）29-30.

[2]何正文.基于核心素養的多階數學思維的培養[J].中學數學雜志，2019（01）：14-16.

[責任編輯：李 璟]