一道聯考題的解法探究與縱、橫向拓展

摘 要：本文從學生角度出發，解決一個具體雙曲線定值問題，探索求解一類定值問題的方法并進行了升華歸納;通過變式拓展過渡到定點問題并歸納其解題思路;橫向延伸到橢圓定點定值問題并進行縱向探究，為教師解題和命題形成了一類問題模板.

關鍵詞：定點;定值;變式拓展;類比

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2021）34-0010-03

收稿日期：2021-09-05

作者簡介：張海泉（1976.7-），男，江蘇省泰州人，本科，中學高級教師，從事高中數學教學研究.

本文先對2021年泰州三市三區高二數學期末統考一道試題的解法作些探究，再將試題進行縱向、橫向推廣與延拓，形成一般問題的解題思路，以期達到舉一反三、觸類旁通的教學效果.

一、試題呈現

題目 已知A，B分別是雙曲線C：x2-y24=1的左、右頂點，直線l過右焦點F且與雙曲線交于C，D兩點，若直線AC與BD交于點P，求證：點P在定直線上.

二、解法探究

解析 設直線CD方程為x=my+5，C（x1，y1），D（x2，y2），聯立x=my+5，x2-y24=1， 得（4m2-1）y2-85my+16=0.

其中y1+y2=85m4m2-1，y1y2=164m2-1 .

設lAC：y=y1x1+1（x+1），①

lBD： y=y2x2-1（x-1），②

由①②，得x+1x-1=x1+1y1·y2x2-1=（my1+5+1）y2y1（my2+5-1）=my1y2+（5+1）y2my1y2+（5-1）y1

=my1y2+（5+1）（y1+y2）-（5+1）y1my1y2+（5-1）y1

=16m4m2-1+（5+1）85m4m2-1-（5+1）y116m4m2-1+（5-1）y1=-（5+1）（-4（5-1）m+85m4m2-1+y1）（5-1）（4（5+1）m4m2-1+y1）=-（5+1）（4（5+1）m4m2-1+y1）（5-1）（4（5+1）m4m2-1+y1）=-5+15-1.

再由x+1x-1=55 ，解得x=55.

故點 P 在定直線x=55 上.

三、解后反思

本題是一道圓錐曲線中的定值問題，題目設計入口較寬，學生容易想到聯立直線與雙曲線方程求出兩直線交點，轉化為非對稱的韋達定理形式求解.因題目設計的直線過焦點，所得交點P恰好在雙曲線的準線上.很好地展示了雙曲線的一個完美特殊性質.故學生易產生疑問：如果直線不過焦點是否也有類似的性質呢？

拓展1 已知A，B分別是雙曲線C：x2-y24=1的左、右頂點，直線l過點N（n，0）且與雙曲線交于C，D兩點，若直線AC與BD交于點P，問點P是否在某定直線上？

四、猜想探索

仿照上面解法，設直線CD的方程為x=my+

n，C（x1，y1），D（x2，y2），聯立4x2-y2=4，x=my+n， 得（4m2-1）y2+8mny-4=0 .

其中 y1+y2=8mn4m2-1，y1y2=4n2-44m2-1.

設lAC：y=y1x1+1（x+1），①

lBD： y=y2x2-1（x-1）， ②

由①②，得x-1x+1=y1x2-y1x1y2+y2=y1（my2+n）-y1（my1+n）y2+y2=my1y2+（n-1）y1my1y2+（n+1）（y1+y2）-（n+1）y1=m（4n2-4）4m2-1+（n-1）y1m（4n2-4）4m2-1-（n+1）8mn4m2-1-（n-1）y1 =m（4n2-4）4m2-1+（n-1）y1-4m（4n2-4）4m2-1-（n+1）y1=-n-1n+1.

再由x-1x+1=1-nn+1 ，解得x=1n. 故點 P 在定直線x=1n上.

解到這個結果，細心的同學發現：直線過焦點F（5，0）時，2點P在定直線x=15上，當直線過點N（n，0）時，點P在定直線x=1n上，不由得會猜想這兩者是否有倒數關系？

五、歸納模型

基于學生的這種發現，于是試著從一般形式探索：

拓展2 已知A，B分別是雙曲線C：x2a2-y2b2=1的左、右頂點，過點N（n，0）的直線l與雙曲線交于C，D兩點，直線AC與BD交于點P，試探究點P是否在某定直線x=1n上？

分析 設直線CD的方程為x=my+n ，C（x1，y1），D（x2，y2），

聯立x=my+n，x2a2-y2b2=1，得（b2m2-a2）y2+2mnb2y+b2n2-a2b2=0.

其中y1+y2=-2mnb2b2m2-a2，y1y2=b2（n2-a2）b2m2-a2.

lAC：y=y1x1+a（x+a） ，①

lBD： y=y2x2-a（x-a） ，②

由①②，得x+ax-a=my1y2+（n+a）y2myy2+（n-a）y1 =my1y2+（n+a）（y1+y2）-（n+a）y1myy2+（n-a）y1=mb2（n2-a2）b2（m2-a2）+-（n+a）2mnb2b2m2-a2-（n+a）y1mb2（n2-a2）b2（m2-a2）+（n-a）y1=mb2n2-mb2a2-2mn2b2-2mnab2b2m2-a2-（n+a）y1mb2（n2-a2）b2（m2-a2）+（n-a）y1=-（n+a）（（n+a）mb2b2m2-a2+y1）（n-a）（（n+a）mb2b2m2-a2+y1）=n+aa-n.

再由x+ax-a=a+na-n ，得x=a2n.

故點P在定直線x=a2n.這個結果既在意料之外、也在情理之中.

六、拓展延伸

為給學生一些更直觀的認識，筆者打開geogebra軟件演示了旋轉CD的過程中點P的變化情況，演示的過程中部分學

生發現：當點P在定直線x=a2n上移動時， MA，MB長度為定值，由kPA=tanα=PMMA，kPB=-tanβ=-PMMB，得出kPAkPB=-PM·MBMA·PM=-a-a2na2n+a=a-na+n 是定值.即kPA與kPB 有著線性關系，這樣從教師的命題角度來看，本題可以以點帶面擴大試題的教學功能，于是進一步將定點拓展為定值問題.

拓展3 已知A，B分別是雙曲線C：x2a2-y2b2=1的左、右頂點，過點N（n，0）的直線l與雙曲線交于C，D兩點，直線AC與BD交于點P，證明：kPAkPB是定值.

七、縱向探究

繼續使用geogebra拖動點P在直線上、下移動時，發現kPAkPB始終是定值，而C，D兩點隨著點P的移動而移動，那么點N是否會改變？于是進一步把定值問題過渡到定點問題.

拓展4 已知A，B分別是雙曲線C：x2a2-y2b2=1的左、右頂點，點P是x=a2n上一點，直線AP交雙曲線于C，PB交雙曲線于點D，試探索直線CD是否過定點.

分析 設直線AC方程為y=k1（x+a），BD的方程為y=k2（x+a），C（x1，y1），D（x2，y2），聯立y=k1（x+a），x2a2-y2b2=1， 得（b2-a2k21）x2-2a3k21x-a2（a2k21+b2）=0.

由xA·xC=-a2（a2k21+b2）b2-a2k21 ，

得xC=a（a2k21+b2）b2-a2k21 ，yC=k1（xC+a）=2ab2k1b2-a2k21.

所以C（a（a2k21+b2）b2-a2k21，2ab2k1b2-a2k21） .

同理可得D（-a（a2k22+b2）b2-a2k22，-2ab2k2b2-a2k22）.設N（n，0）.

則KDN=0--2ab2k2b2-a2k22n+a（a2k22+b2）b2-a2k22

=2ab2k2nb2-na2k22+a3k22+ab2，

kNC=2ab2k1b2-a2k21-0a（a2k21+b2）b2-a2k21-n=2ab2k1a3k21+ab2-nb2+na2k21

=2ab2·a-na+nk2a3k22（a-na+n）2+（a-n）b2+na2·（a-na+n）2·k22

=2ab2k2a3k22（a-na+n）+b2（n+a）+na2·a-na+nk

22 =2ab2k2（a+n）a2k22（a-n）（a+n）+b2（n+a）2

=2ab2k2a2k22（a-n）+b2（n+a） =KDN.

所以D，N，C三點共線，即CD直線過定點N（n，0）.

八、橫向探究

由于橢圓和雙曲線有統一定義，因此本題探究過程可以類比到橢圓中.通過本題可以擴展出橢圓中的一般結論.

拓展5 已知A，B分別是橢圓C：x2a2+y2b2=1的左、右頂點，過點N（n，0）的直線l與橢圓交于C，D兩點，直線AC與BD交于點P.

①過點N（n，0）的直線l與橢圓交于C，D兩點，直線AC與BD交于點P，則點P在定直線x=a2n上.

②過點N（n，0）的直線l與橢圓交于C，D兩點，直線AC與BD交于點P，則kPAkPB=a-na+n.

③在直線x=a2n任取一點P，PA，PB與橢圓交于C，D兩點，則直線CD過定點N（n，0）.

給學生一杯水，教師要有一桶水，一桶新鮮活水.講授一道題，教師不能向學生一樣僅僅滿足于會解題，還需要考慮如何高效解題，注重通式通法，拓展探究、挖掘試題的內涵和外延，找到試題的源頭、研究出一類題的解題規律，形成一種思維上的升華和命題模板，達到放得開，收得攏的自如境界.

參考文獻：

[1]殷向東，費存信.圓錐曲線中的定點與定值問題[J].中學數學月刊，2011（12）：43.

[責任編輯：李 璟]