多視角解析一道2021年三模壓軸題

摘 要：對于圓錐曲線類問題，大多數學生都有一定的解題思路，但由于對知識理解不深刻，導致方法選擇不當，從而運算不徹底，最終得不到正確答案.圓錐曲線中兩直線斜率的乘積、和、比值為定值反映了曲線的本質，抓住這個關鍵，可以突破難點.

關鍵詞：橢圓;斜率;定值

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2021）34-0080-03

收稿日期：2021-09-05

作者簡介：賀鳳梅（1979-），女，湖北省隨州人，本科，中學一級教師，從事中學數學教學研究.

一、題目呈現

題目 （2021年高三年級第三次診斷性測試 理科數學第20題）已知A，B分別為橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右頂點，過左焦點F（-2，0）的直線l與橢圓C交于P，Q兩點，當直線l與x軸垂直時，PQ=103.

（1）求橢圓C的標準方程;

（2）設直線AP，BQ的斜率分別為k1，k2，試問k1k2是否為常數. 若是，求出這個常數;若不是，說明理由.

二、總體分析

定點、定值是圓錐曲線中的常見問題，問題的呈現形式有：以兩直線斜率乘積、和、比值為定值引出的直線過定點;或已知直線過定點，能否得出兩直線斜率之積、和或比值為定值. 本文擬以直線過定點，兩直線斜率比值為定值進行多視角探究，旨在理清問題的本質，找到解決此類問題的行之有效的方法.

三、試題解答

第（1）問，易求得橢圓C的標準方程為x29+y25=1.

以下重點探討第（2）問.

視角1利用直線的普通方程求解.

解法1 設直線l的方程為x=my-2，代入x29+y25=1，整理得（5m2+9）y2-20my-25=0.

設P（x1，y1），Q（x2，y2），則y1+y2=20m5m2+9， ①

y1y2=-255m2+9. ②

由①②，得y1y2y1+y2=-54m，

即my1y2=-54（y1+y2）. ③

由題設及第（1）問可得A（-3，0），B（3，0），k1=kAP=y1x1+3，k2=kBQ=y2x2-3.

所以k1k2=y1x1+3·x2-3y2=y1[（my2-2）-3][（my1-2）+3]y2=my1y2-5y1my1y2+y2.

將③代入得k1k2=-54（y1+y2）-5y1-54（y1+y2）+y2=25y1+5y25y1+y2=5.

所以k1k2=5.

解法2設直線l的方程為y=m（x+2）（易知m≠0），代入x29+y25=1，整理，得 （9m2+5）x2+36m2x+36m2-45=0.

設P（x1，y1），Q（x2，y2），則x1+x2=-36m29m2+5， ④

x1x2=36m2-459m2+5. ⑤

由解法1，k1=kAP=y1x1+3，k2=kBQ=y2x2-3.

所以k1k2=y1x1+3·x2-3y2=m（x1+2）（x2-3）（x1+3）·m（x2+2）=x1x2+2x2-3x1-6x1x2+3x2+2x1+6=x1x2-3（x1+x2）+5x2-6x1x2+2（x1+x2）+x2+6，

將④⑤代入，化簡整理，得

k1k2=5[18m2-15+（9m2+5）x2]18m2-15+（9m2+5）x2=5.

所以k1k2=5.

評注 以上兩種解題方法均采用直線的普通方程求解，但屬于兩根不對稱的情形，也就是x1，x2或y1，y2不輪換對稱，從而不能直接利用韋達定理的結果整體代入化簡. 此時，需要根據式子的特點尋找兩根之和與積的關系，比如解法1;第二種方法就是變換后消元，其中k1k2由x1，x2和k三個變量構成，其中x1，x2是不對稱量，可將式子k1k2適當變形后，再部分利用韋達定理，改變原來的非對稱量，從而得到分式上下相同的結構，達到化簡的目的.

視角2 圓錐曲線齊次化，借助橢圓的第三定義求解.

解法3 由橢圓的第三定義知kQA·kQB=-b2a2=-59，以點A為基準，設直線PQ方程為 m（x+3）+ny=1，則kPA=y1x1+3，kQA=y2x2+3.

令x+3=p，y=q，將直線齊次化為mp+nq=1，代入x29+y25=1中，整理，得 9q2-30p（mp+nq）+5q2=0.

又直線m（x+3）+ny=1過點F（-2，0），所以m=1.

即9q2-30npq-25p2=0，于是9（qp）2-30n·qp-25=0.

所以kPA·kQA=-259.

聯立kQA·kQB=-59，kPA·kQA=-259，，得kPAkQB=5，即k1k2=5.

解法4 由橢圓的第三定義知kPA·kPB=-b2a2=-59，以點B為基準，設PQ所在直線方程為 m（x-3）+ny=1，則kPA=y1x1-3，kQA=y2x2-3.

令x-3=p，y=q，將直線齊次化為mp+nq=1，代入x29+y25=1中，整理，得9q2+30p（mp+nq）+5q2=0，又m（x-3）+ny=1過點F（-2，0），所以m=-15.

即9q2+30npq-p2=0，于是9（qp）2+30n·qp-1=0，所以kPA·kQA=-19.

由kPA·kPB=-59，kPB·kQB=-19，得kPAkQB=5，即k1k2=5.

解法5 由橢圓的第三定義知kQA·kQB=-b2a2=-59，將橢圓向右平移3個單位，得（x-3）29+y25=1，整理，得 9y2-30x+5x2=0.⑥

此時，直線方程設為mp+nq=1.⑦

直線過點（1，0），所以m=1.

將⑦代入⑥，得9y2-30nxy-25x2=0，

即9（yx）2+30n·yx-25=0，kPA·kQA=-259，

同樣求得k1k2=5.

評注 以上三種解法的本質是圓錐曲線的齊次化，其中一種策略是平移圓錐曲線，比如以上的解法5，不過學生對這種方法有些陌生.筆者將方法稍微改變一下，步驟為：

（1）設直線方程為m（x-x0）+n（y-y0）=1;

（2）聯立齊次化，把y-y0x-x0當作整體;

（3）借助韋達定理得出k1+k2或k1k2，進而求解k1k2;

（4）得出結論：比如以上的解法3和解法4.當然還需要借助橢圓的第三定義聯合求解.

視角3借助韋達定理求解.

由x2a2+y2b2=1，Ax+By+C=0，得x1+x2=-2a2ACa2A2+b2B2，x1·x2=a2（C2-b2B2）a2A2+b2B2，y1+y2=-2a2BCa2A2+b2B2，y1·y2=a2（C2-a2A2）a2A2+b2B2.

解法6 結合韋達定理y1·y2=a2（C2-a2A2）a2A2+b2B2=9（4-9）9+5m2=-459+5m2，y1+y2=-2a2BCa2A2+b2B2=-2×9×（-m）×29+5m2=-36m9+5m2，所以y2=-36m9+5m2-y1.

由解法1知k1k2=y1x1+3·x2-3y2=y1[（my2-2）-3][（my1-2）+3]y2=my1y2-5y1my1y2+y2=-45m9+5m2-5y1-45m9+5m2+36m9+5m2-y1，即k1k2=5.

評注 圓錐曲線結合韋達定理，求解的方法又稱圓錐曲線的公式聯立，其實是一套求解橢圓（或雙曲線）與直線相交時，聯立方程求判別式、韋達定理與相交弦等問題的公式，平時并不多見. 針對學有余力的學生，教師可以適當介紹，開闊學生的視野，提高學生的思維能力.

四、解后反思

《普通高中數學課程標準（2017）》指出，高中數學的六大素養為數據分析、邏輯推理、數學抽象、數學建模、直觀想象、數學運算.高中數學的學習急需提高學生的綜合能力.在數學學習的過程中，教師要鼓勵和引導學生在學習的過程中勤思考、多動腦，在對兩直線斜率比值、乘積以及和為定值的問題探究過程中，培養學生數學運算、邏輯推理、直觀想象的核心素養.教師可以根據核心素養所提出的相關理論進行教學方式、教學目的的調整，使學生能夠得到更全面的發展，將立德樹人的根本任務落到實處.

“一題多解”既可以豐富教學內容，也可以讓枯燥的數學課堂變得活潑生動，充分調動學生的積極性，讓每個學生都自覺地投入到課堂中來，不僅可以使學生集中注意力，還可以使學生的思維越來越縝密，考慮越來越周全.應用“多題一解”的教學，可以鍛煉學生歸納總結的能力，使得學生“做一題，會一類”.“多題一解”的數學教學方式，不僅能提高學生學習數學的能力，還能映射生活的哲理，對于學生生存能力的提高也有效果.

參考文獻：

[1]羅增儒.從數學知識的傳授到數學素養的生成[J].中學數學教學參考，2016（19）：2-7.

[2]錢萬毅.“一題多解”與“多題一解”在高中數學教學中的價值研究與實踐[J].中學課程輔導（教師教育），2017（02）：57.

[責任編輯：李 璟]