一道橢圓方程題的求解思考

摘 要：橢圓經常出現在歷年高考數學試卷的選擇題或填空題中，借助橢圓的相關知識與其他知識加以交匯融合，破解時可以從平面解析幾何自身角度出發，也可以借助平面向量、解三角形等相關工具，合理引領并指導數學教學與解題研究.

關鍵詞：橢圓;平面向量;解三角形;焦半徑;方程

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2021）34-0002-02

收稿日期：2021-09-05

作者簡介：曹曉琰（1981.8-），女，江蘇省南通人，碩士，中學一級教師，從事高中數學教學研究.

一、問題呈現

問題 在橢圓C：

x2a2+y2b2=1（a>b>0）中，F1，F2為橢圓C的左、右焦點，

圖1

且焦距為23，O為坐標原點，點P為橢圓C上一點，|OP|=24a，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等比數列，則橢圓C的標準方程為.

二、問題分析

要求解橢圓C的標準方程，就是確定參數a，b，c的值，而根據題目條件，可以建立起已知的關系式c=3，a2=b2+c2，那么只需要再找到一個關于參數a，b，c的關系式即可達到破解的目的.而根據題目中的條件，還可以得到相關的信息：|OP|=24a，|PF1|·|PF2|=|F1F2|2=12，|PF1|+|PF2|=2a，如何整合這三個相關信息而轉化為一個關于參數a，b，c的關系式，從而得以巧妙轉化與破解.這就需要我們從已知條件入手，運用不同的數學知識，從不同的破解方向入手，通過知識間的靈活遷移，加以巧妙變形，靈活運用，整體代入.

三、破解方向

解法1 （平面向量的線性運算法）

由題可知PO為線段F1F2的中線，則有

PF1+PF2=2PO，

上式兩邊平方，可得|PF1|2+|PF2|2+2PF1·PF2=4PO2=12a2，

則有|PF1|2+|PF2|2+2|PF1||PF2|cos∠F1PF2=12a2，

而結合余弦定理可得cos∠F1PF2=

|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|22|PF1|·|PF2|，

代入上式有|PF1|2+|PF2|2+（|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2）=12a2，

整理可得2（|PF1|2+|PF2|2）-|F1F2|2=

12a2，由題知c=3，則有|F1F2|2=4c2=12.

又結合|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等比數列，可得|PF1|·|PF2|=|F1F2|2=12，

利用橢圓的定義有|PF1|+|PF2|=2a，

可得|PF1|2+|PF2|2=（|PF1|+|PF2|）2-2|PF1|·|PF2|=4a2-24，

則有2（4a2-24）-12=12a2，解得a2=8，則b2=a2-c2=5，所以橢圓C的標準方程為x28+y25=1.

解法2 （平面向量的極化恒等式法）

由題知c=3，又由題可知PO為線段F1F2的中線，結合平面向量的極化恒等式可得4PF1·PF2=（PF1+PF2）2-（PF1-PF2）2，

整理，得PF1·PF2=

PO2-OF21=18a2-c2=18a2-3.

結合余弦定理，得cos∠F1PF2=|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|22|PF1|·|PF2|，那么

PF1·PF2=

|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2=12（|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2）=18a2-3.

又由于|F1F2|2=4c2=12，又結合|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等比數列，可得|PF1|·|PF2|=|F1F2|2=12，利用橢圓的定義有|PF1|+|PF2|=2a，

可得|PF1|2+|PF2|2=（|PF1|+|PF2|）2-2|PF1||PF2|=4a2-24，

則有12（4a2-24-12）=18a2-3，解得a2=8，則b2=a2-c2=5，

所以橢圓C的標準方程為x28+y25=1.

點評 根據條件可知PO為線段F1F2的中線，而與中線密切聯系的就是平面向量知識，借助平面向量的線性運算、數量積等，就可以非常有效地構建起與中線有關的關系式，從而得以巧妙破解.

解法3 （同角的余弦值相等法）

由題知c=3，|F1F2|2=4c2=12.在△PF1F2中，結合余弦定理，得cos∠PF1F2=|PF1|2+|F1F2|2-|PF2|22|PF1|·|F1F2|，

在△PF1O中，結合余弦定理可得cos∠PF1O=

|PF1|2+|F1O|2-|PO|22|PF1|·|F1O|，

根據同角的余弦值相等，可得

|PF1|2+|F1F2|2-|PF2|22|PF1|·|F1O|=

|PF1|2+|F1O|2-|PO|22|PF1|·|F1O|，整理，得|PF1|2+|PF2|2=

14a2+6.

又結合|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等比數列，可得|PF1|·|PF2|=|F1F2|2=12，

利用橢圓的定義有|PF1|+|PF2|=2a，

可得|PF1|2+|PF2|2=（|PF1|+|PF2|）2-

2|PF1|·|PF2|=4a2-24，

則有4a2-24=14a2+6，解得a2=8，則b2=a2-c2=5，所以橢圓C的標準方程為x28+y25=1.

解法4 （互補角的余弦值互為相反數法）

由題知c=3，|F1F2|2=4c2=12.

在△POF1中，結合余弦定理，得cos∠POF1=

|PO|2+|OF1|2-|PF1|22|PO|·|OF1|，

在△POF2中，結合余弦定理可得cos∠POF2=

|PO|2+|OF2|2-|PF2|22|PO|·|OF2|，

根據互補角的余弦值互為相反數，可得

|PO|2+|OF1|2-|PF1|22|PO|·|OF1|+|PO|2+|OF2|2-|PF2|22|PO|·|OF2|=0，

整理，得|PF1|2+|PF2|2=14a2+6.又結合|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等比數列，可得|PF1|·|PF2|=|F1F2|2=12，

利用橢圓的定義有|PF1|+|PF2|=2a，

可得|PF1|2+|PF2|2=（|PF1|+|PF2|）2-2|PF1|·|PF2|=4a2-24，

則4a2-24=14a2+6，解得a2=8，則b2=a2-c2=5，

所以橢圓C的標準方程為x28+y25=1.

點評 根據條件可知PO為線段F1F2的中線，把問題放在△PF1F2中來處理，其實質就是解三角形問題，借助三角形的性質，通過三邊以及中線PO的條件，可以利用在兩個不同三角形中同角的余弦值相等，或是兩個不同三角形中互補角的余弦值互為相反數來建立有關的關系式，從而得以巧妙破解.

解法5 （焦半徑公式法）

圖2

如圖2所示，過點P作PH⊥x軸交x軸于點H，設P（x0，y0），在△PHO中，|PH|2+|OH|2=|OP|2，即x20+y20=18a2.①

由題知c=3，|F1F2|2=4c2=12.

又結合|PF1|，|F1F2|，|PF2|.成等比數列，可得|PF1|·|PF2|=|F1F2|2=12，根據焦半徑公式可得（a+ex0）·（a-ex0）=12，即a2-e2x20=12，亦即a2-3a2x20=12.②

而點P在橢圓C上，可得

x20a2+y20a2-3=1.③

由①②③，解得a2=8，則b2=a2-c2=5，

所以橢圓C的標準方程為

x28+y25=1.

點評 根據條件可知PO為線段F1F2的中線，又由

|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等比數列，可得|PF1|·|PF2|=|F1F2|2=12，涉及|PF1|與|PF2|的長度問題，可以考慮利用橢圓的幾何性質，結合焦半徑公式（|PF1|=a+ex0，|PF2|=a-ex0）加以轉化，再結合題目相關條件建立有關的關系式，從而得以巧妙破解.

其實，在實際求解橢圓的標準方程中，一定要充分抓住橢圓的幾何性質，根據具體情況選取比較合適的求解方法加以處理，有時也結合橢圓的幾何性質、平面幾何性質、平面向量、三角函數、解三角形、直線與圓等相關知識加以融合與交匯，利用相交知識的轉化與應用來綜合處理相應的方程問題.

參考文獻：[1]李雪航.淺析橢圓方程的多種解法[J].數理化解題研究，2017（13）：50.

[責任編輯：李 璟]