由兩道例題引出拋物線焦點弦的一系列相關性質

任紅玉 程國忠

【摘要】本文結合課本例題的求解，通過一系列的深入思考，幫助學生更好地理解拋物線焦點弦的相關性質，更好地培養學生的數學核心素養.

【關鍵詞】 例題;拋物線;焦點弦;數形結合;核心素養

課本中例題教學的目的絕不僅僅是教會學生例題本身的解答，而是要通過挖掘例題中豐富的內涵以及對例題的再創造，引發學生思考，培養學生的邏輯推理能力.教師引導學生在思考過程中，通過數形結合的思想方法建立數與形的聯系，借助幾何直觀把復雜的數學問題簡明化、形象化，培養學生的直觀想象能力，與學生一起發現和總結性質，讓學生了解到性質的來龍去脈，更好地培養學生的數學核心素養.

例1 （人教版高中數學選修2-1P69例題的一般形式）斜率為k的直線l經過拋物線y2=2px的焦點F，且與拋物線相交于A，B兩點，求線段AB的長.

解析 方法一：求出直線l的方程后與拋物線的方程聯立，求出A，B兩點的坐標，利用兩點間的距離公式可以求出|AB|.

方法二：如圖1，設A（x1，y1），B（x2，y2），過A作AA′⊥準線于A′，過B作BB′⊥準線于B′.由拋物線的第二定義得：AF=AA′=x1+p2.同理BF=BB′=x2+p2.于是得：|AB|=AF+BF=x1+x2+p.

思考1 在方法一中若將直線l的斜率用tan θ來表示（θ是直線的傾斜角），則

當θ≠π2時，設直線l的方程為x=ycot θ+p2，由x=ycot θ+p2，y2=2px 得y2-2pycot θ-p2=0，由韋達定理得：y1+y2=2pcot θ，y1·y2=-p2，故|AB|= 1+cot2θy1-y2=2psin 2θ，且S△AOB=12OFy1-y2=p22sin θ，于是有：

性質1 x1x2=p24，y1y2=-p2.

性質2 |AB|=2psin 2θ.

性質3 S△AOB=p22sin θ.

思考2 因為AF=x1+p2，所以以AF為直徑的圓的圓心坐標為AF的中點，其坐標為x12+p4，y12，所以圓心到y軸的距離為x12+p4=12AF，得出性質4.

性質4 以焦半徑AF為直徑的圓與y軸相切，以焦半徑BF為直徑的圓與y軸相切.

思考3 過F作FZ⊥AA′于Z（如圖1），有|AZ|=|AF|cos θ，即 AF=AZ+A′Z=AFcos θ+p，得AF=p1-cos θ，同理得BF=p1+cos θ.

性質5 AF=p1-cos θ，BF=p1+cos θ.

思考4 若焦比AFBF=1+cos θ1-cos θ=γ，則cos θ=γ-1γ+1，故sin θ=2γγ+1，tan θ=k=2γγ-1，所以有|AB|=2psin 2θ=p2γ+1γ2，S△AOB=p22sin θ=p24γ+1γ.于是得出性質6.

性質6 若AFBF=γ（γ>1），則：

①k=2γγ-1;

②|AB|=p2γ+1γ2;

③S△AOB=p24γ+1γ.

例2 （人教版高中數學選修2-1P70）過拋物線焦點F的直線交拋物線于A，B兩點，通過點A和拋物線頂點的直線交拋物線的準線于點D，求證：直線DB平行于拋物線的對稱軸.

解析 以拋物線y2=2px為例，求出點D的縱坐標為yD=-p2y1=yB，即得證.（點D與點B′重合，如圖2）

性質7 A，O，B′三點共線，B，O，A′三點共線.

思考5 因為kOA=2py1，kOB=2py2，所以kOA·kOB=2py1·2py2=4p2y1y2=4p2-p2=-4，得出性質8.

性質8 kOA·kOB=-4.

思考6 連接A′F，B′F.因為A′-p2，y1，B′-p2，y2，所以A′F=（p，-y1），B′F=（p，-y2），即A′F·B′F=p2+y1y2=0，則A′F⊥B′F，從而可得出性質9.

性質9 以A′B′為直徑的圓與AB相切于點F.

【變式】過拋物線焦點F的直線交拋物線于A，B兩點，M為線段AB的中點，分別過A，B兩點作拋物線的切線，兩切線的交點為M′，如圖3，則直線MM′∥x軸.

解析 同樣以拋物線y2=2px為例，易知直線AM′：y1y=px+y212，直線BM′：y2y=px+y222，兩直線聯立得M′點坐標為-p2，y1+y22，因為M點的縱坐標也為y1+y22，所以MM′∥x軸.（如圖3）

思考7 因為M′的橫坐標為-p2，所以點M′在拋物線的準線上，得出性質10.

性質10 過拋物線上兩點A，B作拋物線的切線相交于M′，若M′在準線上，則直線AB必過拋物線的焦點F.（反之，過拋物線上兩點A，B作拋物線的切線相交于M′，若直線AB過拋物線的焦點F，則M′在拋物線的準線上）

思考8 因為M′的縱坐標為y1+y22，所以點M′是線段A′B′的中點，即MM′是梯形AA′B′B的中位線，如圖3，則MM′=AA′+|BB′|2=AF+|BF|2=|AB|2，得出性質11.

性質11 以AB為直徑的圓與拋物線的準線相切，且切點為M′.

思考9 以AB為直徑的圓的直徑AB所對的圓周角為90°，則∠AM′B=90°，即AM′⊥BM′.

性質12 過拋物線焦點弦兩端點A，B的兩切線垂直.

思考10 連接M′F，FM′=-p，y1+y22，AB=y222p-y212p，y2-y1=y2+y1y2-y12p，y2-y1，則有FM′·AB=0，即M′F⊥AB，得出性質13.

性質13 以AM′為直徑的圓必過焦點F，以BM′為直徑的圓必過焦點F.

思考11 連接A′F，B′F，kAM′=p（y1-y2）p2+y21=py1，kA′F=-y1p，則kAM′·kA′F=-1，同理kBM′·kB′F=-1，即AM′⊥A′F，BM′⊥B′F，得出性質14.

性質14 A，F，M′，A′四點共圓，B，F，M′，B′四點共圓.

思考12 直線AM′的方程為y=py1x+y12，且直線A′F的方程為y=-y1px+y12，即AM′與A′F的交點R的坐標為0，y12;同理，BM′與B′F的交點S的坐標為0，y22.得出性質15.

性質15 AM′，y軸，A′F三線共點于R，且R平分A′F和OA″A″是AA′與y軸的交點）.BM′，y軸，B′F三線共點于S，且S平分B′F和OB″B″是BB′與y軸的交點）.

思考13 因為kAM′=py1，kB′F=-y2p=py1，所以 AM′∥B′F，即M′R∥SF，同理M′S∥RF，則四邊形M′SFR是平行四邊形，又AM′⊥A′F，所以四邊形M′SFR是矩形.

性質16 AM′∥B′F、BM′∥A′F，且四邊形M′SFR是矩形.