作圖有序，求解有理

陶然

【摘要】本文以一道中考題為例，在幾何解題教學中嘗試讓學生自己畫出解題所需要的圖形，學生在重新構圖的過程中理解條件與結論的內在邏輯關系，利用構圖的先后順序找到推理的因果關系，作圖與推理同步進行，不同的作圖順序對應不同的解題思路.在這個過程中發展學生的邏輯推理和直觀想象兩個數學核心素養.

【關鍵詞】初中數學;幾何解題教學;圖形作用

對于中考的較難題，南京市教研室提倡“一題一課”，即在初三的二輪復習中，用一節課的時間來解決一道題.本文則是作者以2018年南京中考第26題為例設計的一節復習課.主要探討了在幾何證明中，利用圖形重構的方法（學生自己依據題目條件重新畫圖）探索幾何證明題的解題思路.

【教學設計】

一、呈現題目

圖1如圖1，在正方形ABCD中，E是AB上一點，連接DE.過點A作AF⊥DE，垂足為F.⊙O經過點C，D，F，與AD相交于點G.

（1）求證△AFG∽△DFC;

（2）若正方形ABCD的邊長為4，AE=1，求⊙O的半徑.

二、圖形的重構

問題1：你能否準確地畫出該圖形？

追問1：你畫圖的順序是什么？（先畫什么，再畫什么）

設計意圖：學生經過獨立的思考，能夠畫出下圖（圖2），即先畫出正方形ABCD，確定點E的位置，連接DE，過A作AF⊥ DE于F，從而確定點F的位置，連接CF.

追問2：如何確定圓心O的位置？

設計意圖：學生很容易回答出⊙O過C，D，F三點，是△CDF的外接圓，要確定圓心O的位置，在線段CD，DF，FC中任選兩條作垂直平分線的交點即可（圖3）.

圖2 圖3 圖4

追問3：（如圖4）點G是如何確定的？

設計意圖：G是⊙O與AD的交點，是由⊙O所確定的，這樣，△AFG的形狀也取決于⊙O，這個問題能引導學生在思考△AFG∽△DFC時，考慮⊙O帶來的相關條件.

分析與解：從圖形上看，∠FAG與∠FDC均為從直角中“減掉”一個小角，故考慮證明它們相等.∠FCD是⊙O的圓周角，而∠AGF是⊙O的圓周角∠FGD的補角，應建立它們之間的聯系.我們知道，兩組角相等可證相似，從而解決這個問題.

解題反思：在解決第（1）小題的時候，從構圖上看，我們先構造出正方形，接著確定點E，F的位置，然后過C，D，F確定⊙O，最后確定點G.從證明的思路上看，我們在求證△AFG∽△DFC的過程中，一定會用到⊙O，因為點G是⊙O與AD的交點，從構圖的順序來看，⊙O的構造是先于點G的，即⊙O是因、點G是果.你作圖的順序同時也是你解題的順序，構圖序即解題序！

問題2：如果AB=4，AE=1，你畫出的圖形是否唯一確定？

追問1：把圖中你能計算的所有線段的長度寫下來.

追問2：⊙O的半徑在圖中可以是哪一條線段的長？

設計意圖：通過依次對正方形ABCD，點E，F，⊙O與點G的構圖（如圖5），學生能感受到圖中各點的位置都是確定的，從而圖中所有的幾何元素（線段、角）都是確定的，再由追問，明確這些元素的計算方法，自然地把求⊙O的半徑轉化為求圖中線段OD（或OF，OC）的長度.

圖6追問3：連接OD，你準備如何求OD的長度？

分析與解：由于在構圖的過程中我們采用了作線段中垂線的方法得到圓心O，那么要求圓的半徑則可以作如下輔助線（圖6），連接OD，過O作OI⊥CD于I，作OK⊥DE于K，OK分別交AD，BC于J，L.求⊙O的半徑，即求OD的長，進而轉化為求KD和KO的長，DK=1[]2DF，KO=JO-KJ=1[]2JL-1[]2AF=1[]2DE-1[]2AF，而DE，DF，AF都可以輕松得到.

三、回顧、歸納與反思

在學生寫完了整個題目之后，我又提出了這樣一個問題：

在求解的過程中，你求出了很多條線段的長度，按求出它們的先后順序把這些線段寫下來，然后和你畫圖的順序比較，你有什么發現？

我們能發現，在解決第（2）小題的過程中，圖形的重構依然起著非常重要的作用.在解答中，由已知條件，得AD=4，AE=1，從而得到DE，EF，AF等線段的長度，在構圖上有其對應的表現，先畫出正方形，然后畫出點E和點F.而求半徑OD的過程在構圖中則表現為由兩條中垂線OI和JL決定了點O的位置.同樣，解題序也是構圖序.

四、換一種方式來思考

問題3：如果先畫出⊙O，那么能否順利地構造出整個圖形？

設計意圖：如圖7，先畫出⊙O，在⊙O上取一條弦CD，以CD為邊長構造出正方形ABCD，⊙O與AD，BC的交點分別為G，H，接下來應該怎么畫呢？這里學生會有分歧.

如圖8，在AB邊上任取一點E，過A作AF⊥DE于F，發現F并不在⊙O上，構圖與題設不符.若要求F在⊙O上（如圖9），連接AF，又不能保證AF與DE垂直，陷入了兩難.又該如何解決呢？

經過思考，點F既要滿足在⊙O上，又要滿足AF⊥DE，點F應該相當特殊，只要將圖9略加變化為圖10（延長AF），要滿足AF與DE垂直這一條件，圖10中∠1=90°，∠1為直徑所對的圓周角，∠1的邊與⊙O已有一個交點D，∠1的另一邊與⊙O的交點應是⊙O的直徑DH的另一個端點H（如圖11），問題就迎刃而解了，F點為AH與⊙O的交點，確定點F后，DF與AB的交點即為點E.

分析與解：以⊙O為基礎構造出整個圖形，使我們得到了一個更簡潔的解法（如圖12），簡述如下：易證△ADE≌△BAH，從而得到BH=AE=1，則CH=3，連接DH，利用勾股定理得直徑DH=CH2+CD2=5，繼而求出半徑為2.5.

五、梳理解題思路，提煉思想方法

本節課圍繞一道中考題的解法展開，與以往不同的是，學生并沒有依賴題目本身所提供的圖形，而是自己從零開始，根據題目條件本身的邏輯結構一步一步地畫出了解題需要的整個圖形，按照構圖的順序，逐步確定解題需要的元素，在圖形構建完畢的同時得到了證明的思路.甚至從不同的起點開始構造圖形，得到的證明思路也完全不同.我們可以稱這樣的解題方法為“圖形重構”法.可以用下面這個結構圖來表示.

【教學思考】

從數學核心素養的角度看，證明題的解法不僅僅體現了邏輯推理，證明題中包含的幾何圖形對學生的直觀想象能力也提出了要求.在幾何證明中，圖形的構造與問題的推理其實是同一個實質的兩種不同表現，而圖形的重構與思路的建立同步進行，加深了它們之間的關系，圖形的構建應具有邏輯順序，而推理的過程則是圖形構建的自然生成.

幾何課的教學與評價中，教師常常把作圖題和證明題看作兩個不同的題型，把作圖與證明人為地割裂開，其實這樣不利于學生對數學知識結構的整體理解.作者認為，幾何證明題的教學中，應當給學生充分的時間，鼓勵他們自己建構解題需要的圖形.幾何解題需要一個準確且漂亮的圖形，而這個圖形應該由解題者自己構建.因為畫圖的過程實際上也是一個先定性分析后定量分析的過程，如果能準確作出圖形，那么該圖形的一切元素皆可求（定性）.而作圖的先后順序和確定圖形的約束條件，也正是邏輯推理的順序與材料（定量）.

《幾何原本》的第一個命題是“已知一條線段可以作一個等邊三角形”，歐幾里得先給出了作法，然后作出了圖形，最后給出了證明，這是一個既有數學思維又有美學意義的開端.我們的幾何解題教學也應回歸到這個主題上——數學推理不僅僅是嚴謹的邏輯，還應該有“恰到好處的美”.

【參考文獻】

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