讓兒童觸摸建模思維

汪洋

【摘要】數(shù)學(xué)建模是人教版教學(xué)內(nèi)容中的重要版塊，是運(yùn)用數(shù)學(xué)思想、方法和知識解決實(shí)際問題的過程，且已經(jīng)成為不同層次數(shù)學(xué)教育的基本教學(xué)內(nèi)容.數(shù)學(xué)建模體現(xiàn)思維特征，其思維過程可以大致概括為：實(shí)際情境—提出問題—數(shù)學(xué)模型—數(shù)學(xué)結(jié)果—實(shí)踐檢驗(yàn)—可用結(jié)果.筆者根據(jù)這些環(huán)節(jié)的特征，將其劃分為醞釀階段、操作階段、成熟階段，并以此為依據(jù)，對建模思維在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用提出個人淺見.

【關(guān)鍵詞】建模思維;人教版數(shù)學(xué);小學(xué)教育

數(shù)學(xué)建模不僅是眾多領(lǐng)域的教學(xué)內(nèi)容，還是一種新的學(xué)習(xí)方式.數(shù)學(xué)建模是一種數(shù)學(xué)思考方法，是運(yùn)用數(shù)學(xué)的語言和方法，通過抽象、簡化建立能近似刻畫并“解決”數(shù)學(xué)問題的一種強(qiáng)有力的教學(xué)手段.簡單來講，數(shù)學(xué)模型就是對實(shí)際問題的一種數(shù)學(xué)表述.建模為學(xué)生提供了自主學(xué)習(xí)的空間，有助于學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問題中的價值和作用，體驗(yàn)數(shù)學(xué)與日常生活及其他學(xué)科的聯(lián)系，體驗(yàn)綜合運(yùn)用知識和方法解決實(shí)際問題的過程，增強(qiáng)自身創(chuàng)新能力和實(shí)踐水平.建模正以其豐富的層次性和強(qiáng)大的應(yīng)用性廣泛融入我們的日常生活，在各行業(yè)、各相關(guān)學(xué)科及我們?nèi)粘５乃季S過程中都有體現(xiàn)，建模不僅增進(jìn)了我們對世界的認(rèn)知，還為我們的生活提供了便利，提高了我們的生活水平.

一、關(guān)注實(shí)際情境，探索解題路徑

數(shù)學(xué)建模是我們在日常生活問題的解決中開發(fā)出來的思維模式，學(xué)生建模的資源和題材是各種數(shù)學(xué)問題.學(xué)生在建模之前，首先盡可能多地接觸各種類型的數(shù)學(xué)問題，如圖形問題、長度測量問題、度量單位問題、行程問題等.學(xué)生在眾多問題中擴(kuò)充相關(guān)模型知識，小學(xué)數(shù)學(xué)中的法則、公式等都是一個個數(shù)學(xué)模型.教師如何使學(xué)生在腦海中形成數(shù)學(xué)模型，其中一個很重要的途徑就是把生活原型上升為數(shù)學(xué)模型.這類問題的導(dǎo)入往往都有具體的條件預(yù)設(shè)和事例依托.

情境預(yù)設(shè)是重要的開端，小學(xué)階段的學(xué)生抽象思維能力還處在初步培養(yǎng)階段，教師進(jìn)行問題展示時應(yīng)以直觀為主.教師在問題導(dǎo)入時盡量運(yùn)用插畫、視頻、圖文等手段，以常見的行程問題為例，先請兩名學(xué)生圍繞教室以不同的路線和方式行走，接著問其他學(xué)生都看到了些什么.學(xué)生的回答會有很多：兩個人面對面走;兩個人背對背走……接著教師可以引入相遇問題的一些條件：同時出發(fā)、相向而行、相背而行、途中相遇等，當(dāng)學(xué)生對此有一定了解后，教師就可以進(jìn)行問題的具體導(dǎo)入了.以幾何圖形為例，課堂開始，教師展示生活中的圖片，如校園風(fēng)景、城市風(fēng)光等，再展示要講解的幾何圖形，如四邊形、三角形等，接著提問：“在我們的校園中，有哪些幾何圖形？”教師以這種提問喚醒學(xué)生的記憶，建立起學(xué)生對幾何圖形的初步認(rèn)識，便于學(xué)生接受，使學(xué)生有效克服感知的局限性.當(dāng)然教師還可以通過游戲、歌謠的形式帶動學(xué)生進(jìn)入情境.

學(xué)生在教師預(yù)設(shè)情境中的參與程度非常重要，以上文所引的幾何圖形為例.學(xué)生初步理解在生活中提取的幾何圖形之后，還需要進(jìn)一步對幾何圖形進(jìn)行更深入的感知.教師可以用課件出示各種幾何圖形并提問：“為什么我們把這樣的圖形叫平行四邊形？拿出你的平行四邊形紙片進(jìn)行觀察、思考，然后和同桌討論交流.”學(xué)生這時就可以觀察、猜想、測量、平移，動手驗(yàn)證，同桌之間進(jìn)行交流和討論，做出一定的反饋.教師拿一個長方形木框，用兩手捏住長方形的兩個對角，向相反方向拉，引導(dǎo)學(xué)生觀察兩組對邊有什么變化，拉成了什么圖形，什么沒有變.學(xué)生明確回答：“兩組對邊邊長沒有變，變成了平行四邊形，兩個直角變成了銳角和鈍角.”接著教師讓學(xué)生再度操作，這樣能大致演示平行四邊形的幾何特征，為完整定義奠定基礎(chǔ).再比方說，在講解自行車等交通工具的速度和路程問題時，教師可以引入學(xué)生感興趣的話題和素材，主人公可以設(shè)置成貓和老鼠;場所可以設(shè)置為海綿寶寶居住的菠蘿屋;時間線可以從古至今，帶領(lǐng)學(xué)生“穿越古今”;交通出行工具可以是轎車也可以是小三輪.甚至教師可以動員學(xué)生發(fā)揮想象力，建模之后自由出題，加深學(xué)生對模型的理解.

教師可以以自行車為話題引入：“生活中我們最常見的自行車有兩類（普通自行車和變速自行車），這兩種車有什么區(qū)別呢？”教師還可以和學(xué)生進(jìn)行問題探討，如“自行車是怎樣行進(jìn)的？”“齒輪怎樣帶動車輪？”從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)和知識出發(fā)，教師引導(dǎo)學(xué)生開展觀察、操作、推理等活動，獲得基本的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)、知識.接著教師與學(xué)生深入探討普通自行車速度和內(nèi)在結(jié)構(gòu)的關(guān)系，如“蹬一圈自行車能走多遠(yuǎn)？”學(xué)生自由分組討論答案，在解決這一問題時，會有不少學(xué)生選擇直接進(jìn)行測量，較少學(xué)生會考慮建立這類問題的普遍模型.如果出現(xiàn)這種情況，教師可以擴(kuò)充條件范圍，如蹬三圈、蹬十圈，引導(dǎo)學(xué)生探索更有效、適用的方法，最終建立解決周長和路程問題的數(shù)學(xué)模型.

在討論速度問題時，教師以變速自行車為話題，引導(dǎo)學(xué)生討論變速自行車能變化出多少種速度.教師可以列舉自行車上坡、平路、開始起步時等不同情況，讓學(xué)生自行測量觀察、總結(jié)規(guī)律.學(xué)生還可以將自行車變速行進(jìn)和勻速情況進(jìn)行對比分析，從而制定出不同的騎行方案.這樣的拓展深化不僅能增加學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生體會到學(xué)習(xí)和生活的相關(guān)性，對學(xué)習(xí)產(chǎn)生一種親近感，還能幫助學(xué)生解決實(shí)際問題，幫助學(xué)生更好地學(xué)習(xí)和生活.

二、模型精準(zhǔn)化，效率最大化

教師不僅要通過生活場景引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入問題情境，還要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自主探究.自主探究重點(diǎn)考查學(xué)生的抽象思維能力，需要教師逐層深入引導(dǎo)，將形象的問題場景概括為一般性事實(shí)，進(jìn)而使學(xué)生形成解題思路，抽象概括出問題模型.學(xué)生對數(shù)學(xué)模型的掌握程度和熟練程度很重要，學(xué)生每次解題都要細(xì)致縝密，要增強(qiáng)對數(shù)學(xué)模型的理解，通過多次構(gòu)建數(shù)學(xué)模型提高熟練程度，學(xué)生在做題時要能快速檢索出問題模型，省時省力.這離不開教師的積極引導(dǎo)和鼓勵支持.學(xué)生在學(xué)習(xí)了教材上的基本模型以后，利用已有知識解決新的更加復(fù)雜的問題時，能夠舉一反三.如方程、植樹問題、雞兔同籠、找次品、抽屜原理等內(nèi)容.

以人教版教材中平行四邊形為例，構(gòu)建平行四邊形的模型時，學(xué)生也間接獲得了平面幾何圖形的建模方法，明確了平行四邊形的內(nèi)涵和外延，逐漸得出明確定義——兩組對邊分別平行的四邊形叫作平行四邊形.上文我們已經(jīng)討論了情境預(yù)設(shè)和問題導(dǎo)入的重要性，而課堂上更重要的是教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行平行四邊形建模及具體分析.教師先展示一些介紹過的平面幾何圖形，讓學(xué)生加深印象，注意觀察圖形的特點(diǎn)，概括出：由四條線段圍成的圖形是四邊形.以此類推，教師再出示一組圖形，詢問：“這些圖形是什么形？它們和其他四邊形有什么不同嗎？”學(xué)生在觀察中會形成大致的估測.教師可以通過互動引導(dǎo)學(xué)生測量每個圖形的對邊.學(xué)生展開小組討論，教師根據(jù)學(xué)生的測量結(jié)果分析并總結(jié)出平行四邊形的特征，讓學(xué)生學(xué)會用具體的方法和標(biāo)準(zhǔn)判斷平行四邊形.

學(xué)生的知識目標(biāo)要求、語言理解水平、思維水平、生活經(jīng)驗(yàn)等各方面因素都決定了學(xué)生的建模能力培養(yǎng)具有艱巨性和長期性.在上述過程中，學(xué)生通過分析、比較、綜合、抽象、概括，獲得對事物的本質(zhì)屬性的認(rèn)識，從而完成了從感性認(rèn)知到理性認(rèn)知的轉(zhuǎn)換.長方形、正方形等都是特殊的平行四邊形.這一分析過程將平行四邊形和其他圖形區(qū)分開來，平行四邊形這樣的探索過程還可以借鑒到梯形、三角形等圖形的區(qū)分和判定中.傳統(tǒng)應(yīng)用題需要學(xué)生死記硬背一些關(guān)鍵詞和共識，學(xué)生做題時死板機(jī)械，無法跳出經(jīng)典題型和傳統(tǒng)案例，做不到靈活構(gòu)建模型，缺乏推導(dǎo)出模型的勇氣和創(chuàng)新能力.

三、應(yīng)用是關(guān)鍵，成果需檢驗(yàn)

小學(xué)數(shù)學(xué)中的法則、公式等都是一個個數(shù)學(xué)模型，這些數(shù)學(xué)模型有很大的延展空間，也就是說，這些模型問題可以有更加廣泛的應(yīng)用.學(xué)會應(yīng)用，將學(xué)習(xí)的知識反饋到日常生活中，是學(xué)生學(xué)習(xí)能力提高的關(guān)鍵標(biāo)志.這一過程是和學(xué)生思維能力的開發(fā)緊密相連的.

以上文提到的平行四邊形為例，平行四邊形建模增強(qiáng)了學(xué)生對這一圖形屬性的理解.我們之所以能從日常生活中提取平行四邊形的基礎(chǔ)模型，是因?yàn)樗谌粘Ｉ钪杏袕V泛的應(yīng)用，我們才能夠獲得建模的資源，才有建模的必要.

反建模過程是教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步將數(shù)學(xué)模型用于實(shí)際情境的過程.以算式“37×7+37×3”為例，學(xué)生獨(dú)立計(jì)算這樣的題目沒有什么難度和趣味性，但反建模思想不同.教師可以提出這樣的問題：“聯(lián)系長方形面積模型，我們可以將這些算式想象成求什么？”這樣的問題突然為學(xué)生打通了思考的途徑，簡單乏味的計(jì)算問題突然變得生動有趣，探索空間進(jìn)一步延展.學(xué)生經(jīng)過思考后會得出這樣的結(jié)論：“可以看作是求長是37厘米，寬分別是7厘米和3厘米的兩個長方形的面積和.”因?yàn)樗鼈兊拈L相等，所以，我們可以把這兩個長方形沿著長的一邊拼起來，拼成一個新的長方形.這時長方形的長仍是37厘米，寬是10厘米.這就涉及乘法分配律的運(yùn)用了，教師這時插入分配律知識的講解，會讓課堂自然而生動.教師再進(jìn)一步引導(dǎo)：“大家能畫出這個新的長方形嗎？請同學(xué)們展示草圖.”教師讓學(xué)生進(jìn)一步對結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)和測量，觀察結(jié)果準(zhǔn)確與否.由此可見，數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用和建立一樣，都是不斷探索和發(fā)現(xiàn)的過程，學(xué)生的知識經(jīng)驗(yàn)也正是在這一反復(fù)過程中積累起來的.

四、結(jié)束語

建模思維是解決各種實(shí)際問題的一種很實(shí)用的數(shù)學(xué)思維方法，可以大大提升學(xué)生的學(xué)習(xí)效率和思維水平.而學(xué)生對一個真實(shí)具體的問題建立數(shù)學(xué)模型，并不是一蹴而就的簡單工作.在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模思維時，教師不僅要通過足量足質(zhì)的練習(xí)題對學(xué)生進(jìn)行訓(xùn)練，還要善于將建模思維投入日常生活的實(shí)際應(yīng)用，以解決實(shí)際問題的有效性為最終要求.在這一過程中，教師特別要注意對學(xué)生啟發(fā)性思維的引導(dǎo)和鼓勵，以問題串問題，以知識串知識，盡可能多地傳遞課堂知識和生活經(jīng)驗(yàn)，給學(xué)生更多的思維開拓空間.

【參考文獻(xiàn)】

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