波利亞解題理論在初中解題教學中的應用

歐橋

【摘要】本文探究了波利亞解題理論在中學數學解題教學中的應用，介紹了波利亞的“怎樣解題表”，結合新課標淺談波利亞解題表的意義，從波利亞解題四階段出發分析中學生解題常見錯誤類型，借波利亞解題思想幫助學生掌握解題的方法，培養學生解決問題的能力，讓學生能夠熟練運用波利亞解題理論對問題進行思考從而解答問題.

【關鍵詞】波利亞解題理論;解題錯誤;培養解題能力

1 波利亞的“怎樣解題表”

1.1 波利亞的簡介

美籍匈牙利數學家喬治·波利亞是美國科學院、法國科學院和匈牙利科學院的院士.1940年移居美國，并擔任布朗大學和斯坦福大學教授.他長期從事數學教學工作，在數學領域內有著極深的造詣，其在數學教育方面的成就對我國的數學教學改革及數學教師的培養與培訓具有重要的指導意義.最著名的作品分別是《怎樣解題：數學思維的新方法》《數學的發現》《數學與猜想》，這些著作被翻譯成各種語言，并且廣泛傳播于各大高校，其中《怎樣解題：數學思維的新方法》一書更是被譯成了17種文字，僅平裝本就銷售了一百萬冊以上.其著作中的“怎樣解題表”以文字的形式揭示了人們在解答問題時的思維形式和思維過程，為解題指明了大概方向，使得解題有法可依.

1.2 新課標背景下，“怎樣解題表”的意義

新課標提出：學習者在獲得知識技能的過程中，只有親身參與了教師認真設計的教學活動，才能在數學思考、問題解決和情感態度這三個方面得到應有的發展.在數學教學活動中，解題是最主要的活動形式之一.教師必須通過解決問題的教學來讓學生獲得數學思維的發展，并借此培養技能及發展學生的智力.波利亞的“怎樣解題表”為我們提供了解決問題的有效途徑.解決問題的本質就是不斷改變問題，從而引發靈感.對于中學數學來說，解題就是要不斷創設新的問題情境，借用新的情境來激發學生的思維，從而進一步得到正確的答案.波利亞的解題理論還指明了對數學問題解決活動具有重要意義的思維模式，如合理的推理模式、笛卡兒模式、遞歸模式、疊加模式等.教師可以使用“解決方案”中的思想來指導學生將現有問題轉換為類似或更具體的問題，讓學生自己去探索，充分發揮他們的主體作用，提高他們解決問題的能力，從而更好地體現新課程理念.

2 從波利亞解題四階段看中學生解題常見錯誤

在數學的學習及解題過程中，數學自身的性質——嚴謹性、科學性使學生在解題過程中都會或多或少地產生錯誤，這是難以避免的，也是情有可原的.因此，對錯誤進行系統的分析和研究就變得十分重要且必要，下面筆者將對實習中所帶班級學生的作業中的錯誤情況進行分析.所給的案例是筆者在麗水市外國語學校實習期間的上課內容，兩個班學生的作業都是筆者親自批改的，對兩個班學生的做題情況有大致掌握，對錯誤率最高的一些題目也看了每位學生的解題過程，并與他們有過交流溝通，對他們的解題思路與過程有一定的了解.

2.1 理解題目階段

理解題意即了解問題，是解題的基礎.學生在將所給的題目語句轉化為數學語言上總存在一些困難，有時容易曲解題意，有時對文字較多的題目的處理會抓不住重點，無法挖掘文字背后的數學含義.例如在解答二次函數問題時，對自變量取值范圍的考慮要求學生不僅要知道數學意義上的范圍，還要綜合考慮它所代表的實際意義.

案例1 拋物線y=2x2-22x+1與坐標軸的交點個數是（ ）.

A.0 B.1 C.2 D.3

正確答案是C，易錯選項是B.這是一道非常簡單的基礎題，在批改作業時發現班級里有三位學生做錯了，理由是題目中問的是與坐標軸的交點，即x軸、y軸，他們卻想當然地只算了x軸上的交點而忽視了y軸.在二次函數專題大多數討論的都是x軸上的交點，這使得他們對于坐標軸中的x軸更敏感.這種錯誤就是沒有審清題目導致的.

2.2 擬訂方案階段

波利亞認為在四大步驟的解題全過程中這一步是最重要的也是最困難的，因為在探索一道題的解題途徑中如果最后證實這個方案是錯誤的，那么就又要回到這一環節重新擬定.在這一階段里學生對題目的處理會出現以下幾種常見錯誤：分類不當、沒有數形結合的觀念、缺乏整體意識、受思維定式的影響.

案例2 二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像如圖1所示，對稱軸為x=-1，下列四個結論正確的是（ ）.

①4ac-b2<0;

②3b+2c<0;

③4a+c<2b;

④m（am+b）+b

正確答案是①②④.在統計錯題時發現很多學生無法判定④是否正確，這里重點分析④的判定，首先根據給出的圖像我們能得到的信息有：a<0，b<0，c>0，經過與學生的交流，筆者發現他們的疑惑是不能理解m（am+b）+b表示的意思，這里其實用到的還是數形結合思想，我們發現將x=m代入解析式中會得到am2+bm+c，將式子變形一下得到m（am+b）+c，這與④中的式子已經有很大的相似之處了，將④式左右兩邊同時加上c，得到等價不等式m（am+b）+b+c

2.3 執行方案階段

在這一階段，有些學生不能進行等價轉換，在證明題目時容易陷入循環論證的死胡同里，更多的學生（這里尤指低年級學生）容易犯些非智力因素的錯誤，比如：計算粗心，作圖隨意等.在實習期間，筆者也在初二班級旁聽過程中發現在合并同類項時總有學生出現合并錯誤，不是次數出錯就是單項式抄寫出錯.

案例3 若二次函數y=x2+mx圖像的對稱軸是直線x=3，則關于x的方程x2+mx=7的解為（ ）.

A.x1=0，x2=6 B.x1=1，x2=7

C.x1=1，x2=-7

D.x1=-1，x2=7

正確答案是D.這道題是一道基礎題，更多的還是檢驗學生的計算能力.班級中有3位學生錯選了C，從選項中看C與D十分相似，這也意味著出題人知道學生在解題時會在某一步驟出錯從而得出與正確答案一步之遙的錯誤答案.通過詢問學生得知，他們出錯是在將x2+mx=7化成x2+mx-7=0之后，用十字相乘法進行因式分解這一步.

2.4 回顧與反思階段

張奠宙教授在《數學教育概論》一書中提道：與前兩個階段相比這一階段是最容易被忽視的階段.大多數學生在解題后缺乏檢查的意識，但是在數學的解題過程中，解題者不重視檢驗導致的功虧一簣現象時有發生，這就告誡我們為了保證解題的正確性，檢驗是很重要的.也有學生不善于回顧檢驗導致解題錯誤的，有的時候由于思維定式的束縛，他們仍然按照原來的解題思路進行驗證檢查，因此當問題出現在方法上而不是在具體運算上時，他們很難察覺出錯誤.對此，在日常教學中，教師須有意識地要求學生養成答完題再去回顧的習慣，并且要嘗試用多種方法、從多種角度去進行檢驗.回顧是最容易被人們忽視的階段，波利亞將其作為解題的必要環節固定下來，是一個非常有遠見且正確的做法.回顧反思不僅僅是檢查這道題做對了沒有，更重要的是學會總結，總結做題方法、做題思路，在日后的學習中是否能用到今日所學內容，又能否將所總結的結論推廣到其他類型的問題上，這才是波利亞解題理論第四階段最重要的學習目的.

3 波利亞解題思想的反思

波利亞的“怎樣解題表”中的問句、提示語都是一種引導，是用來促發念頭的.在解題時最難的往往是對一道題目毫無思緒不知如何下手.這時，任何一個有可能對解決問題有指引作用的問題都是對我們有幫助的，它可以引起我們繼續思考下去的興趣與信心，可以使我們繼續探索.

波利亞的解題思想為中學數學思想方法的教學提供了一種理論模式.波利亞的解題思想并不一定很明顯地表現在數學教材之中，在大多數情況下，它是隱含于數學知識和解題過程中的.因此若要以讓學生更能接受的方式展示出來，則需要教師通過對教材的鉆研來提煉和概括.

波利亞認為，中學數學教育的根本目的是“教會中學生思考”.教會他們去思考就要求數學教師不能只是簡單地傳授知識，還應努力培養學生在更廣的范圍中運用所學知識的能力，培養他們的自主意識.教師應該強調學習解題的技能技巧、教會學生有益的思考方式和理想的思維習慣.提高學生的數學解題能力是一項持續時間長且實施有難度的工程，這不僅與學生的知識背景、智力水平有關，也與學生的學習態度、學習方法有關，還與教師的教育思想、教學能力、教學方法、知識水平密切相關.因此每位教師都應該學習波利亞的解題理論，并在教學中教會學生如何思考問題、解決問題，從而培養他們良好的數學思維，提高他們的解題能力.教師對學生的錯誤要充分發揮自己的教學智慧，去挖掘學生在錯誤中體現的問題，因勢利導，使學生由失敗走向成功，給予他們學好數學的信心，讓其體驗和享受成功解題帶來的樂趣，從而愛上解題、愛上數學.

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