關于線性子空間直和幾個等價命題的證明

趙云平

【摘要】線性子空間直和理論是數學專業高等代數課程的重要內容之一，也是難點之一，其中蘊含著線性空間分解思想，其在理論上和實際上有著重要的價值.許多教材對線性子空間直和問題進行了探討，并給出了一些重要結論，但對于子空間直和等價命題的證明卻不太詳細.本文以線性子空間直和的相關概念為基礎，敘述了子空間直和的5個等價命題，并證明了這5個命題彼此等價.

【關鍵詞】線性空間;子空間直和;等價命題;證明

引 言

子空間的直和是子空間和運算的一種特殊情形，是高等代數課程的重要概念之一，直和的概念強調首先是和，然后要求滿足每個向量分解是唯一的.對于這種特殊的子空間和運算，用定義證明或檢驗直和問題有時很困難、很抽象，需要更深入地研究它的性質.本文敘述了線性子空間直和的5個等價命題，先分析各等價命題的含義及相互關系，再通過循環論證的方法加以證明.這些命題以不同形式刻畫了子空間直和，為進一步認識和理解子空間直和提供了具體的模式，為高等代數中一系列重要定理提供了有力依據.學好子空間直和對研究整個子空間及研究整個線性空間的結構起到了非常重要的作用.

一、預備概念

定義1 數域K上線性空間V的一個非空子集U若對于V的加法與數量乘法也構成K上的線性空間，則稱U是V的一個線性子空間，簡稱為子空間.

結 語

至此，子空間直和的5個等價命題得到了證明.這5個命題的描述形式雖然不同，但都刻畫了子空間的直和.這樣我們在解決有關子空間直和問題時，表述的方式就更加多樣化了，可用等價命題互相代替.事實上，線性子空間的直和可被推廣到有限多個子空間的直和，也可以推廣到無限多個子空間的直和.

【參考文獻】

[1]北京大學數學系前代數小組.高等代數（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2015.

[2]張禾瑞.高等代數[M].北京：高等教育出版社，2007.

[3]丘維聲.高等代數（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2016.

[4]邱森，朱林生.高等代數探究性課題集[M].武漢：武漢大學出版社，2012.

[5]姚慕生，吳泉水.高等代數學[M].上海：復旦大學出版社，2014.