數(shù)學(xué)中的求“同”存“異”

肖旭平

摘要：數(shù)學(xué)考試作為檢驗(yàn)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的高低，了解同學(xué)們現(xiàn)有的解題水平的考試，十分注重學(xué)生的解題思維。依據(jù)現(xiàn)在新課標(biāo)的改革，除了讓學(xué)生能有扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)之外，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，創(chuàng)新思維也提到了現(xiàn)在教學(xué)的日程之上，而實(shí)現(xiàn)這一切的途徑，可通過解題才可以。在解題的過程中，培養(yǎng)學(xué)生們求同存異的思維，通過總結(jié)歸納，在總結(jié)一類題型當(dāng)中共同的一部分，使用自己扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，找到一些比較新穎的解法，鍛煉學(xué)生們的創(chuàng)新思維，提高綜合素質(zhì)。

關(guān)鍵詞：求同存異;創(chuàng)新思維;解題方向

求同存異思維，是我們?cè)跀?shù)學(xué)學(xué)習(xí)當(dāng)中相當(dāng)重要的解題思維，通過對(duì)比部分試題之間的差異性和共同性，來拓寬學(xué)生們的思維，發(fā)散思維，以最快速度找到問題的突破點(diǎn)，進(jìn)而解決問題。但是平時(shí)的教學(xué)當(dāng)中學(xué)生們?cè)谟龅奖容^困難的問題，或者是稍微比之前的常規(guī)問題多出一點(diǎn)點(diǎn)變化的時(shí)候，往往會(huì)出現(xiàn)手足無措的茫然感覺，感覺無從下手，究其原因，是學(xué)生的思維非常的僵硬，見過的題型不多。要知道數(shù)學(xué)知識(shí)具有相當(dāng)強(qiáng)的靈活性，一個(gè)小小的知識(shí)點(diǎn)，就可以衍生出相當(dāng)多不同的題目，這就需要學(xué)生們?cè)诮忸}的過程當(dāng)中，尋找這些題目的共性，或者是尋找一道題目中的不同解題方法，把握住當(dāng)中的核心脈絡(luò)，真正吃透一道題，同樣也可以舉一反三，提升解題效率。

一、同一道題用不同思路解決

（一）例題

例如：已知函數(shù)f（x）=ax3 -3x2+1，若f（x）存在唯一的零點(diǎn)X0，且X0>0，則a的取值范圍為（ ）

A.（2， +∞） B. （-∞，-2）

C.（1， +∞） D.（-∞，-1）

（二）不同解法

解法一：求導(dǎo)得f（x）=3ax2-6x=3x（ax2-2），若a=0，則f（x）=-3x2+1，不合題意，舍去：若a≠0，令f （x）=0解得x=0或x=2/a。

當(dāng)a<0時(shí)，可以得到f（x）在（-∞，2/a） 上呈現(xiàn)的趨勢(shì)是單調(diào)遞減。在（2/a，0）上則是單調(diào)遞增的趨勢(shì)，在（0，+∞）上單調(diào)遞減，結(jié)合f（x）的圖像，只需有f（2/a）>0.解得a<2.

當(dāng)a>0時(shí)，可以得到f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞增，由f（-1）=-a-2<0，f（0）=1>0，知f（x）在（-1.0）上有零點(diǎn)，不合題意，舍去：

綜上所述，a的取值范圍為（-∞，-2），因此答案選擇B。

解法二：由題意知，方程ax3-3x2+1=0與x軸正半軸有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，所以x≠0，則a= -（1/x3）+3/x.令t=1/x≠0，等價(jià)于方程a=-t3+3t（t≠0）有唯一正根，來做出關(guān)于a的圖像，數(shù)形結(jié)合，a的取值范圍為（-∞，-2），答案選擇B.

解法三：取a=3，f（x）=3x3-3x2+1，檢驗(yàn)知不合題意，排除A，C;取a=-4/3，f（x）=-4/3（X3） -3x2+1，所以ACD都不是正確答案，選擇B

（三）解法分析

解法一：通過求導(dǎo)，得出一個(gè)新的方程，代入題內(nèi)的已知條件，排除一種可能，隨后，用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)來判斷原圖像的走勢(shì)，最終得出結(jié)論。

解法二：運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合的思維，先是通過對(duì)于題意的判斷，得出來了X≠0的結(jié)果，其次再用等效替換法，設(shè)出了一個(gè)新的方程，并且通過數(shù)形結(jié)合，來達(dá)到解題的目的。

解法三：這也是最簡(jiǎn)單的一種方法，將選擇題所給的答案帶入到題中去，進(jìn)而判斷出哪一個(gè)更符合題意。

（四）解法反思

解法一的特點(diǎn)就是中規(guī)中矩，也是這一類題型當(dāng)中比較常用的思路，通過求導(dǎo)來構(gòu)建新的方程，并且通過導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)來判斷，進(jìn)而得出答案，但是缺點(diǎn)就是運(yùn)算量太大，需要學(xué)生具有良好的邏輯思維能力，并且還要具備完善的數(shù)學(xué)知識(shí)體系，扎實(shí)的數(shù)學(xué)功底才能夠解決這一類問題。

解法二更需要學(xué)生擁有天馬行空的想象力，能夠準(zhǔn)確地運(yùn)用構(gòu)造方程，數(shù)形結(jié)合的思維，比起第一種來更為的簡(jiǎn)單，但是對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)水平要求極高。

解法三角度出奇，通過帶入題中所給的答案，來判斷哪一個(gè)更符合題意，這樣的方式更適合那些基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生，同樣也是一種取向的方法，只能運(yùn)用在選擇題。

由此可知，通過對(duì)一道相對(duì)基礎(chǔ)的題型進(jìn)行不同角度的解法，不僅可以拓寬了同學(xué)們的創(chuàng)新思維，也能從多個(gè)方面理解知識(shí)的含義，對(duì)于課本上的知識(shí)理解得更清晰，更透徹，解題思路瞬間擴(kuò)大，思維更為的活躍，也可以從這多種類型的解題思路當(dāng)中，進(jìn)行求同存異，把握住核心脈絡(luò)，進(jìn)行對(duì)知識(shí)的剖析，掌握住重點(diǎn)，不僅減少了學(xué)生的學(xué)習(xí)任務(wù)，學(xué)習(xí)起來更輕松，也更讓學(xué)生對(duì)于這門課程充滿興趣，提升了學(xué)生的綜合素質(zhì)。

二、結(jié)語

數(shù)學(xué)學(xué)科與其他的學(xué)科不同，需要一定的邏輯思維能力，學(xué)生們?cè)趯W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程當(dāng)中，不僅要掌握扎實(shí)的數(shù)學(xué)知識(shí)基礎(chǔ)，還需要擁有天馬行空的解題思維，在解決數(shù)學(xué)問題當(dāng)中，學(xué)會(huì)求同存異，通過同一種題型的不同解決方法，找到其核心脈絡(luò)，拓展自己的解題思維，教師在教學(xué)途中同樣也要刻意地培養(yǎng)這一種思維能力，引導(dǎo)學(xué)生們?nèi)ブ鲃?dòng)思考，下意識(shí)的主動(dòng)去思索每一道題的核心，深入的理解課本上的知識(shí)，在做題的時(shí)候靈活應(yīng)用，甚至舉一反三，擴(kuò)展學(xué)生們對(duì)于解題的思維，提升他們對(duì)于數(shù)字的敏感度，適應(yīng)當(dāng)今社會(huì)對(duì)于他們新的要求，嚴(yán)格要求自己，真正能夠全方位的成長(zhǎng)，提高他們的綜合素質(zhì)。

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