逆向思維在小學數(shù)學教學中的應用探討

龔成兵

[摘? 要] 逆向思維作為一種獨具特色的思維模式，在發(fā)展學生數(shù)學學習能力的同時能達到優(yōu)化學生思維品質(zhì)的作用。嘗試探討逆向思維在“圖形與幾何”“數(shù)與代數(shù)”“實踐與綜合應用”等板塊中的應用，以發(fā)展學生空間觀念、數(shù)感與運算能力、解決問題能力。

[關鍵詞] 逆向思維;小學數(shù)學;應用

逆向思維又被稱為“反過來思考”，其作為一種獨具特色的思維模式，在數(shù)學學習中發(fā)揮了重要作用，指引學生從事物的結尾向事物發(fā)展的反向思考，在思考過程中抽象出事物發(fā)展規(guī)律，由此大大提升學生解決問題的能力，在發(fā)展學生數(shù)學學習能力的同時達到優(yōu)化學生思維品質(zhì)的作用。基于此，筆者嘗試探討逆向思維在小學數(shù)學教學中的應用，期望能夠起到拋磚引玉的效果。

一、在“圖形與幾何”中巧用逆向思維，發(fā)展學生的空間觀念

“圖形與幾何”板塊是小學數(shù)學知識體系的重要組成部分，其主要包括圖形的認識、圖形的測量、圖形的運動和圖形與位置四個部分。空間觀念是一個綜合能力，它包括了觀察能力、想象能力、抽象能力等數(shù)學能力。在教學中，教師往往關注把幾何圖形與現(xiàn)實生活聯(lián)系起來，把幾何圖形與數(shù)學操作結合起來，卻對逆向思維在“幾何與圖形”板塊的運用缺乏足夠的關注度。那么，如何在“幾何與圖形”教學中，巧用逆向思維發(fā)展學生的空間觀念呢？

師：有兩個正方形，A點是大正方形的中點，小正方形的邊長是2厘米，大正方形的邊長是4厘米，求圖中（見圖1）①和②兩個圖形的面積之和。

生1：所求圖形是由兩個三角形組成的。

生2：求三角形的面積需要知道三角形的底和高，但是現(xiàn)在既不知道三角形的底，又不知道三角形的高。

（學生的思維陷入停滯。）

師：既然順著思考行不通，我們是不是可以轉(zhuǎn)變思路進行逆向思考呢？

（學生討論。）

生3：我知道了。既然不能直接求出圖中①和②兩個圖形的面積，那么我們可以嘗試求出除了①和②兩個圖形之外的圖形的面積，這樣也可以解決問題。

生4：對，除了①和②兩個圖形之外的圖形是由兩個規(guī)則的圖形組成的，其中一個是三角形，另一個是梯形。

師：那么，你能試著求出三角形和梯形的面積嗎？

生5：三角形的面積=底×高÷2=2×4÷2=4（cm2），梯形的面積=（上底+下底）×高÷2=（2+4）×4÷2=12（cm2），然后再求出兩個正方形的面積之和是（2×2）+（4×4）=4+16=20（cm2），所以①和②兩個圖形的面積之和是20-12=8（cm2）。

要順利解決這一問題，學生至少需要具備兩個方面的能力：一是要具備一定的觀察能力和空間想象能力，學生要能夠敏銳地看出各個圖形之間構成的關系，并把這種關系運用到問題解決之中。二是要具備逆向思維能力。如果本題采取“從正面突破”的策略，無疑將增加本題的難度，但只要學生巧妙地采取“迂回”的辦法，通過分析兩個未知大小的圖形與兩個規(guī)則圖形的關系，先求出兩個規(guī)則圖形的面積，然后再反向算出未知大小的圖形的面積，使得問題的解決變得更具靈活性和巧妙性。由此可見，本題從觀察能力、空間想象能力和逆向思維能力三個角度提升了學生的數(shù)學學習能力、優(yōu)化了學生的思維品質(zhì)、發(fā)展了學生的空間觀念。

二、在“數(shù)與代數(shù)”中巧用逆向思維，發(fā)展學生的數(shù)感和運算能力

“數(shù)與代數(shù)”板塊的內(nèi)容大體上可以分為數(shù)的認識、數(shù)的運算、式與方程等內(nèi)容。“數(shù)與代數(shù)”板塊的重要教學目標就是培養(yǎng)學生的數(shù)感，提升學生的運算能力。

1. 運用逆向思維，發(fā)展學生的數(shù)感

數(shù)感是新課標提出的核心概念之一。新課標指出：“在數(shù)學課程中，應當注重發(fā)展學生的數(shù)感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運算能力、推理能力和模型思想。”所謂數(shù)感，就是對數(shù)的理解和感悟。具體來說，數(shù)感可以分為以下幾個方面：能夠用多種方法表示數(shù);能在具體情境中把握數(shù)的相對大小;能用數(shù)來表達和交流信息;能為解決問題選擇適當?shù)乃惴ǖ取?shù)感并非為了數(shù)學學習而定義出來的數(shù)學概念，其本身就貫穿于數(shù)學教學的全過程中。在教學中，教師應注重發(fā)揮逆向思維在培養(yǎng)學生數(shù)感方面的作用，這能起到事半功倍的效果。

比如在講解“認識1～5”時，教師為學生出示了一幅圖（如圖2所示）。教師先引導學生認識1個太陽、1棵蘋果樹，2只小鳥、2個人，3朵白云、3個蘋果、4朵花、5只小鴨子，從而引導學生在清晰實物的基礎上抽象出數(shù)學符號，認識1、2、3、4、5。在此基礎上，教師再引導學生反向思考：“1”除了可以表示1個太陽、1棵蘋果樹外，還可以表示什么？學生紛紛回答：“1”還可以表示1條小船、1支鉛筆、1個漢堡，凡是數(shù)量是1的物體都可以用“1”來表示。“2”除了可以表示2只小鳥、2個人以外，還可以表示什么？學生回答：“2”還可以表示2只魚、2瓶水，凡是數(shù)量是2的物體都可以用“2”來表示……

教學中，教師引導學生經(jīng)歷從實物到符號的正向思考，又使學生體驗從符號到實物的逆向思考，從多個角度使學生真正理解數(shù)學符號的內(nèi)涵，這種正向思考和逆向思考相結合的教學方式能提升學生的思維靈性、優(yōu)化學生的思維品質(zhì)、發(fā)展學生的數(shù)感。

2. 運用逆向思維，提升運算能力

新課標指出：“運算能力主要是指能夠根據(jù)法則和運算律正確地進行運算的能力。培養(yǎng)運算能力有助于學生理解運算的算理，尋求合理簡潔的運算途徑解決問題。”運算能力是小學生數(shù)學核心素養(yǎng)的重要組成部分，運算教學貫穿于小學數(shù)學教學的始終。在運算教學中，加法與減法、乘法與除法互為逆運算，教師在四則混合運算的講解過程中，可使學生逆向思考，經(jīng)歷逆向運算的過程往往能夠促進學生對算理的理解，還能夠節(jié)省運算時間，提升運算的準確度。

比如在講解“乘除法”時，教師設計了這樣的題目：“桌子上有5個盤子，每個盤子里有3個蘋果，一共有多少個蘋果？”學生列式為3×5=15（個）。接著教師變換題目：“一共有15個蘋果，每個盤子里放3個蘋果，一共需要幾個盤子？”學生思考后列式15÷3=5（個）。在講解“混合運算”時，教師設計了這樣的題目：9+99+999+9999+99999。如果按部就班地從左到右的順序逐一相加非常麻煩，教師可引導學生逆向思考：運用減法運算是不是會簡便一些？在教師的啟發(fā)下，有學生列出了這樣的式子：（10-1）+（100-1）+（1000-1）+（10000-1）+（100000-1）=111110-5=111105，這就使得計算過程大大簡化了。又如在講解“乘法分配律”時，學生對于（a+b）×c=a×c+b×c熟記于心，卻對a×c+b×c=（a+b）×c不甚熟悉。為此，教師設計了這樣一道題：3.7×76.8+23.2×3。教師引導學生先把3轉(zhuǎn)化為3.7，然后再通過乘法分配律的逆運算a×c+b×c=（a+b）×c，實現(xiàn)運算的簡便化。

乘法與除法、加法與減法、乘法分配律的互逆運算，學生經(jīng)過了正向和反向的雙向思考，豐富了學生對運算本質(zhì)的理解，鍛煉了學生的逆向思維能力，提升了學生的運算能力。

三、在“實踐與綜合應用”中巧用逆向思維，發(fā)展學生解決問題的能力

“紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行”。提升學生的思維能力不能“紙上談兵”，必須使學生在解決問題的過程中不斷提升能力、發(fā)展素養(yǎng)。小學數(shù)學中的“實踐與綜合應用”板塊致力于引導學生通過學到的知識解決實際問題。在這個過程中，當學生的正向思考遇阻時，教師要引導學生從反向進行思考，或許學生就會有不一樣的思維體驗。

比如教師出示了這樣一道題目：淘氣有一些課外書，他送給笑笑5本，媽媽又給淘氣買了9本，這時淘氣一共有課外書20本，那么淘氣原來有多少本課外書？由于低年級學生尚未接觸到方程的知識，因此本題對于他們而言有一定的困難。教師啟發(fā)學生轉(zhuǎn)變思考路徑，學生通過反向思考，列出算式20-9+5=16（本），問題由此得以順利解決。

解題中，當學生的思維受阻，甚至陷入停滯時，教師可引導學生進行逆向思考，從而為學生的思維打開“另一扇窗”。在學生進行逆向思考的過程中，不但讓數(shù)學問題迎刃而解，而且學生的知識得到了拓展，解決問題的能力得到了提高。

總之，在小學數(shù)學教學中，教師要深入挖掘教材中訓練學生逆向思維的生動素材，并將這些“反其道而行之”的內(nèi)容恰到好處地呈現(xiàn)給學生，指導學生逆向思考，以果索因、正逆互換，發(fā)展學生的空間觀念、數(shù)感和運算能力，提升解決問題的能力。